高一数学讲义 函数及其表示法

函数及 其表示

要求层次

重难点

函数的概念与表示

C 理解函数的概念及对函数符号()y f x =的理解；会求函数的定义域、简单的函数的值域；会作出一些基本函数：一次函数，二次函数等函数的图象；理解分段函数的定义及其应用；理解映射的概念．

映射 A 函数的表示

B

板块一：函数及其相关概念 （一）知识内容

1．函数的概念：设集合A 是非空的实数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有惟一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作(),y f x x A =∈．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．

函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．

2．函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等． 3定义 名称 符号 数轴表示

{|}x a x b ≤≤

闭区间

[,]a b

b

a x

{|}x a x b << 开区间

(,)a b b

a x

{|}x a x b ≤<

半开半闭区间

[,)a b

x

a b

高考要求

第2讲 函数及其表示

知识精讲

（二）典例分析：

【例1】判断以下是否是函数：

⑴2

45

y x

=-；⑵y x

=±；⑶y=；⑷229

x y

+=．

【例2】如图所示，能表示“y是x的函数”的是．

①

【例3】（2006．台湾）

将正整数18分解成两个正整数的乘积有：118

?，29

?，36

?三种，又36

?是这三种分解中两数的差最小的，我们称36

?为18的最佳分解．当p q

?()

p q

≤是正整数n的最佳分解时，我们规定函数()

p

F n

q

=，例如

31

(18)

62

F

==，下列有关函数()

F n的叙述，正确的序号为

（把你认为正确的序号都写上）

⑴(4)1

F=；⑵

3

(24)

8

F=；⑶

1

(27)

3

F=；

⑷若n是一个质数，则()

F n

1

n

=；⑸若n是一个完全平方数，则()1

F n=

【例4】设

2,(10)

()

[(6)],(10)

x x

f x

f f x x

-≥

?

=?

+<

?

，则(5)

f的值为（）

A．10B．11C．12D．13

【例5】函数

y=___________．

【例6

】已知函数1

()

7

f x x -， ⑴求函数的定义域；

⑵求(11)f ，5

4f ??

???

的值；

⑶ 当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值．

【例7】求下列函数的定义域⑴y =⑵y =

；

⑶1111

1y x x

=

-

-

-

．

【例8】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）

⑴1(3)(5)

3

x x y x +-=+，

25y x =-；

⑵1y =2

y =

⑶()f x x =，()g x =

⑷()f x =()F x = ⑸21()f x =，2()25f x x =-．

A ．⑴、⑵

B ．⑵、⑶

C ．⑷

D ．⑶、⑸

【例9】函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，

则满足条件的实数a 组成的集合是 ．

【例10】求下列函数的值域

⑴ 23

1

x y x -=+；⑵ 21y x =--， [1,3]x ∈-；

⑶ 2234y x x =---；⑷ 5y =-．

【例11】求下列函数的值域 ⑴1

y x x

=+；⑵y x =+．

【例12】利用判别式方法求函数22223

1

x x y x x -+=-+的值域．

【例13】若(0x y =，求x y -的最大、最小值．

【例14】若2

2

()1x f x x =+，

那么求1111(1)(2)(3)(4)(2005)2342005f f f f f f f f f ????????

+++++++???+++ ? ? ? ?????????

．

【例15】已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）

A ．5

[0]2

， B ．[14]-， C ．[55]-， D ．[37]-，

【例16】（2006年安徽高考）

函数()f x 对于任意实数x 满足条件1

(2)()

f x f x +=

，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 【例17】设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）

A ．21x +

B ．21x -

C ．23x -

D ．27x +

【例18】已知函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1

(),f x x

=则当

(,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式为（ ）

A ．1x -

B ．12x --

C ．12x +

D ．12

x -+

【例19】设函数1

1(0),2

()1(0).x x f x x x

?-≥??=??，则实数a 的取值范围是 ．

.

【例20】已知22111

(),x x f x x x

++=+求()f x ．

【例21】设()f x 满足1

()()af x bf cx x

+=（其中,,a b c 均不为0，且a b ≠±），求()f x ．

【例22】由函数的解析式，求函数值

⑴已知函数2()352f x x x =-+，求(1)f ，1f a ??

???

，(1)f x +；

⑵已知1(0)

()π

(0)0(0)

x x f x x x +>??

==??

，求{}[(1)]f f f -； ⑶已知()f x 的定义域为{}0x x >，且()()()f xy f x f y =+，若(9)8f =，求(3)f ．

板块二：函数的三种表示法

1．解析法：

用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．

优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；

二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 2．图象法：

把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(,())x f x 对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{(,)|(),}F P x y y f x x A ==∈．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．

优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．

3．列表法：

列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法．

优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用． 4．分段函数：

对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数，称为分段函数．

【例23】某商场做活动，某款玩具小熊的单价是5元，买x （x ∈{1,2,3,4,5}）个玩具小熊需要y 元．试

用函数的三种表示法表示函数()y f x =．

【例24】作出函数()|2||1|

f x x x

=--+的图象．

【例25】已知

1,0

()

1,0

x

f x

x

≥

?

=?

-<

?

，则不等式(2)(2)5

x x f x

++?+≤的解集是．

【例26】函数

x

y x

x

=+的图象是（）

【例27】如右图所示，在平行四边形ABCD中，60

DAB

∠=?，5

AB=，3

BC=，点P从起点D出发，沿DC，CB向终点B匀速运动，设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP

所围成的图形的面积为y，y随x变化而变化，在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）

【例28】已知函数2

2

()

2

x

f x x

x

+

?

?

=?

?

?

(1)

(12)

(2)

x

x

x

-

-<<

≤

≥

，

⑴求()

fπ；（2）若()3

f a=，求a；

⑶作出此函数的图象．

P

D C

B

A

D

C

B

x

O

y

8

8

y

O x x

O

y

8

8

y

O x

习题1. 下列各组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的一组是（ ）

A ．2

(),()x f x x g x x

==

B ．()f x x =，()||g x x =

C ．()||f x x =，2()g x x =

D ．()||,f x x =(0)

()(0)x x g x x x >?=?

-

习题2. 求函数12y x x =--的值域．

习题3. 已知函数21(0)

()2(0)

x x f x x x ?+≤=?->?，若()10f x =，则x = ．

习题4. 若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π?->?

==??

习题5. 若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．

习题6. 若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ．

家庭作业

习题1. 求下列函数的值域：

⑴34x y x

+=

- ⑵25

243y x x =-+．

习题2. 若1

()(

)1x f x f x x

-+=+，求()f x ．

习题3. 如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一动点P ，从点B 开始，沿折线BCD 向点A 运动．设点P 移动的距离为x ，ABP ?的面积为y ，

求函数()y f x =及其定义域，并根据所求函数画出函数图象．

月测备选

x

y

P

A

B

C

D