15.若数列{a n }满足1112,1n
n n
a a a a ++==-,则2020a 的值为( ) A .2
B .-3
C .12
-
D .
13
16.已知数列{}n a 满足2122
11
1,16,2
n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为( ) A .92 B .102
C .
81
82
D .112
17.数列
1
2,16,112,120
,…的一个通项公式是( )
A .()1
1n a n n =-
B .()1
221n a n n =
-
C .111
n a n n =
-+ D .11n a n
=-
18.在数列{}n a 中,11
(1)1,2(2)n
n n a a n a --==+≥,则3a =( ) A .0
B .
53
C .
73
D .3
19.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=( )
A .2021a
B .2022a
C .2023a
D .2024a
20.数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为( )
A .21n a n =-
B .()1(21)n
n a n =--
C .()
1
1(21)n n a n +=--
D .()
1
1(21)n n a n +=-+
二、多选题
21.设数列{}n a 满足11
02
a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .
21
12
a << B .{}n a 是递增数列 C .2020312
a <<
D .
20203
14
a << 22.已知数列{}n a 满足0n a >,
121
n n n a n
a a n +=+-(N n *∈),数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )
A .11a =
B .121a a =
C .201920202019S a =
D .201920202019S a >
23.已知数列{}n a 满足()
*11
1n n
a n N a +=-∈,且12a =,则( ) A .31a =- B .201912
a =
C .332
S =
D . 2 0192019
2
S =
24.已知数列{}n a 中,11a =,1111n n a a n n +??
-=+ ???
,*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈,不等式
()22212n
a t a t a a n
<--++-+恒成立,则实数a 可能为( ) A .-4
B .-2
C .0
D .2
25.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,66771
1,
01
a a a a -><-,则下列结论正确的是( ) A .01q <<
B .681a a >
C .n S 的最大值为7S
D .n T 的最大值为6T
26.已知数列{}n a 满足112
a =-,11
1n n a a +=-,则下列各数是{}n a 的项的有( )
A .2-
B .
2
3
C .
32
D .3
27.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}
F n ,则(){}
F n 的通项公式为( )
A .(1)1()2
n n F n -+=
B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C .(
)1122n n
F n ????+-?=- ?????? D .(
)1122n n F n ?????=+ ??????
28.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,11
4
a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =+
C .数列{}n a 为递增数列
D .数列1n S ??
?
???
为递增数列 29.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,若对于任意的m ,*n N ∈,都有
m n m n a a a +=+,则下列结论正确的是( )
A .11285a a a a +=+
B .56110a a a a <
C .若该数列的前三项依次为x ,1x -,3x ,则10103
a = D .数列n S n ??
?
???
为递减的等差数列 30.等差数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,151115,a S S ==,则以下正确的是( )
A .1d =-
B .413a a =
C .n S 的最大值为8S
D .使得0n S >的最大整数15n =
31.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且32019
11
111
a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <
32.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是( )
A .{}n a 为等差数列
B .0n a >
C .n S 最小值为214
-
D .{}n a 为单调递增数列
33.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-
B .23n a n =+
C .2
23n S n n =-
D .2
4n S n n =+
34.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ). A .数列{}n a 是递增数列 B .数列{}n na 是递增数列 C .数列{
}n
a n
是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列
35.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <
B .70a >
C .{}n S 中5S 最大
D .49a a <
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列,根据周期即可得答案. 【详解】 解:211111=1=22a a =-
-,3211121a a =-=-=-,43
1
1112a a =-=+=, 则数列{}n a 周期数列,满足3n n a a -=,4n ≥
8521
2
a a a ∴===
, 故选:B. 【点睛】
本题考查数列的周期性,考查递推公式的应用,是基础题.
2.B
解析:B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =,2
447466a =-?+=-
故选:B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系,求某项值代入求解.
3.C
解析:C 【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行,再第二列和第二行,再第三列第三行,并且完整排完n 次后,排出的数呈正方形.可先算2021是第几个奇数,这个奇数在哪两个完全平方数之间,再去考虑具体的位置. 【详解】
每排完n 次后,数字呈现边长是n 的正方形,所以排n 次结束后共排了2n 个数.
20211
110112
-+=,说明2021是1011个奇数.
而22961311011321024=<<=,故2021一定是32行,
而从第1024个数算起,第1011个数是倒数第14个,根据规律第1024个数排在第32行第1列,所以第1011个数是第32行第14列,即2021在第32行第14列. 故32,14i j ==. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列的基础知识,但是考查却很灵活,属于较难题.
4.B
解析:B 【分析】
根据数列的递推关系可求得数{}n b 的周期为6,即可求得数列{}n b 的前2020项和. 【详解】
()*
21N n n n b b b n ++=-∈,且11b =,22b =-, ∴345673,1,2,3,1,b b b b b =-=-=== ∴{}n b 是以6为周期的周期数列,且60S =,
∴20203366412345S S b b b b ?+==+++=-,
故选:B. 【点睛】
本题考查数列的新定义、数列求和,考查运算求解能力,求解时注意通过计算数列的前6项,得到数列的周期.
5.B
解析:B 【分析】
根据已知递推条件(
)*
21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5
a
【详解】
由(
)*
21n n n a a a n N
++=-∈知:
3214a a a 4321a a a 5
43
5a a a
故选:B 【点睛】
本题考查了利用数列的递推关系求项,属于简单题
6.D
解析:D 【分析】
根据题意,得到1n n n a a b ++=,12n
n n a a +=,求得22a =,推出
1
1
2n n a a +-=,进而可求出10a ,11a ,从而可求出结果.
【详解】
因为n a ,1n a +是方程220n
n x b x -+=的实数根, 所以1n n n a a b ++=,12n
n n a a +=,
又11a =,所以22a =; 当2n ≥时,1
12
n n n a a --=,所以
11
112n n n n n n
a a a a a a ++--==, 因此4102232a a =?=,5
111232a a =?=
所以101011323264b a a =+=+=. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项,属于常考题型.
7.A
解析:A 【分析】
根据递推式可得{}n a 为一个周期为3的数列,求{}n a 中一个周期内的项,利用周期性即可求2019a 的值 【详解】
由114a =-,1
11(1)n n a n a -=->知 211
15a a =-= 321415
a a =-
= 41311
14
a a a =-
=-= 故数列{}n a 是周期为3的数列,而2019可被3整除 ∴201934
5
a a == 故选:A 【点睛】
本题主要考查递推数列,考查数列的周期性,考查合情推理,属于基础题
8.C
解析:C
由于数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?共有2025项,其中有45个平方数,12个立方数,有3个既是平方数,又是立方数的数,所以还剩余20254512+31971--=项,所以去掉平方数和立方数后,第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数,从而求得结果. 【详解】
∵2452025=,2462116=,20202025<,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数,
因为331217282025132197=<<=,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉
12个立方数,
又66320254<<,所以在从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数, 又是立方数的数,重复去掉了3个即是平方数,又是立方数的数, 所以从数列2
2
2
21,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项,此时距2020项还差2020197149-=项, 所以这个数列的第2020项是2025492074+=, 故选:C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力,解决该题的关键是找出第2020项的大概位置,所以只要
弄明白在数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项,去掉多少项,问题便迎刃而解,属于中档题.
9.D
解析:D 【解析】 【分析】
根据根号下的数字规律,可知为等差数列.利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项. 【详解】
根据数列中的项,… 由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-?=+
而=
所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.
10.A
【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-,根据{}n a 为递增数列,所以有10n n a a +->,建立关于
λ的不等式,解之可得λ的取值范围. 【详解】
由已知得22
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-,
因为{}n a 为递增数列,所以有10n n a a +->,即210n λ+->恒成立, 所以21n λ<+,所以只需()min 21n λ<+,即2113λ+=, 所以3λ<, 故选:A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质:递增性,根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键,属于基础题.
11.D
解析:D 【分析】
利用项和关系,1n n n a S S -=-代入即得解. 【详解】
利用项和关系,1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-,
34216a a ∴+=
故选:D 【点睛】
本题考查了数列的项和关系,考查了学生转化与划归,数学运算能力,属于基础题.
12.D
解析:D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==,说明数列是等差数列,然后求解数列的和即可. 【详解】 解:结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知,11122n n n S S S a +-+-=,
得到1122n n a a a +-==,故数列{}n a 为首项为1,公差为2的等差数列,则12(1)21n a n n =+-=-,所以1529a =,
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==, 故选:D . 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用,考查数列求和,是基本知识的考查.
13.C
解析:C 【分析】
设该数列为{}n a ,令1n n n b a a +=-,设{}n b 的前n 项和为n B ,又令1+=-n n n c b b ,则
n c n =,依次用累加法,可求解.
【详解】
设该数列为{}n a ,令1n n n b a a +=-,设{}n b 的前n 项和为n B ,又令1+=-n n n c b b , 设{}n c 的前n 项和为n C ,易得n c n =,
()()()111121n n n n n n n C c c c b b b b b b +----=++
+=++++-
所以11n n b b C +=-,1213b a a -==
22n n n C +=,进而得21332n n n n
b C ++=+=+, 所以()211
33222n n n n b n -=+=-+,
()()()()
222
111
1
1212332
2
6
n n n n B n n n n +-=++
+-++
++=+
同理:()()()111112n n n n n n n B b b b a a a a a a +---=++
+=+++--
11n n a a B +-=
所以11n n a B +=+,所以191024a =. 故选:C 【点睛】
本题考查构造数列,用累加法求数列的通项公式,属于中档题.
14.C
解析:C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ,即可求34,a a ,进而可得34,b b ,即可比较它们的大小. 【详解】 由题意知:13
28010
n n a a +=
+,6400=a , ∴345400a a a ===,而700n n a b +=, ∴34300b b ==, 故选:C
【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小,属于简单题.
15.D
解析:D 【分析】
分别求出23456,,,,a a a a a ,得到数列{}n a 是周期为4的数列,利用周期性即可得出结果. 【详解】
由题意知,212312a +==--,3131132a -==-+,41
1121312a -
==+,5
1132113
a +
==-,612312
a +==--,…,
因此数列{}n a 是周期为4的周期数列, ∴20205054413
a a a ?===. 故选D. 【点睛】
本题主要考查的是通过观察法求数列的通项公式,属于基础题.
16.B
解析:B 【分析】
本题先根据递推公式进行转化得到21
112n n n n a a a a +++=.然后令1n n n
a b a +=,可得出数列{}n b 是等比数列.即11322n
n n a a +??
= ???
.然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式,根据通项公式及二
次函数的知识可得数列{}n a 的最大项. 【详解】
解:由题意,可知: 21
112n n n n
a a a a +++=. 令1n n n a
b a +=,则11
2
n n b b +=. 2
11
16a b a =
=, ∴数列{}n b 是以16为首项,
1
2
为公比的等比数列.
1
11163222n n
n b -??
??
∴== ?
???
??
.
∴11322n
n n a a +??
= ???
. ∴1
211322a
a ??
= ???
, 2
3
21322a a ??
= ???
,
1
11322n n n a a --??
= ???
.
各项相乘,可得: 1
2
1
11
111(32)222n n n
a a --??????=? ? ? ???????
.
(1)
2
511()22n n n --??
= ?
??
2115(1)
22
1122n n n ---????= ? ?????
211
5522
12n n n --+??= ???
21
(1110)
2
12n n -+??= ???
.
令2()1110f n n n =-+,
则,根据二次函数的知识,可知:当5n =或6n =时,()f n 取得最小值. ()2551151020f =-?+=-,()2661161020f =-?+=-,
()f n ∴的最小值为20-. ∴2
11
(1110)(20)10
2
2
101112222n n -+?--??????=== ? ? ???
??
??
.
∴数列{}n a 的最大项为102.
故选:B . 【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式,构造新数列的方法,累乘法通项公式的应用,以及利用二次函数思想求最值;
17.C
解析:C 【分析】
根据选项进行逐一验证,可得答案. 【详解】 选项A. ()
1
1n a n n =-,当1n =时,无意义.所以A 不正确.
选项B. ()1221n a n n =-,当2n =时,()2
111
22221126
a ==≠???-,故B 不正确. 选项C.
11122=-,111162323==-?,1111123434==-?,1111204545==-? 所以11
1
n a n n =
-+满足.故C 正确. 选项D. 11n a n =-,当1n =时, 111
1012
a =-=≠,故D 不正确. 故选:C
18.B
解析:B 【分析】
由数列的递推关系式以及11a =求出2a ,进而得出3a . 【详解】
11a =,21123a a ∴=+
=,3215
23
a a -=+= 故选:B
19.A
解析:A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选:A
20.C
解析:C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出. 【详解】
数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式()()112n
n a n =--. 故选C . 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法,属于基础题.
二、多选题 21.ABD 【分析】
构造函数,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】 由, 设, 则,
所以当时,,
即在上为单调递增函数, 所以函数在为单调递增函数, 即, 即, 所以 ,
解析:ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122x
f x x x
-'=-
=--, 所以当01x <<时,0f x
,
即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2?? ???
为单调递增函数, 即()()102f f x f ??<<
???
,
即(
)131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=, 所以()1
12
f x << , 即
1
1(2)2
n a n <<≥, 所以
2112a <<,20201
12
a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,
1
12
n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用,属于难题.
22.BC 【分析】
根据递推公式,得到,令,得到,可判断A 错,B 正确;根据求和公式,得到,求出,可得C 正确,D 错. 【详解】 由可知,即,
当时,则,即得到,故选项B 正确;无法计算,故A 错; ,所以,则
解析:BC 【分析】
根据递推公式,得到11n n n
n n a a a +-=-,令1n =,得到121
a a =,可判断A 错,B 正确;
根据求和公式,得到1
n n n
S a +=,求出201920202019S a =,可得C 正确,D 错. 【详解】
由121n n n a n a a n +=+-可知2111
n n n n n
a n n n a a a a ++--==+,即11n n n n n a a a +-=-, 当1n =时,则12
1
a a =
,即得到121a a =,故选项B 正确;1a 无法计算,故A 错; 1221321111
102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++??????-=++
+=-+-+
+-=-= ? ?
???????,
所以1n n S a n +=,则201920202019S a =,故选项C 正确,选项D 错误. 故选:BC. 【点睛】 方法点睛:
由递推公式求通项公式的常用方法:
(1)累加法,形如()1n n a a f n +=+的数列,求通项时,常用累加法求解; (2)累乘法,形如
()1
n n
a f n a +=的数列,求通项时,常用累乘法求解; (3)构造法,形如1n n a pa q +=+(0p ≠且1p ≠,0q ≠,n ∈+N )的数列,求通
项时,常需要构造成等比数列求解;
(4)已知n a 与n S 的关系求通项时,一般可根据11,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解.
23.ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意,,A 正确,,C 正确; ,∴数列是周期数列,周期为3. ,B 错; ,D 正确. 故选:ACD . 【点睛】 本
解析:ACD 【分析】
先计算出数列的前几项,判断AC ,然后再寻找规律判断BD . 【详解】
由题意211122a =-=,31
1112a =-=-,A 正确,313
2122
S =+-=,C 正确;
41
121
a =-
=-,∴数列{}n a 是周期数列,周期为3. 2019367331a a a ?===-,B 错;
201932019
67322
S =?=,D 正确.
故选:ACD . 【点睛】
本题考查由数列的递推式求数列的项与和,解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质:周期性,然后利用周期函数的定义求解.
24.AB 【分析】
由题意可得,利用裂项相相消法求和求出,只需对于任意的恒成立,转化为对于任意的恒成立,然后将选项逐一验证即可求解. 【详解】 ,, 则,,,,
上述式子累加可得:,, 对于任意的恒成立
解析:AB 【分析】 由题意可得
111
11n n a a n n n n +-=-++,利用裂项相相消法求和求出122n a n n
=-<,只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,转化为
()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,然后将选项逐一验证即可求解.
【详解】
111
n n n a a n n
++-=,11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++, 则
11111n n a a n n n n --=---,12111221n n a a n n n n ---=-----,,2111
122
a a -=-, 上述式子累加可得:111n a a n n -=-,1
22n a n n
∴=-<,
()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
整理得()()210t a t a --+≤????对于任意的[]1,2t ∈恒成立,
对A ,当4a =-时,不等式()()2540t t +-≤,解集5,42??-????
,包含[]1,2,故A 正确;
对B ,当2a =-时,不等式()()2320t t +-≤,解集3,22??-????
,包含[]1,2,故B 正确;
对C ,当0a =时,不等式()210t t +≤,解集1,02??-????
,不包含[]1,2,故C 错误; 对D ,当2a =时,不等式()()2120t t -+≤,解集12,2
??-???
?
,不包含[]1,2,故D 错误,
故选:AB. 【点睛】
本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立,考查了转化与划归的思想,属于中档题.
25.AD 【分析】
分类讨论大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】 ①, 与题设矛盾. ②符合题意. ③与题设矛盾. ④ 与题设矛盾. 得,则的最大值为. B ,C ,错误. 故选:AD. 【点睛】
解析:AD 【分析】
分类讨论67,a a 大于1的情况,得出符合题意的一项. 【详解】
①671,1a a >>, 与题设
671
01
a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.
③671,1,a a <<与题设
671
01
a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.
得671,1,01a a q ><<<,则n T 的最大值为6T .
∴B ,C ,错误.
故选:AD. 【点睛】
考查等比数列的性质及概念. 补充:等比数列的通项公式:()1
*
1n n a a q
n N -=∈.
26.BD 【分析】
根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】 因为数列满足,, ; ;
;
数列是周期为3的数列,且前3项为,,3; 故选:. 【点睛】 本题主要
解析:BD 【分析】
根据递推关系式找出规律,可得数列是周期为3的周期数列,从而可求解结论. 【详解】
因为数列{}n a 满足112
a =-,11
1n n a a +=-,
2121
31()
2
a ∴=
=--;
32
1
31a a =
=-; 41311
12
a a a =
=-=-; ∴数列{}n a 是周期为3的数列,且前3项为12-
,2
3
,3; 故选:BD . 【点睛】
本题主要考查数列递推关系式的应用,考查数列的周期性,解题的关键在于求出数列的规律,属于基础题.
27.BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然,,,,,所以且,即B 满足条件; 由, 所以 所以数列
解析:BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,