《多元函数微分学》练习题参考答案

多元微分学

P85-练习1 设)cos(2z y e w x

+=，而3x y =，1+=x z ，求

dx

dw ． 解：

dw w w dy w dz dx x y dx z dx

???=+?+????

2222cos()[sin()(3x x e y z e y z x =++-+?

23232cos((3x e x x x ??

=-+????

P86-练习2 设函数20

sin (,)1xy

t F x y dt t =

+?

，则22

2

x y F x

==?=? ． （2011）

解：

2222222222

sin cos (1)2sin ,1(1)F y xy

F y xy x y xy xy

y x x y x x y ??+-==??+?+， 故

22

02

4x y F

x ==?=?

P86-练习3 设)(2

2

y x f z +=，其中f 有二阶导数，求22x z ?? ，22y

z

??．（2006）

解：z f x ?'=?； 2223222222).(z x y f f x x y x y ?'''=?+??++ 同理可求 222

222222

()

z y x f f y x y x y ?'''=?+??++.

P87-练习4 设)(),

(x

y

g y x xy f z +=，其中f 有二阶连续偏导数，g 有二阶导数，求y

x z

???2． （2000） 解: 根据复合函数求偏导公式

1221()z y f y f g x y x

?'''=?+?+?-?,

122111122212222211122223323221()111

[()][()]11

z y f y f g y x y y x x x y f y f x f f f z x y x y f xyf f f g g y y x x f g g y y y y x x

x

??

?????'''==????''+?+?- ? ????????

'''''''''''''='''''''

+---++?--++?--?-?-=

P87-练习5 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可

导且在1x =处取得极值(1)1g =，求

211

x y z

x y

==???． （2011）

解：由题意(1)0g '=。因为

12()z

yf yg x f x

?'''=+?， 21111222122()()()()z

f y xf

g x f g x f yg x xf g x f x y

?????''''''''''''=+++++??????，

所以

211

12111

(1,1)(1,1)(1,1)x y z f f f x y

==?'''''=++??

P88-练习6 设),,(xy y x y x f z -+=，其中f 具有二阶连续偏导数，求dz ，

y

x z

???2． （2009） 解：

123123,z

z

f f yf f f xf x y

??''''''=++=-+?? 123123()()z z dz dx dy f f yf dx f f xf dy x y

??''''''=

+=+++-+?? ()

1231112132122233313233211132223333(1)(1)(1()())f f yf y

z x y f x y f f x y f xyf f f f x f f f x f f f y f f x ?'''=++???'''''''''''''???'''''''''''=+?-+?++?-+''''''

=++-+-+?+++?-+???+

P89-练习7 设函数(,)z z x y =由方程0),(=x

z x y F 确定，其中F 为可微函数，且

02≠'F ，则=??+??y

z y x z x

． （2010） 解：1212222()0z x z yF zF y

z x F F x x x xF ???

?-''

?+??''?-+?=?

= ??'

?

??

； 1122

110F z

z

F F x x y

y F '??''?+??=?

=-??' 则 z z

x y z x y

??+=??

P92-练习8 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数

()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是

（A ）(0)1f >，(0)0f ''> （B ）(0)1f >，(0)0f ''<

（C ）(0)1f <，(0)0f ''> （D ）(0)1f <，(0)0f ''< （2011） 解：

()()ln (),(),()

z

z f y f x f y f x x y f y '??'==??

222()

()ln (),()()

z

z f y f x f y f x x x y f y '??'''==???， []2

222()()()().()

f y f y f y z

f x y f y '''-?=?? 在点(0,0)处，

[]22222

2222

(0)ln (0),()(0)ln (0)z z z z f f f f x x y x y ????''''=-?=-?????，

当(0)ln (0)0f f ''>且[]2

(0)ln (0)0f f ''-<时，即(0)1f >，(0)0f ''>时，

()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值。 故选 (A)

P93-练习9 已知平面曲线0),(:=y x f L ，其中),(y x f 可微分，且

(,)0y f x y '≠．),(00y x A 是曲线L 外一个固定点．试证：如果点),(βαB 在曲线L 上且是

L 到A 的最近或最远的点，则

)

,()

,(00βαβαβαy x

f f y x ''=-- ． 解：在L 上任取一点(,),

P x y d AP =

，则d = 约束条件

(,)0f x y =

考虑222

00()()d x x y y =-+-在条件(,)0f x y =下的极值问题

作22

00()()(,)F x x y y f x y λ=-+-+，则

'0'

02()'(,)0

2()'(,)0x x y

y F x x f x y F y y f x y λλ?=-+=??=-+=??，

AB 取极值 (,)B αβ∴为驻点， 故有

00002()'(,)0(,)

2()'(,)0(,)x x y y x f x f y f y f αλαβααββλαββαβ-+=?'-?=?

-+='-?

P94-练习10 某工厂要利用钢板做一个容积为定值V 的无盖长方体水箱，问该水长、 宽、高分别为多少时，所用材料最省？

解 设该水箱的长、宽、高分别为,,x y z ，长方体水箱的表面积为S . 由条件知

2(),S xy xz yz =++而V xyz =，

考虑

2()S xy xz yz =++在V xyz =条件下的条件极值，

作2))((xy xz yz xyz F V λ++-+=

令2020

2()0

y z yz x z xz x y xy xyz V

λλλ++=??++=?

?++=??=?

，得驻点为，

.

P97-练习11 设向量{}

2,()xy y x ?是某函数),(y x f z =的梯度，其中()x ?有连续 导数且(0)0?=．求()x ?及),(y x f ． 解：取2

,

()P xy Q y x ?==，若向量{}

2,()xy y x ?是某函数),(y x f z =的梯度，则

有

Q P

x y

??=?? 即2

()2()2()y x xy x x x x C ???''=?=?=+ 由(0)0?=得2

0()C x x ?=?= 且

2,()z

z

xy y x x y

???==??， ? 22

1(),2z x y C y =

+而

22()x x C z

y y y

y '=+?=?，知()C y C = 所以 22

1(,).2

f x y x y C =+

P98-练习12 求曲线??

???=-==32

,,t z t y t x 与平面42=++z y x 平行的切线方程．

解：设切点为0000(,,)P x y z ，0P 对应于0t ，

则切线向量{}0021,2,3s

t t =-， 平面的法向量{}1,2,1n =，

由题意知 ,

0n s n s ⊥?=，即2001430t t -+=，解得 01t =或013

t =

01t =对应的切点为0(1,1,1)P -，{}1,2,3s =-，

切线方程为

111

123

x y z -+-==

-

013t =

对应的切点为 0

111(,,)3927P -，211,,33s ??

=-????

， 切线方程为

111

392721133x y z -

+-==-

P101-练习13 试证：抛物面1:2

21++=∑y x z 上任意点处的切平面与抛物面

222:y x z +=∑所围成的立体体积与切点坐标无关． 证明：设0000(,,)P x y z 是1∑上的任意一点，

1∑在0000(,,)P x y z 处的切平面π的方程为 000222z x x y y z =+-+

由22000222z x y z x x y y z ?=+?=+-+?

消去z ， 得

2200()()1x x y y -+-= （注意220001z x y =++）

2∑与π所围成的立体在xoy 面上的投影区域为:D 2200()()1x x y y -+-≤，

则立体体积为

()()()22

22000002221)()2

D

D

x x y y z x y d x y d V x y σσπ

????=+-+-+=----????

=????

因为0000(,,)P x y z 是任意的，所以抛物面1:2

2

1++=∑y x z 上任意点处的切平面与抛物面2

2

2:y x z +=∑所围成的立体体积与切点坐标无关．