历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析
题
1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--
=
-
+=
<<的大小关系
是 .
（第十一届高二第一试第11题）
解法1 b
b a a b b a x +
+=
-
+=
，a
b b a a b b y -+
=
--=.
y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .
解法2
b b a a
b b a b b b
b a y x +
+-+=
---+=
，y x y
x a b b a <∴<∴
->+,1, .
解法3 a
a
b b a
b
b a a
b b b
b a y
x
-+
-
+
+=
--
-
-+=
-1111
=
y x y
x
a
a
b b a <∴>-∴>--
+,011,0.
解法4 原问题等价于比较a b b a -+
+与b 2的大小.由,2
)
(2
2
2y x y x +≥
+得
b a b b a a b b a 4)(2)2
=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴
.
y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠
+,2,
.
解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的
点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）.
由图象，显然有AB BC k k <，即
)
()(a b b a
b b b
b a b
b a ----
<
-+-
+，
即a b b b b a --<-+，亦即y x <.
解法6 令()f t =，t
t a a t f +
+=
)( 单
调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-
+，y x <∴.
解法7 考虑等轴双曲线)0(2
2
>=-x a y x .
图1
如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点 A （
b ，a b -）、B （
a b +，b ）. 由图形，显然有1>AB k ，即
1>-
+--
b
b a a
b b ，从而y x <.
解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，
AC=
b ，BD=
b ，则AB=
b a +，DC=a b -.
在△ABD 中，AB-AD 从而-+b a AD-DC<-b DC ， 即a b b b b a -- < - +，故y x <. 评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时， 1a a b b >?>；0, 1a a b b >?<.此题直接作差难以确定差与0的大小， 解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法. 有人对此题作出如下解答： 取,2,1==b a 则1 2112,23123+= -= + = - = y x ，> 10+>， .,1 212 31y x <∴+< + 可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <. 从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题： 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则-- = - += <<的大小关系是 图 2 图3 （ ） A 、y x > B 、y x ≥ C 、y x = D 、y x < 此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确. 总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的. 题 2 设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c + ≥ ---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （第十一届高二第一试第7题） 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+ --? ．min a c a c n a b b c --?? ∴≤+??--??．而b a c a --+c b c a -- =b a c b b a --+-+ b c a b b c -+--=2+ b a c b --+ c b b a --≥4，且当 b a c b --= c b b a --，即 b c a 2=+时取等号．m in a c a c a b b c --?? ∴+?? --??4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为 ()()()2a c n a b b c -≤ --．由 ()()() () 2 2 2 42a c a c a b b c a b b c --≥=---+-?? ? ?? ，即()()()4min 2=??? ???---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ． 解 法 3 由 c b a >>，知0,0,0>->->- c a c b b a ，有 ()? ? ? ??-+--≤c b b a c a n 11 ．又 ()()()[]()4111 1 1 1 2 =+≥?? ? ??-+ --+-=?? ? ??-+ --c b b a c b b a c b b a c a ， 即()411 min =? ???? ???? ??-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ． 解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为 () ()() 2 a c n a b b c -≤ --．记() ()() 2 a c k a b b c -= --， 则()()[]()() ()()[]()() 422 2 =----≥ ---+-= c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ． 解法5 c b a >>1 10, 0.a b b c ∴>>--于是 ()() c a c b b a c b b a -= -+-≥ -+-44 11．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()?? ? ?? -+ --≤c b b a c a n 1 1 恒成立． 根据常识“若()a f x ≤恒成立， 则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()?? ? ?? -+ --c b b a c a 1 1 的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()?? ? ?? -+ --c b b a c a 1 1 的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用 了2,,b a a b R a b + +≥∈“”；解法2运用了”“2 2?? ? ??+≤b a ab ；解法3运用了 ()”“411≥??? ??++b a b a ；解法4运用了()”“+ ∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了 ()”“+ ∈+≥ +R b a b a b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归． 此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证： 0111>-+ -+ -a c c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-． () 22 111111x y xy a b b c c a x y x y xy x y ++∴+ + = + - = ---++．0,0x y >> ， 0111>-+-+-∴a c c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法： 设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．c a n c b b a -≥ -+ -11恒成立， 就是 y x n y x +≥+1 1 恒成立．也就是()???? ??++≤y x y x n 11 恒成立．()411≥???? ??++y x y x 恒 成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ． 再看一个运用这一思想解题的例子． 例 设+ ∈R c b a ,,，求证： 2 2 2 2 c b a b a c a c b c b a ++≥ ++ ++ +． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题） 证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,2 1>++ = ++z y x z y x c b a ． ()() () 02 2 2 2 ≥+-= ++- + y x xy bx ay y x b a y b x a ，() 2 2 2 a b a b x y x y +∴ + ≥ + ①， () () () () 2 2 2 2 2 2 2 22 a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴ + + ≥ + ≥ = = +++++,即 2 2 2 2 c b a z c y b x a ++≥ + + ，2 2 2 2 c b a b a c a c b c b a ++≥ ++ ++ +∴ ． 本赛题还可直接由下面的命题得解． 命题 若021>>>>n a a a ，则 ()n n n a a n a a a a a a --≥ -+ +-+ --12 13 22 11111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用 ①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n + ∈= ,则2 2 11 1 n i n i i n i i i i x x y y ===?? ??? ≥∑∑ ∑ ,当且仅当 121 2 n n x x x y y y = == 时取等 号”. 故有 ()() 2 2 12 231122********* 1 n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a --+++-+ ++ ≥ = ----+-++-- ． 也可以这样证明： 021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴---> ．故由柯西不等式，得 ()()()1223112 23 1111( )n n n n a a a a a a a a a a a a --+ ++ -+-++-???? --- ()()2 11 111n -≥+++ 个 ()2 1n =-，即()()2 113 22 11)111( -≥--+ +-+ --n a a a a a a a a n n n ．01>-n a a ， ()n n n a a n a a a a a a --≥ -+ +-+ -∴ -12 13 22 11111 ． 由此可得本赛题的如下解法： c b a >>， ,0,0>->->-∴c a c b b a ， ()c a c b b a c b b a -=-+-+≥ -+-∴411112 ．由 题意，4≤n ．故选C ． 由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>> ，并且12 23 20002001 111m a a a a a a = +++--- ，2001 16 10 4a a n -?= ，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解 1232 000 2 a a a a a >>> >> ，2001 16 2001 12 10 42000 a a a a m -?= -≥∴．故选C ． 题 3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( ) A 、 2 1()b a + B 、 2 12 2b a + C 、 2 2 2b a + D 、 ab （第十一届高二培训题第5题） 解法1 设,sin ,cos ααa n a m = =,sin ,cos ββb y b x == 则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤ -=+ =+βαβαβα 即 (ny mx +max = ab .故选D ． 解法 2 b n a b m a b a n m =+ ? =+2 2 2 2 ,又 b y x =+2 2,+=+∴mx a b ny mx a b )( ≤ ny a b 2222 ()() 2 2 2 b m n x y a ++++ == . 2 b b a a b =+? ny mx +∴,ab a b b =≤ 当且仅 当 x = 且 ,y =即m y nx =时取等号， m a x )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2m x ny m x m xny n y m x m y n x n y +=++≤+++ ()()2 2 2 2 , m n x y ab =++ =m x ny ∴+≤当且仅当m y n x =时取等号，故 ( )m a x m x n y a b + =解 法 4 设 ()(),,,, p m n q x y → → ==则 cos ,p q p q p q θ→ → → → → → ?=??≤?2 2 2 ,p q p q → → → → ∴?≤? ()()2 2 2 m x ny m n +≤+即()2 2 ,x y ab +=当且仅当,p q → → 共线，即m y nx =时取等号，故 ( )max mx ny += 解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是 ≤ ( )max k mx ny mx ny =+≤ ∴+= 解法6 设 12,z m ni z x yi =+=-,则 ()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+?-=++-∴ 1212 ,z z mx ny mx ny mx ny z z ?= ≥ =+≥+∴+≤ 1 2 z z = ?= = 当且仅当m y n =时取等 号，故 ()m a m x n y a b + = 解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++， 则()()()2 2 0.f X mX x nX y =+++≥故()()()2 222244mx ny m n x y ?=+-++ ()2 440, mx ny ab =+-≤即 ()max mx ny mx ny +≤ ∴+.ab = 解法 8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中 90,A C B A D B ? ∠=∠=,A C m = ,B C n = ,,BD x AD y AB ===为圆的直径， 由托勒密定 理,AD BC BD AC ?+?2 ,AB C D AB =?≤得 ,x y b ?+?≤，从而得 m x n a b +≤，当且仅当m y nx =且0m x >时取等号．()max mx ny ∴+= ． 评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一． 解法2运用基本不等式2 2 2 b a ab +≤ 将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式 子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法： ()() ()2 2 2 2 2 2 22 m ax ,2 2 2 2 2 m n x y m x n y a b a b m x ny m x ny ++++++++≤ + = = ∴+= ．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，m x ny +取不到 2 a b +．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁． 解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+2 2 有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功 能． 解法 7运用的是构造函数法．为什么构造函数 ()()()2222f X m n X mx ny X =+++2 x + 2 y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤?， 而?沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决． 解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景． 拓展 此题可作如下 推广 若 222222 1212,, n n a a a p b b b q +++=+++= 则 ()1122max n n a b a b a b +++ = ()1,2,,i i b i n == 时取得最大值）. 证明 2 2 2 222 12 12n n a a a p ?? ???+++=?+++ ? ?? ? ??? ?? ?? .q = 1122a b a b ∴+++ 1122n n n n a b b b b ? = ?+ ?++ ???? ≤ 2 2 2 + ++ ????? ? = () ,2222222212 2221pq q p p q q p b b b a a a p q q p n n = ????? ? ??+?=??????????? ?+++++++ 当且 仅当 ()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a p q n n i i = +++∴== 时取等号， 本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式 ()( )() 2 2221 2 2 22 12 2 211n n n n b b b a a a b a b a b a +++?+++≤+++ （当且仅当 n n b a b a b a = == 2 21 1时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例： 例 已知123,,,,,,234,8. a b c x y z R a b c x y z + ∈++=++=且 求最 大值． 解 2 2 2 1232344,8a b c b c x y z ++==++ =2 2 ? ??+ ?? 2 ? + ? ＝8．由推广 知 =≤=当且仅 当 = 3 , ==即 1 2 ax by cz ===时取等号． m ax ? ∴= ? .2 4 题4对于1 ≤ m的一切实数m，使不等式2 21(1) x m x ->-都成立的实数x的取值范围是＿＿＿＿ （第十三届高二培训题第63题） 解法1题设等价于 ? ? ? ? ? - - < > - 1 1 2 1 2 2 x x m x 或 ? ? ? ? ? - - > < - 1 1 2 1 2 2 x x m x 或 ? ? ? > - = - 1 2 1 2 x x ，即 ? ? ? ? ? - - < > - 1 1 2 1 1 2 2 x x x 或 ? ? ? ? ? - - > - < - 1 1 2 1 1 2 2 x x x 或 ? ? ? > - = - 1 2 1 2 x x ,所以2 1< 1 3< < -x或1 = x，即)2,1 3 (- ∈ x. 解法2 已知不等式即()()0 1 2 1 2< - - -x m x，令()()1 2 1 ) (2- - - =x m x m f，则当0 1 2≠ - x，即1 ± ≠ x时，) (m f是m的一次函数，因为1 ≤ m，即1 1≤ ≤ -m时不等式恒成立，所以) (m f在[]1,1-上的图象恒在m轴的下方，故有? ? ? < + - - = < + - + - = - 1 2 1 )1( 1 2 1 )1 ( 2 2 x x f x x f ，即 ? ? ? < - > - + 2 2 2 2 2 x x x x ，解得2 1 3< < -x)1 (≠ x. 又当1 = x时，1 ) (- = m f，适合题意，当1 - = x时，()3 f m=不合题意. 故x的取值范围是2 1 3< < -x. 评析解决本题的关键是如何根据条件构建关于x的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对1 2- x分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m的不等式，从而将原问题转化为函数()()1 2 1 ) (2- - - =x m x m f在[]1,1-上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决 显得既简捷，又直观易懂. 题5 当0x a <<时,不等式 2) (112 2 ≥-+ x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题) 解法 1 当0x a <<时, 2≥-+ -x a x x x a ① ,又有2)()(2 2 2 2 ≥-+ -x a x x x a ② , ②+①×2,得 6)(22 22 2 2≥--+ -x a x ax x x a , 6) ()(12 2 22 2≥---+ -x a x a a x a , 8) (2 2 2 2≥-+ x a a x a ,即 2 2 2 8) (11a x a x ≥ -+ .由 282 ≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法 2 2 222)11()11()(112x a x x a x x a x --+-+=??????-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4 (1a 2 )x a x x x a -- -, 222)4()(112a x a x ≥??????-+∴, 即2 228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x x x a -=- 且 x a x -= 11, 即 2 a x = 时取等号. 2) (112 2 ≥-+ x a x 恒成立, ∴ 2 82,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于 12 )(11 2 2 ≥-+ x a x ,由 0x a <<,可知 10, x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需 1) (2≥-+x a x , 即2 ≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a . 解法 4 2 2 ) (11x a x -+ 2≥ 即 2)(1122 22 ≥?? ? ???--++x x a x x ①成立，又 212 2 ≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足 2 2 ) (1 x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得 2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012 ≤-+-ax x ③ .由于对称轴),0(2 a a x ∈=，由二次函 数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ?=-≤∴<≤ 2max =∴a . 解法5 设 αα2 2 sin , cos =-=a x a a x （0x a <<） ，则2 2 ) (11x a x -+ = α 4 2 cos 1a + α 4 2 sin 1a = = +? α ααα4 4 4 42 cos sin cos sin 1a = -?α α 2sin 16 12sin 2 1114 2 2 a α α 2sin 2sin 284 2 2 -? a . ) 22(sin 2 +αα 2(sin 2 －1）0≤，即2－ αα2sin 2sin 4 2 ≥，则 α α2s i n 2s i n 24 2 -1≥)12s i n (2 时取等号当=α，于是 2 2 2 8) (11a x a x ≥-+ ，由已知，得 2 82,02,a a ≥∴<≤2m a x =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x = = >>-则 2 2 2X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11 ,,X Y x a x = = -得 ,aXY X Y =+又aX Y X Y =+,4 ,2 2a XY XY ≥∴≥它表示 双曲线2 4a XY = 位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意， 双曲线2 2 2 4(0)200XY X X Y X Y a = >+=>>与圆弧（，） 相切或相离，从而 282 ≥a ，即02a <≤ 2max =∴a . 解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+ ，则 ≥+ ++ n n y x y x y x 2 2 2 2 1 2 1 ),()(212 21*++++++n n y y y x x x 当且仅当 k y x y x y x n n == == 2 21 1（常数）时取等 号.” 0x a <<， ∴0.a x ->由柯西 不 等式 ，有 2 2 2 2 2) 11()) (11)( 11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+ 1 1a 4≥②.故 O 2 x O ,)4())(1 1( 2222 a x a x ≥-+ 得2 228 )(11a x a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a ，得02a <≤ 2max =∴a . 解法 8 运 用 结 论“ 2 1212 23 11111(1) ,, n n n n n a a a a a a a a a a a -->>>+ ++ ≥ ---- 若则 当且 仅 当 n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”22221111 22()(0) ()x a x x a x ????+=+≥???? ---???? 2 1 10x a x ??+ ?--??2 2 2160)13(a a = ???? ??--≥.∴ 2 2 2 8) (11a x a x ≥ -+ ，当且仅当x a x -=，即 2 a x = 时取等号.令 282 ≥a ，得02a <≤ 2max =∴a . 评析 2) (112 2 ≥-+ x a x 恒成立，∴2)(1 1min 22≥? ?????-+x a x .故问题的实质就是求2 2 )(11x a x -+ 的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如 何求 2 2 ) (11x a x -+ 的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等 于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为 一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味. 拓展 此题可作如下推广： 推广1 若1210n x x x a -<<<<< ，则 ≥ -+ +-+ -2 12 122 1 ) (1) (11n x a x x x 2 3a n ， 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号. 证明 由已知，121 0n x x x a - <<< << ，则12x x -0>，23x x -0>， , 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有 ? ?????-++-+-2121221 )(1 )(11n x a x x x n ≥ 2 1 211111 n x x x a x -??+++≥ ?--?? 2 24 2,n n a a ??= ??? 故 ≥ -+ +-+ -2 12 122 1 ) (1) (11n x a x x x 2 3a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号. 推广2 若1210n x x x a -<<<<< ，,),,,2,1(++ ∈=∈N k n i R b i 则 ++k k x b 1 11 k k n k n k n k k a b b b x a b x x b 12111 121 2 ) () () (+-+++++≥ -+ +- ，当且仅当∑== n i i i i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11 +=∑k n i i b 由已知得 i a 0> 且 ),,2,1(n i =,1 a a n i i =∑=令a a c i i = ，则∑=n i i c 1 = 111 =∑=n i i a a .由均值不等式， ++k i k i c b 1 ≥ +++ 个 k i i i Mc Mc Mc ,)1(11 +++k k i k b M k 即 k i k i c b 1+k n i b b b k kMc ) )(1(21++++≥+ i b ?， 则 111 1 1(1)()k n n n k i i i k i i i i b kM c k b c ++== = +≥+ ∴ ∑ ∑∑11 1 1 ()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑ ∑，即1 1 k n k i k i i b a a +=≥∑ 11 ()n k i i b +=∑， 1 11 1 1()n k k i n i i k k n i i i i b b a a ++===≥ ?? ??? ∑∑ ∑，当且仅当=i a ∑∑∑====? ? ??? ? ??????n i i i i n i i n i i b ab b b a 111 时取等号. ∴ + +k k x b 1 11 ++k k x b 2 12 k n k n x a b ) (1--+ k k n a b b b 1 21) (++++≥ . 题6 已知()??? ??∈=2,0,log sin πθθ x x f ，设?? ? ??+=2cos sin θθf a ， ( ) θθcos sin ?=f b ，?? ? ??+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤ （第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq q p ≥ +2 ，而()x f 是减函数， ( ) pq f q p f ≤?? ? ??+∴2，即b a ≤.2 q p pq +≤ ，() 2 pq q p pq +≤ ∴， pq q p pq ≤ +2.( ) pq f q p pq f ≥??? ? ??+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D. 解法2 由题意，令6 π θ= ，则2 1sin = θ，cos 2θ= 4 3 12cos sin += +θ θ ， 2 3cos sin 4 = θθ， 2 3 3cos sin cos sin 2cos sin 2sin -= += +θ θθθθ θθ ， ()1,02 1sin ∈=θ ，() x f ∴是减函数，又 2 3 32 34 3 14 -> > +， ( ) ?? ? ??+< ? ??+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f f f ，即c b a <<.故选D. 评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f > ()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的 大小关系.解法1就是这样解决问题的. 因为正确答案应对一切??? ?? ∈2, 0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对?? ? ??2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取 特殊值6 π θ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的. 当然，此题也可用作差比较法来解：?? ? ? ? ∈2, 0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减 函数，0sin >θ，0cos >θ.=?-+=-∴θθθ θθ θ cos sin log 2 cos sin log sin sin b a 01log cos sin 2 cos sin log sin sin =≤?+θ θ θ θθ θ，b a ≤∴.又-?=-θθθ cos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+?=+θ θ θ θ θ θθ θθ θθθθ θθ θθ ，即 c b ≤，c b a ≤≤∴.选D. 题7 已知21 = a ，不等式4 9321log < ?? ? ??-x a 的解是 . （第三届高二第二试第13题） 解 原不等式即2 log 32321-?? ? ?? ? ? ??-x a . 指数函数x ??? ??32是减函数，2 1=a ，∴原不等 式化为2lo g 12 1->-x ，即2 212 112 1lo g lo g -? ??? ??->x .又 对数函 数l o g x 是减函数， 2 211-? ? ? ??<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数12 1log -x 的定义域是1 ≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31< 评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下： ⑴若01a <<,则() () ()()f x g x a a f x g x ； ⑵若1a >,则() () ()()f x g x a a f x g x () ()()log log 0f x g x a a f x g x >； ⑷若1a >,则() () ()()log log 0f x g x a a f x g x 有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴a c c a log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式） ⑵log a c a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23 log 32=将常数2化为3为底的指数式，2 33 log 2=将常数2化为3为底的对数 式. 解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式 () x x x >lg 的解集是 . （第十一届高二培训题第40题） 解 两边取常用对数，得( ) x x lg lg 2 >，即 0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 412 2 <>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或4 10>x .故所求解集 是()()+∞,101,04 . 应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变. 关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）. ⑴()0≤a a x 的解集是R ； ⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习： ⑴已知常数?? ? ??∈4,0πθ，则不等式() ()810 3cot tan 2 --->x x x θθ 的解集是 . （第八届高二第一试第16题） ⑵若函数()??? ? ? ???? ?? =4 22 2log log x x x f 的定义域是不等式2 1 122 2log 7log 30x x ??++≤ ???的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= . （第十届高二第一试第23题） ⑶不等式222 22log 2log x x x x x x ++>的解集是 . （第九届高二培训题第23题） ⑷不等式1323>--x 的解是 （ ） （A ）6>x 或 23 2<≤x （B ）6>x 或2 （C ）6>x （D ）2 答案 ⑴(]???? ? ? -∞-1374, 52, ⑵43 ；2 ⑶?? ? ??2,21 ⑷ A 题8 不等式t x x +≥-21 的解集是? ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 . (第一届高二第一试第18题) 解法1 由t x x +=-2 1两边平方并整理得01222 2=-++t tx x ,此方程无实根,故 ( ) 08418422 2 <+-=--=?t t t ,22 >t .又0>t ,2>∴t .故填 ( ) +∞,2. 解法2 作出函数2 1x y -=的图象(即图中的半 圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2> t .故填 ( ) +∞,2. 解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设 θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是 t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t . ??? ??-= -4sin 2cos sin πθθθ ,又?? ? ???-∈ ??? ?? -43,44πππθ,( )sin cos [θθ∴-∈-. 由题意得2>t . 故填 ( ) +∞,2. 评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-2 1 的解集是?等价于不等式 x x t -->2 1恒成立.有人认为不等式t x x +≥-2 1 的解集是?等价于不等式 x x t --> 2 1有解,这种观点是错误的.事实上,2 1= t 时,不等式x x t --> 2 1就有解(比 如5 3=x 就是其一个解),而2 1=t 时,不等式t x x +≥-2 1即2 112 +≥-x x 的解集却不 是? (比如0就是它的一个解). 拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是?,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是?,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥. 若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出． 根据这一结论，请回答下列问题： 1. t ≥+的解集是?，则实数t 的取值范围是 ． 2. t ≤+的解集是?，则实数t 的取值范围是 ． 3. t ≥+有解，则实数t 的取值范围是 ． 4. t ≤+有解，则实数t 的取值范围是 ． 5. t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6. t <+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 答案 1. ()2,+∞ 2.(,-∞ 3.)?+∞ ? 4.(],2-∞ 5.(,-∞ 6.()2,+∞ 题9 不等式0 3422 ≥+---x x x 的解集是 （ ） A 、??? ? ??++ 255,253 B 、??????+-255,253 C 、????? ??+∞+??? ? ?+ ∞-,2 5 5253, D 、??????+-253,2 55 （第十三届高二第二试第8题） 解法1 当0342 ≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是, 03422≥-+--x x x 即0552 ≤+-x x ，解得 2 5 53.2 5 52 5 5+≤ ≤∴+≤ ≤-x x . 当2 430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422 ≥+-+-x x x 即 ， 0132 ≥+-x x 解得25 3-≤x 或3332 2 x x ++≥ ∴ ≤<. 综上，所求解集为3,2 2? ????? ?? ? 即??? ???++255,253.故选A. 解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,. 又(),12342 2 2--=+-=x x x y 当32< (). 212 2--=x y 由()2 212 -=--x x 可解得 2 5 3+= A x .当3>x 时，(),122 2--=x y 由 ()2122 -=--x x 可解得2 5 5+= B x ，∴所求不等式 的解集为?? ?? ? ?++ 255,253，故选A. 解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A. 解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A. 评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法. 我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象 的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决. 选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正 1 3 A B 希望杯数学竞赛小学三年级试题 希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874）19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： 第16届希望杯考前训练100题 学前知识点梳理 主要针对“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有： 1.整数的四则运算，运算定律，简便运算。 2.基本图形，图形的拼组（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。 3.角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。 4.整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。 5.几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。 6.数谜，分析推理能力，数位，十进制表示法。 7.生活数学（钟表，时间，人民币，位置与方向，长度，质量的单位）。 8.应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。 考前100题选讲 1.计算：8×27×25。 2.计算：9+98+987+9876。 3.计算：2-4+6-8+10-12+…-48+50。 4.计算:2017×2016+2016×2014-2015×2016-2015X2017。 1 5.计算:15÷7+68÷14。 6.已知999999÷（a÷2)=142857，求a 7.某数被27除，商是8，余数是5，求这个数。 8.定义：A*B=（A+3)×（B-2)，求15*17。 9.除法算式△÷7=12……□中，余数最大是多少？ 10.有5个连续偶数之和恰好等于4个连续奇数之和，如4+6+8+10+12=7+9+11+13。请写出一个符合要求的式子。 11.将36表示成三个大于1的自然数的乘积（不考虑三个自然数的相乘顺序）。共有几种不同的表示方法？ 12.用数字2，0，1，7可以组成多少个不重复的三位数？ 13.用2295除以一个两位数，丽丽在计算的时候错把这个两位数的十位数字和个位数字写反了，得到的结果是45，则正确的结果应该是多少？ 14.如果把某个除法算式的被除数152写成125，则商会比原来的结果小3，且余数不发生变化，求余数？ 15.2017和某个小于100的自然数的和正好等于两个连续自然数之积，求这个小于100的自然数。 16.某两位数的十位数字与个位数字互换后，新数比原数大36，求原来的两位数。 17.abc是一个三位偶数，已知b是c的三倍，且b=a+c，求abc。 18.在乘法运算15×16×17×18×19×20×21×22×23×24×25的计算结果中，最后有多少个连续的0？ 希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题................................................ 003-005 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题................................................ 010-012 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题................................................ 017-020 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题................................................ 023-026 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题................................................ 031-032 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题................................................ 037-040 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题................................................ 047-050 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题................................................ 055-058 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题................................................ 063-066 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 ............................................... 070-073 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题................................................ 077-080 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题................................................ 084-087 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题................................................ 095-098 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题................................................ 102-105 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题................................................ 110-113 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题................................................ 117-120 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题................................................ 126-129 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题................................................ 135-138 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题................................................ 144-147 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题................................................ 148-151 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题............................................ 158-161 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题............................................ 166-169 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题............................................ 170-174 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 175-178 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题............................................ 181-184 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题............................................ 185-189 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题............................................ 192-196 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题............................................ 197-200 1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形．5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变 成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员， 是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）967-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： 634+（266-137） 2011-（364+611） 558-（369-342） 2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：（1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 第四届希望杯数学竞赛五年级二试试题及答案 2010-12-25 10:32:13| 分类：希望杯真题题库 | 标签：null |举报|字号订阅 第四届小学"希望杯''全国数学邀请赛 五年级第2试 2006年4月16日上午8：30至10：00 得分_________ 一、填空题(每小题4分，共60分。) 1．8.1×1.3-8÷1.3+1.9×1.3+11.9÷1.3=___________________。 2．一个数的等于的6倍，则这个数是____________________。 3．循环小数0.123456789的小数点后第2006位上的数字是__________________。4．"△"是一种新运算，规定：a△b=a×c+b×d(其中c，d为常数)，如：5△7=5×c+7×d。 如果1△2=5，1△3=7，那么6△1000的计算结果是________________。 5．设a=，b=，c=，d=，则a，b，c，d这四个数中，最大的是___________，最小的是_________________。 6．一筐萝卜连筐共重20千克，卖了四分之一的萝卜后，连筐重15．6千克，则这个筐重____________千克。 7．从2，3，5，7，11这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母，这样的分数有_______________个，其中的真分数有________________个。 8．如果a，b均为质数，且3a+7b=41，则a+b=________________。 9．数一数，图1中有_________________个三角形。 10．如图2，三个图形的周长相等，则a：b：c=____________________-。 希望杯竞赛赛前培训100题（三年级） 类别：希望杯浏览次数：805 发布日期：2011-2-8 10:33:27 赛前培训100题 1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成． （2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来．11．在图11、图12算式的空格，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．三、四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，三说是四，四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小，小王，小分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员．17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： 希望杯数学竞赛（小学三年级）赛前训练题1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A图折起来，它能构成B图中的第个图形． 5．找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（）． （2）2，3，5，8，13，21，（）． （3）9，16，25，36，49，（）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（）． （5）3，8，15，24，35，（）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成．（2）寻找图7中规律填空． 9．用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是． 10．图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是． 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员，是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）987-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： （1）634+（266-137）（2）2011-（364+611） （3）558-（369-342）（4）2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有正偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问： （1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 23．有10只盒子，54只乒乓球，把这54只乒乓球放到10只盒子中，要求每个盒子中最少放1只乒乓球，并且每只盒子中的乒乓球的只数都不相同，如果能放，请说出放的方法；如果不能放，请说明理由． 1．观察图1的图形的变化进行填空． 2．观察图2的图形的变化进行填空． 3．图3中，第 个图形与其它的图形不同． 4．将图4中A 图折起来，它能构成B 图中的第 个图形． 5． 找出下列各数的排列规律，并填上合适的数． （1）1，4，8，13，19，（ ）． （2）2，3，5，8，13，21，（ ）． （3）9，16，25，36，49，（ ）． （4）1，2，3，4，5，8，7，16，9，（ ）． （5）3，8，15，24，35，（ ）． 6．寻找图5中规律填数． 7．寻找图6中规律填数． 8．（1）如果“访故”变成“放诂”，那么“1234”就变成 ． （2）寻找图7中规律填空． 9． 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字组成图8的加法算式，每个数字只用一次，现已写出三个数字，那么这个算式的结果是 ． 10． 图9、图10分别是由汉字组成的算式，不同的 汉字代表不同的数字，请你把它们翻译出来． 11．在图11、图12算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立． 12．已知两个四位数的差等于8765，那么这两个四位数和的最大值是． 13．中午12点放学的时候，还在下雨．已经连续三天下雨了，大家都盼着晴天，再过36小时会出太阳吗？ 14．某年4月份，有4个星期一、5个星期二，问4月的最后一天是星期几？ 15．张三、李四、王五三位同学中有一个人在别人不在时为集体做好事，事后老师问谁做的好事，张三说是李四，李四说不是他，王五说也不是他．它们三人中只有一个说了真话，那么做好事的是 16．小李，小王，小赵分别是海员、飞行员、运动员，已知：（1）小李从未坐过船；（2）海员年龄最大；（3）小赵不是年龄最大的，他经常与飞行员散步.则是海员，是飞行员， 是运动员． 17．用凑整法计算下面各题： （1）1997+66 （2）678+104 （3）967-598 （4）456-307 18．用简便方法计算下列各题： 634+（266-137） 2011-（364+611） 558-（369-342） 2010-（374-990-874） 19．用基准法计算： 108+99+93+102+97+105+103+94+95+104 20．用简便方法计算：899999+89999+8999+899+89 21．求100以内的所有偶数的和是多少？ 22．有一数列3，9，15，…，153，159．请问：（1）这组数列共有多少项？（2）第15项是多少？（3）111是第几项的数？ 第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试 一、选择题（每题4分，40分） 1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ） A ．()h x 的最大值是M+N B ．()h x 的最小值是m ＋n C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+ D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定的 4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ） A ．S ≠?T B ．T ≠ ?S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ） A ．9 B ．6 C ．18 D ．16 6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ） A ．方程没有整数根 B ．方程有两个相等的整数根 C ．方程有两个不相等的整数根 D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22 x y x x =-的值域是（ ） A ．( B ．( C ． D ． 8、已知e tan ） 2017第十五届六年级希望杯100题培训题 17.已知a=2015×2017，b==2014×2018，c==2016×2016，将a、b、c从大到小排列。 18、在9个数： . . 7 0. ， 3.75 ， 15 ， 2 1. ， 1， 4 5 ， 7.8 ， 5 2 中，取一个数作被除数，再取另外两个数，用它们的和作除数，使商为 整数，请写出3个算式。（答案不唯一） 19、定义： b 1 a a@ b + =，求2@（3@4）。 20、若n个互不相同的质数的平均数是15，求n的最大值。 21、若一位数c（c不等于0）是3的倍数，两位数____ bc是7的倍数，三位数 ____ abc是11的倍数，求所有符合条件的三位 数 ____ abc的和。 22、用a、b、c可以组成6个无重复数字的三位数，且这6个数的和是4662，这6个数都是3的倍数吗？ 23、已知n！=1×2×3×…×n，计算：1！×3-2！×4-4！×6+…+2015!×2017-2016！。 24、一串分数： , (13) 1,101...,，108，109，...，103，102，101，71，72，73，74，75，76，75，74，73，72，71，41，42，43，42，41 求第2016个分数。 25、在不大于循环小数. 912.的自然数中有几个质数？ 26、设n ！=1×2×3×…×n ，问2016！的末尾有多少个连续的0？ 27、四位数_______abcd ，若_______ abcd -10（a+b+c+d ）=1404，求a+b+d 。 28、A ，a ，b 都是自然数，且A+50=2a ，A+97=2 b ，求A. 2012年第十届希望杯六年级初赛试题 1、 计算：.______3 1%1254 11 911 9225.1=? -?+? 2、 计算： ._______2010 20092512009 2008251=?+ ? 3、 在小数3.1415926的两个数字上方加2个循环点，得到循环小数，这样的循环小数中， 最小的_______. 4、 一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是_______. 5、 20122的个位数字是________.（其中，n 2表示n 个2相乘） 6、 图1是一个正方体的展开图，图2的四个正方体中只有一个是和这个展开图对应的，这 个 正 方 体 是 _______. （ 填 序 号 ） 7、 一列快车从甲地开往乙地需要5小时，一列慢车从乙地开往甲地所需时间比快车多1/5， 两车同时从甲乙两地相对开出2小时候，慢车停止前进，快车继续行驶40千米后恰与慢车相遇，则甲乙两地相距______千米. 8、 对任意两个数x ，y ，定义新的运算*为：y x m y x y x ?+??= 2* （其中m 是一个 确定的数）.如果5 22*1= ，那么m=______,2*6=_______. 9、 甲、乙两家商店出售同一款兔宝宝玩具，每只原售价都是25元，为了促销，甲店先提 价10%，再降价20%；乙店则直接降价10%.那么，调价后对于这款兔宝宝玩具，______店的售价更便宜，便宜_____元。 10、图3中的三角形的个数是_______. 11、若算式（□+121×3.125）÷121的值约等于3.38，则?中应填入的自然数是_______. 12、认真观察图4中的三幅图，则第三幅图中的阴影部分应填的数字是________. 13、图5中每一个圆的面积都是1平方厘米，则六瓣花形阴影部分的面积是_____平方厘米. 14、如图6，正方形ABCD和EFGH分别被互相垂直的直线分为两个小正方形和两个矩形，小正方形的面积的值已标在图中，分别为20和10,18和12，则正方形ABCD和EFGH中，面积较大的正方形_______. 第16 届希望杯考前训练100 题学前知识点梳理“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有： 1、整数的四则运算，运算定律，简便运算，等差数列求和。 2、基本图形，图形的拼组合（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。 3、角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。 4、整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。 5、小数意义和性质，分数的初步认识（不要求运算）。 6、应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。 7、几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。 8、数谜，分析与推理，数位，十进制表示法。 9、生活数学（钟表、时间、人民币、位置与方向、长度、质量的单位）。 考前100 题选讲 1. 计算：1.1 + 1.91 + 1.991+ .. +1?99L 991。 2018个9 2. 计算：1+2+3+ …+2016+2017+2016+…+3+2+1。 3. 计算：2015.2015+2016.2016+20172017+2018.2018+193 4.1934 。 4.已知a=o.opLz30125，匕=0.002石08。求a x b+a + b。 2013个0 2017 个0 5. 定义:a ? b=a x b 一( a+b)，求(3 ? 4) ? 5。 6. 定义:a ? b=a x b.c ◎ d=d x d x d x —x d （c 个d 相乘），求（5 ? 8）?（3? 7）。 7. 定义a△ b=a x 100L 4g0+b, a 口b=a x 10+b （其中，a, b 都是自然数），求 2018 口（123^4）b个0 8. 观察下列数表的规律，求2018是第几行的第几个数? 2,3 4, 5, 6 L 8, 9, 10 11, 12, 13^ 14）15 ? II 9. 观察下列数的规律，求第2018个数。 1, 2018, 2017, 1, 2016, 2015, 1,… 10. 根据下列算式的规律，求第2018个算式的和。 2+3, 3+7, 4+11, 5+15, 6+19,… 11. 计算机上编程序打印出前10000个大于0的自然数:1 , 2, 3…，10000时，不幸打印机有故 障，每次打印数字7或9时，它都打印出x。其中被打印错误的共有多少个数？ 12. 桌上有一些纸片，每张纸片上都有编号（不是按顺序编的），马小虎同学错把6和69拿倒了，导致这些编号的平均数多出1,问这些纸片共有多少张？ 13. 有一串数，最前面的4个数是2, 0, 1, 8，从第5个数起，每一个数都是它前面相邻4个数之 刚刚结束的“中环杯”初赛，今年题型的变化纷纷让学生们措手不及，历来中环杯的难度都是各热门的数学杯赛竞赛中偏高的，小学中热门的数学竞赛，由于“希望杯”相对而言更注重基础，因此似乎对考生来说是最有“希望”拿到证书的数学竞赛。而掌握“希望杯”备考及竞赛过程中的几个要点，对取得好成绩大有帮助。更多信息请点击>> 破解简单题目中的玄机 “希望杯“主要考察学生奥数基础知识的掌握情况，一般奥数教材里的数论、几何、应用题等都会考到，覆盖面较广。比如学生的计算能力；是否能熟记基本的知识点；有无学会对知识和解题方法进行归纳总结，并举一反三，触类旁通等。 相对于其他杯赛，“希望杯”命题风格非常直白，考察学生运用知识点解决实际问题的能力。考试题目虽然比较简单，但可能暗藏陷阱，学生一不留神就可能“中招”。 “希望杯”竞赛的一个特色就是面向的参赛群体非常广泛。在校成绩突出的学生有机会获奖；成绩并不突出但学习踏实的学生同样也有机会获奖。“希望杯”的最终评奖结果在每年的六月初揭晓，而第一试是在每年三月初就公布成绩，进入第二试的比例为20%。有一点要提醒大家注意，“希望杯”第一试往往是“一题两解”，考生在解题时要考虑周全可能包含的各种情况，切勿粗心大意。 专家认为，“希望杯”思维能力竞赛的试题内容不超教学大纲，不超进度，贴近现行的数学课本，又稍高于课本。试题活而不难，巧而不偏，能将知识、能力的考察和思维能力的培养结合起来，而不只是让学生单纯地解答数学题目。 更重视解题过程 由于“希望杯”考察的知识点不偏不刁，这就对不一定具有数学天分但是学习踏实的同学很有利；而且“希望杯”的第二试试题重视解题过程，平时学习习惯好，作业过程认真清晰的学生有希望冲击更高的奖项。从这两点可以看出，“希望杯”非常有利于大部分成绩并不突出的同学获奖，这也是“希望杯”有别于其他杯赛的重要区别之一。 奥数知识基础相对扎实、解题认真的考生最适合报考“希望杯”，那些在学校学习处于中等偏上、学有余力的同学都可以参加。对他们来说，参加考试最大的意义在于检验知识的灵活运用能力。“希望杯”强调灵活的变通，这正符合喜欢思考、善于思考的学生的需求。学生不妨看看“希望杯”基础在哪，基础之上的变通又在哪，从而检测自己对于数学学习的掌握情况。我们建议只要对数学有兴趣者都可以参加，“希望杯”注重基础知识点的考察，难度又稍高于平时。考生要想获得名次，就肯定要花时间去“吃透”这些知识点。如果学生能以此标准来要求自己，那学起基础数学就更是应对自如了。 历年真题是法宝 小学六年级“希望杯”全国数学大赛 2019年六年级“希望杯”全国数学大赛决 赛题（含详细答案） 4．有一类自然数，从第四个数字开始每个数字都恰好等于它前面三个数字的和，直到不能再写为止，如2169，21146等等。那么这类数中最大的一个数是____________。 4．有一类自然数，从第四个数字开始每个数字都恰好等 于它前面三个数字的和，直到不能再写为止，如2169，21146等等。那么这类数中最大的一个数是 ____________。 5．下面是一串字母的若干次变换。 A B C D E F G H I J 第一次变换后为 B C D A F G H I J E 第二次变换后为 C D A B G H I J E F 第三次变换后为 D A B C H I J E F G 第四次变换后为 A B C D I J E F G H 题 号 一 二 其中： 总 分 13 14 15 16 得 分 得分 评卷人 …………………………………………………… 至少经过次变换后才会再次出现“A、B、C、D、E、F、 G、H、I、J”。 6．把一个棱长为2厘米的正方体在同一平面上的四条棱 的中点用线段连接起来（如右图所示），然后再把正方 体所有顶点上的三角锥锯掉。那么最后所得的立方体 的体积是立方厘米。 7．有一列数，第一个数是5，第二个数是2，从第三个数起每个数都等于它前面两个数中较大数减去较小数的差。则这列数中前100个数之和等于。 8．在钟面上，当指针指示为6︰20时，时针与分针所组成的较小的夹角为 度。 9．小明把五颗完全相同的骰子拼 摆成一排（如右图所示），那么 这五颗骰子底面上的点数之和 是。 10. 有四个房间，每个房间里不少于4人。如果任意三个房间里的总人数不 少于14人，那么这四个房间里的总人数至少有人。 11．如果用符号“[a]”表示数字a的整数部分,例如[5.1]＝5,[ 5 3 ]＝1， 那么[ 1 1 2000 ＋ 1 2001 ＋……＋ 1 2019 ]＝。 12．雨，哗哗不停的下着。如果在地上放一个如图（1）那样的长方体形状的容器，那么雨水将它注满要用1小时。另有一个如图（2）形状的容器，那么雨水将它注满要用分钟。 第15届五年级“希望杯”全国邀请赛培训题2017 1. 计算：2016×20172017－2017×20162016. 2. 计算：32.2÷2.7＋386÷54－4.88÷0.27. 3. 计算：6051×0.125－0.375×1949＋3.75×1.2. 5. 用[a]表示不超过a的最大整数，{a}表示a 的小数部分，即{a}=a－[a]，定义一种运算“⊕”：a⊕b=(a-b)÷(b+1)，求[3.9]⊕{5.6}+[4.7]的值. 6. 找规律，填数：0，2，12，36，80，150，252，______，_______，… 7. 如图1 所示的七个圆内填入七个连续自然数，使每相邻圆内的数之和等于连线上的数，求这七个自然数的和. 8. 有一串数，最前面的4 个数是2，0，1，6，从第5 个数起，每一个数是它前面相邻4 个数之和的个位数字，问在这一串数中，会依次出现2，0，1，7 这4个数吗? 9. 小华在电脑上玩一种游戏：输入一个大于零的自然数，则输出的数比输入的数扩大一倍还多1，若先输入的数既不是质数，也不是合数，再将输出的数输入，…则输出的数中，首先超过100的数是多少? 10. 从1123个1×1的正方形纸片中，依次取出1个，3个，5个，7 个，…，(2n-1)个，求最大的n. 11. 已知x是两位数，y是一位数，若1123=x×x+11y×y，求x+y. 12. 20152015+20162016+20172017的个位数字是多少?(定义：x n表示n个x相乘) 13. 1×2×3×4×…×2016×2017 的积的末尾有多少个连续的0? 14. 111a是四位数，若111a－3是7的倍数，求自然数a. 15. 有三个连续的自然数，它们的和是三位数，并且是31 的倍数，求这三个数的和的最小值. 16. 若11ab是四位数，并且11ab－3是7的倍数，那么a + b有多少个不同的值? 17. 100 名同学面向老师站成一行.大家先从左至右按1，2，3，…依次报数；再让报数是4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是5 的倍数的同学向后转. 问：背向老师的有多少人? 希望杯培训题 一．选择题（以下每题的四个选择中，仅有一个是正确的） 1．－7的绝对值是（） （A）－7 （B）7 （C）－（D） 2．1999－的值等于（） （A）－2001 （B）1997 （C）2001 （D）1999 3．下面有4个命题： ①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。 ②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。 ③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。 ④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。 其中正确的命题是：（） （A）①和②（B）②和③ （C）③和④（D）④和① 4.4ab c的同类项是（） （A）4bc a（B）4ca b（C）ac b（D）ac b 5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（） （A）20％（B）25％（C）80％（D）75％ 6．，，，四个数中，与的差的绝对值最小的数是（）（A）（B）（C）（D） 7．如果x=?, Y=0.5,那么X?Y?2X的值是( ) (A)0 (B) (C) (D) ? 8.ax+b=0和mx+n=0关于未知数x的同解方程，则有（） （A）a+m>0. （B）mb≥an. （C）mb≤an.（D）mb=an. 9．（－1）＋（－1）－（－1）×（－1）÷（－1）的结果是（）（A）－1 （B）1 （C）0 （D）2 10．下列运算中，错误的是（） （A）2X＋3X＝5X（B）2X－3X＝－1 （C）2X?3X＝6X（D）2X÷4X＝ 11．已知a<0,化简，得( ) (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －2 12．计算（－1）＋（－1）÷|－1|的结果是（）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）2 13．下列式子中，正确的是（） （A）a?a=a. （B）(x)=x. （C）3=9. （D）3b?3c=9bc. 14.－|－3|的相反数的负倒数是（） 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛 六年级 第2试 一、填空题（每小题5分，共60分） 1. 计算：114154.0625.3-+。。 = 。 2. 对于任意两个数x 和y ，定义新运算 和?，规则如下： x y =y x y x 22++，x ?y =3 ÷+?y x y x 如：1 2= 54221212=?++?，1?2=5 115632121==÷+? 由此计算，。63.0。 )2114(?= 。 3. 用4根火柴，在桌面上可以拼成一个正方形；用13根火柴，可以拼成四个正方形；…如图所示，拼 成的图形中，若最下面一层有15个正方形，则需火柴 根。 26根火柴13根火柴4根火柴 4. 若自然数N 可以表示3个连续自然数的和，也可以表示成11个连续自然数的和，还可以表示成12 个连续自然数的和，则N 的最小值是 。（最小的自然数是0） 5. 十进制计数法，是逢10进1，如：141022410?+?=）（，1 5106103365210?+?+?=）（； 计算机使用的是二进制计数法，是逢2进1，如： ）（）（22101111121217=?+?+?=，）（）（2231011001020212112=?+?+?+?=； 如果一个自然数可以写成m 进制数)(45m ，也可以写成n 进制数)(54n ，那么最小的m = ， n = 。（注： a n n a a a a a 个????=） 6. 我国除了用公历纪年外，还采用干支纪年。 将天干的10个汉字与地支的12个汉字对应排列成如下两行： 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳…… 同一列上下对应的两个汉字就是一个干支年年号。 现在知道公历2011年是辛卯年，公历2010年是庚寅年，那么，公历1949年，按干支纪年法是 年。 7. 盒子中装有很多相同的，但分红、黄、蓝三种颜色的玻璃球，每次摸出两个球。为了保证有5次摸出 的结果相同，则至少需要摸球 次。 历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析 题 1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则-- = - += <<的大小关系 是 . （第十一届高二第一试第11题） 解法1 b b a a b b a x + += - += ，a b b a a b b y -+ = --=. y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 . 解法2 b b a a b b a b b b b a y x + +-+= ---+= ，y x y x a b b a <∴<∴ ->+,1, . 解法3 a a b b a b b a a b b b b a y x -+ - + += -- - -+= -1111 = y x y x a a b b a <∴>-∴>-- +,011,0. 解法4 原问题等价于比较a b b a -+ +与b 2的大小.由,2 ) (2 2 2y x y x +≥ +得 b a b b a a b b a 4)(2)2 =-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴ . y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠ +,2, . 解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的 点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）. 由图象，显然有AB BC k k <，即 ) ()(a b b a b b b b a b b a ---- < -+- +， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <. 解法6 令()f t =，t t a a t f + += )( 单 调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<- +，y x <∴. 解法7 考虑等轴双曲线)0(2 2 >=-x a y x . 图1希望杯数学竞赛小学三年级试题知识讲解
(完整)2018四年级希望杯考前100题word版
历届(第1-21届)希望杯数学竞赛初一试题及答案(最新整理)
希望杯竞赛赛前培训100题(三年级)
第四届希望杯数学竞赛五年级二试试题及答案
希望杯竞赛赛前培训100题
(完整word版)希望杯数学竞赛小学三年级试题
(完整版)希望杯竞赛赛前培训100题(三年级)
2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)
2017年第十五届六年级希望杯100题培训题
2012希望杯六年级数学竞赛试题及答案
2018年五年级希望杯考前100题word版
数学希望杯竞赛
2019年六年级“希望杯”全国数学大赛决赛题(含详细答案)
2017希望杯邀请赛5年级考前100题附答案
希望杯培训题
第九届小学“希望杯”全国六年级数学奥数题
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(一)