空间中的垂直关系(带答案)教学提纲

空间中的垂直关系(带

答案)

空间中的垂直关系专题训练

知识梳理

一、线线垂直：

如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角

为，则称这两条直线互相垂直.

二、线面垂直：

1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且

和这个

平面内的_________________，则称这条直线和这个平

面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面

α互相垂直，记作l⊥α.

2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线

与这个平面垂直.

推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.

推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.

3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.

三、面面垂直：

1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第

三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作

α⊥β.

2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.

3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于

直线垂直于另一个平面.

四、求点面距离的常用方法：

1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.

2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.

3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.

题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质

例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，

A C⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．

（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；

（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．

【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥

BD．

∵CE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴CE⊥BD．

又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE?面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，

∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC

又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，

∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC?平面ACF，∴AC∥面B1DE．

【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：

1．

（Ⅰ）证明：EA⊥ PB；

（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．

【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以

△ ACD为等边三角形，

又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以

EA⊥PA．

而AB∩PA=A

所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．

（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．

连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，

所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．

而BM∩MG=M

所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．

【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．

（1）证明：AA1⊥ BD

（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．

【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴

BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD?面ABCD，∴

A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O?面A1AC，AC?面A1AC，

∴BD⊥面A1AC，AA1?面A1AC，∴ AA1⊥BD．

（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B?平面A1BD，A1D?平面A1BD，CD1?平面CD1B1，B1C?平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．

（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，

在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，

∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD?A1O=?（）2?=

∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．

【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，

AB=BC=AC=AA1=4，

点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．

（1）求证：AE⊥平面BCC1B1

（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；

（3）证明：B1E⊥AF．

【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，

∴AE⊥ BC．

在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，

∴ BB1⊥平面ABC，

∵ AE?平面ABC，

∴ BB1⊥ AE，…．（2分）

又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）

BB1，BC?平面BB1C1C，

∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）

（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）

∴=?AE==…（7分）

（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E?平面BB1C1C，

∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，

B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）

又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF?平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）

∵ AF?平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）

【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB

（1）求证：PC⊥ BC；

（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；

（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．

【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又

∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．

又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC?平面PCD，∴

PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，

∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．

∵ E是PC的中点，

∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣

=V G﹣DEC=GC?S△DEC=××1=．

DEG

（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD

于点M，则PA∥平面MEG．

证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又

∵EO?平面MEG，PA?平面MEG，

∴PA∥平面MEG．

在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．

∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1

（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E

点的位置；若不存在，请说明理由．

【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1

∵ BB1⊥平面A1B1C1

∴ B1C1⊥BB1

∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1

∴ B1C1⊥平面A1B1BA

∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1

∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1

（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面

A 1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，

，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…

∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又

A1E?平面ACC1A1∴ A1E⊥ BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面

A1BD

【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥ BC1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1．

【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，

所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．

又因为AC=3，BC=4，AB=5，

所以AC2+BC2=AB2，

所以AC⊥BC．

又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．

（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。又∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，

CD⊥B1D．

（1）证明：CD⊥ B1C1；

（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，

由D为AA1的中点，则DC=DC1，

又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，

则CD⊥ DC1，

而CD⊥ B1D，B1D∩DC1=D，

则CD⊥平面B1C1D，

由于B1C1?平面B1C1D，

故CD⊥ B1C1；

（2）解：由（1）知，CD⊥B1C1，

且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，

V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=V B1﹣CDA1C1=S CDA1C1?B1C1=×?B1C13=B1C13，

V=V ABC﹣A1B1C1=AC?BC?CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，

故这两部分体积的比为1：1．

【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．

（1）求证：D1E⊥A1C1；

（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；

（3）求几何体ABED1D的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为

正方形，

所以A1C1⊥B1D1．

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，

又A1C1?平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．

因为DD1∩B1D1=D1，DD1?平面BB1D1D，B1D1?平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．

又D1E?平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）

（Ⅱ）解：连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．

因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．

所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以．…（8分）

（Ⅲ）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．

因为==，点A到平面BED 1D的距离h=，

所以几何体ABED 1D的体积为：=．…（13分）

题型二面面垂直的判定

例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，

D、E分别是BC、CA的中点.

（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；

（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由.

【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，

G为AC与BD的交点，BE⊥平面

ABCD．

证明：平面AEC⊥平面BED.

【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；

【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（1）求证：BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．