中考数学易错题精选-平行四边形练习题含详细答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.四边形ABCD是正方形,AC与BD,相交于点O,点E、F是直线AD上两动点,且
AE=DF,CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G,连接AG,直线AG交BE于点H.(1)如图1,当点E、F在线段AD上时,①求证:∠DAG=∠DCG;②猜想AG与BE的位置关系,并加以证明;
(2)如图2,在(1)条件下,连接HO,试说明HO平分∠BHG;
(3)当点E、F运动到如图3所示的位置时,其它条件不变,请将图形补充完整,并直接写出∠BHO的度数.
【答案】(1)①证明见解析;②AG⊥BE.理由见解析;(2)证明见解析;(3)
∠BHO=45°.
【解析】
试题分析:(1)①根据正方形的性质得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;②根据正方形的性质得AB=DC,
∠BAD=∠CDA=90°,根据“SAS”证明△ABE≌△DCF,则∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判断
AG⊥BE;
(2)如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,证明△AON≌△BOM,可得四边形OMHN为正方形,因此HO平分∠BHG结论成立;
(3)如答图2所示,与(1)同理,可以证明AG⊥BE;过点O作OM⊥BE于点M,
ON⊥AG于点N,构造全等三角形△AON≌△BOM,从而证明OMHN为正方形,所以HO 平分∠BHG,即∠BHO=45°.
试题解析:(1)①∵四边形ABCD为正方形,
∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADG和△CDG中
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG;
②AG⊥BE.理由如下:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,
在△ABE和△DCF中
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
∵∠DAG=∠DCG,
∴∠DAG=∠ABE,
∵∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE;
(2)由(1)可知AG⊥BE.
如答图1所示,过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,则四边形OMHN为矩形.
∴∠MON=90°,
又∵OA⊥OB,
∴∠AON=∠BOM.
∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,
∴∠OAN=∠OBM.
在△AON与△BOM中,
∴△AON≌△BOM(AAS).
∴OM=ON,
∴矩形OMHN为正方形,
∴HO平分∠BHG.
(3)将图形补充完整,如答图2示,∠BHO=45°.
与(1)同理,可以证明AG⊥BE.
过点O作OM⊥BE于点M,ON⊥AG于点N,
与(2)同理,可以证明△AON≌△BOM,
可得OMHN为正方形,所以HO平分∠BHG,
∴∠BHO=45°.
考点:1、四边形综合题;2、全等三角形的判定与性质;3、正方形的性质
2.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,求证:△PDH的周长是定值;
(3)当BE+CF的长取最小值时,求AP的长.
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.(3)2.
【解析】
试题分析:(1)根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH,进而利用平行线的性质得出
∠APB=∠PBC即可得出答案;
(2)首先证明△ABP≌△QBP,进而得出△BCH≌△BQH,即可得出
PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8;
(3)过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明△EFM≌△BPA,设AP=x,利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.
试题解析:(1)解:如图1,
∵PE=BE , ∴∠EBP=∠EPB . 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP . 即∠PBC=∠BPH . 又∵AD ∥BC , ∴∠APB=∠PBC . ∴∠APB=∠BPH .
(2)证明:如图2,过B 作BQ ⊥PH ,垂足为Q .
由(1)知∠APB=∠BPH , 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP , 在△ABP 和△QBP 中,
{90APB BPH
A BQP BP BP
∠=∠∠=∠=?=, ∴△ABP ≌△QBP (AAS ), ∴AP=QP ,AB=BQ , 又∵AB=BC , ∴BC=BQ .
又∠C=∠BQH=90°,BH=BH , 在△BCH 和△BQH 中,
{90BC BQ
C BQH BH BH
=∠=∠=?=, ∴△BCH ≌△BQH (SAS ),
∴CH=QH .
∴△PHD 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. ∴△PDH 的周长是定值.
(3)解:如图3,过F 作FM ⊥AB ,垂足为M ,则FM=BC=AB .
又∵EF 为折痕, ∴EF ⊥BP .
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°, ∴∠EFM=∠ABP . 又∵∠A=∠EMF=90°, 在△EFM 和△BPA 中,
{EFM ABP EMF A FM AB
∠=∠∠=∠=, ∴△EFM ≌△BPA (AAS ). ∴EM=AP . 设AP=x
在Rt △APE 中,(4-BE )2+x 2=BE 2.
解得BE=2+2
8x ,
∴CF=BE-EM=2+2
8
x -x ,
∴BE+CF=2
4
x -x+4=14(x-2)2+3.
当x=2时,BE+CF 取最小值, ∴AP=2.
考点:几何变换综合题.
3.如果两个三角形的两条边对应相等,夹角互补,那么这两个三角形叫做互补三角形,如图2,分别以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 和ACGF ,则图中的两个三角形就是互补三角形.
(1)用尺规将图1中的△ABC 分割成两个互补三角形; (2)证明图2中的△ABC 分割成两个互补三角形;
(3)如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.
①已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中(网格中每个小正方形的边长为1)画出边长为、、的三角形,并计算图3中六边形DEFGHI的面积.②若△ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积.
【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析(3)①62;②6
【解析】
试题分析:(1)作BC边上的中线AD即可.
(2)根据互补三角形的定义证明即可.
(3)①画出图形后,利用割补法求面积即可.
②平移△CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,只要证明S△EFM=3S△ABC即可.
试题解析:(1)如图1中,作BC边上的中线AD,△ABD和△ADC是互补三角形.
(2)如图2中,延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.
∵四边形ABDE,四边形ACGF是正方形,
∴AB=AE,AF=AC,∠BAE=∠CAF=90°,
∴∠EAF+∠BAC=180°,
∴△AEF和△ABC是两个互补三角形.
∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°,
∴∠EAH=∠BAC,
∵AF=AC,
∴AH=AB,
在△AEH和△ABC中,
∴△AEH≌△ABC,
∴S△AEF=S△AEH=S△ABC.
(3)①边长为、、的三角形如图4所示.
∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5,
∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62.
②如图3中,平移△CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI,设∠ABC=x,
∵AM∥CH,CH⊥BC,
∴AM⊥BC,
∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x,
∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x,
∴∠EAM=∠DBI,∵AE=BD,
∴△AEM≌△DBI,
∵在△DBI和△ABC中,DB=AB,BI=BC,∠DBI+∠ABC=180°,
∴△DBI和△ABC是互补三角形,
∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2,
∴S△EFM=3S△ABC=6.
考点:1、作图﹣应用与设计,2、三角形面积
4.如图,在平行四边形ABCD中,AD⊥DB,垂足为点D,将平行四边形ABCD折叠,使点B落在点D的位置,点C落在点G的位置,折痕为EF,EF交对角线BD于点P.
(1)连结CG,请判断四边形DBCG的形状,并说明理由;
(2)若AE=BD,求∠EDF的度数.
【答案】(1)四边形BCGD是矩形,理由详见解析;(2)∠EDF=120°.
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可;
(2)根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】
解:(1)四边形BCGD是矩形,理由如下,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,即BC∥DG,
由折叠可知,BC=DG,
∴四边形BCGD是平行四边形,
∵AD⊥BD,
∴∠CBD=90°,
∴四边形BCGD是矩形;
(2)由折叠可知:EF垂直平分BD,
∴BD⊥EF,DP=BP,
∵AD⊥BD,
∴EF∥AD∥BC,
∴AE PD1
==
BE BP
∴AE=BE,
∴DE是Rt△ADB斜边上的中线,
∴DE=AE=BE,
∵AE=BD,
∴DE=BD=BE,
∴△DBE是等边三角形,
∴∠EDB=∠DBE=60°,
∵AB∥DC,
∴∠DBC=∠DBE=60°,
∴∠EDF=120°.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,折叠性质,等边三角形的性质和判定,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度
5.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,
40),直线AB:y=1
3
x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作
EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.
(1)求边EF的长;
(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).
①当点F1移动到点B时,求t的值;
②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.
【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;
【解析】
【分析】
(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-4
3
x+40,可
求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;
(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;
②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE
上时,在Rt△F'NF中,NF
NF'
=
1
3
,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
t=4,S=1
2
×(12+
45
4
)×11=
1023
8
;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,
PK
F K'
=
1
3
,
PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PK
KG'
=
3
15
39
t
t
-
-+
=
4
3
,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】
(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,
将点E(30,0),点D(0,40),
∴
300
40
k b
b
+=
?
?
=
?
,
∴
4
3
40
k
b
?
=-
?
?
?=
?
,
∴y=﹣4
3
x+40,
直线AB与直线DE的交点P(21,12),
由题意知F(30,15),
∴EF=15;
(2)①易求B(0,5),
∴BF=1010,
∴当点F1移动到点B时,t=101010
÷=10;
②当点H运动到直线DE上时,
F点移动到F'10,
在Rt△F'NF中,
NF
NF'
=
1
3
,
∴FN=t,F'N=3t,
∵MH'=FN=t,
EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,
在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
∴4
1533
t
t
=
-
,
∴t =4,
∴EM =3,MH'=4,
∴S =
1451023(12)11248?+?=; 当点G 运动到直线DE 上时,
F 点移动到F'10, ∵PF =10 ∴PF'10t ﹣10, 在Rt △F'PK 中,
1
3
PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9, 在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=4
3
, ∴t =7,
∴S =15×(15﹣7)=120. 【点睛】
本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.
6.如图1,在△ABC 中,AB =AC ,AD ⊥BC 于D ,分别延长AC 至E ,BC 至F ,且CE =EF ,延长FE 交AD 的延长线于G . (1)求证:AE =EG ;
(2)如图2,分别连接BG ,BE ,若BG =BF ,求证:BE =EG ; (3)如图3,取GF 的中点M ,若AB =5,求EM 的长.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 2
【解析】
【分析】
(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得:∠CAD=∠G,可得AE=EG;(2)作辅助线,证明△BEF≌△GEC(SAS),可得结论;
(3)如图3,作辅助线,构建平行线,证明四边形DMEN是平行四边形,得EM=DN=
1
2
AC,计算可得结论.
【详解】
证明:(1)如图1,过E作EH⊥CF于H,
∵AD⊥BC,
∴EH∥AD,
∴∠CEH=∠CAD,∠HEF=∠G,
∵CE=EF,
∴∠CEH=∠HEF,
∴∠CAD=∠G,
∴AE=EG;
(2)如图2,连接GC,
∵AC =BC ,AD ⊥BC , ∴BD =CD ,
∴AG 是BC 的垂直平分线, ∴GC =GB , ∴∠GBF =∠BCG , ∵BG =BF , ∴GC =BE , ∵CE =EF ,
∴∠CEF =180°﹣2∠F , ∵BG =BF ,
∴∠GBF =180°﹣2∠F , ∴∠GBF =∠CEF , ∴∠CEF =∠BCG ,
∵∠BCE =∠CEF+∠F ,∠BCE =∠BCG+∠GCE , ∴∠GCE =∠F , 在△BEF 和△GCE 中,
CE GCE F CG BF EF =??
∠=∠??=?
, ∴△BEF ≌△GEC (SAS ), ∴BE =EG ;
(3)如图3,连接DM ,取AC 的中点N ,连接DN ,
由(1)得AE=EG,
∴∠GAE=∠AGE,
在Rt△ACD中,N为AC的中点,
∴DN=1
AC=AN,∠DAN=∠ADN,
2
∴∠ADN=∠AGE,
∴DN∥GF,
在Rt△GDF中,M是FG的中点,
∴DM=1
FG=GM,∠GDM=∠AGE,
2
∴∠GDM=∠DAN,
∴DM∥AE,
∴四边形DMEN是平行四边形,
∴EM=DN=1
AC,
2
∵AC=AB=5,
∴EM=5
.
2
【点睛】
本题是三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定等知识,解题的关键是作辅助线,并熟练掌握全等三角形的判定方法,特别是第三问,辅助线的作法是关键.
7.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF 与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.
【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.
【解析】
试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、
△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE,
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
探究:
解:分为两种情况:①如图1,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=2,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC=,
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;
②如图2,
∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′BDC是平行四边形,
∴A′C=BD=2,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面积是2或2.
考点:四边形综合题.
8.(问题发现)
(1)如图(1)四边形ABCD中,若AB=AD,CB=CD,则线段BD,AC的位置关系
为;
(拓展探究)
(2)如图(2)在Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,分别以AB,AC为底边,在
Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,连接FD,FE,分别交AB,AC于点
M,N.试猜想四边形FMAN的形状,并说明理由;
(解决问题)
(3)如图(3)在正方形ABCD中,AB=2,以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°,得到正方形AB'C'D',请直接写出BD'平方的值.
【答案】(1)AC垂直平分BD;(2)四边形FMAN是矩形,理由见解析;(3)16+8
或16﹣8
【解析】
【分析】
(1)依据点A在线段BD的垂直平分线上,点C在线段BD的垂直平分线上,即可得出AC 垂直平分BD;
(2)根据Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,可得AF=CF=BF,再根据等腰三角形ABD 和等腰三角形ACE,即可得到AD=DB,AE=CE,进而得出∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°,即可判定四边形AMFN是矩形;
(3)分两种情况:①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°,②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°,分别依据旋转的性质以及勾股定理,即可得到结论.
【详解】
(1)∵AB=AD,CB=CD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上,点C在线段BD的垂直平分线上,
∴AC垂直平分BD,
故答案为:AC垂直平分BD;
(2)四边形FMAN是矩形.理由:
如图2,连接AF,
∵Rt△ABC中,点F为斜边BC的中点,
∴AF=CF=BF,
又∵等腰三角形ABD和等腰三角形ACE,
∴AD=DB,AE=CE,
∴由(1)可得,DF⊥AB,EF⊥AC,
又∵∠BAC=90°,
∴∠AMF=∠MAN=∠ANF=90°,
∴四边形AMFN是矩形;
(3)BD′的平方为16+8或16﹣8.
分两种情况:
①以点A为旋转中心将正方形ABCD逆时针旋转60°,
如图所示:过D'作D'E⊥AB,交BA的延长线于E,
由旋转可得,∠DAD'=60°,
∴∠EAD'=30°,
∵AB=2=AD',
∴D'E=AD'=,AE=,
∴BE=2+,
∴Rt△BD'E中,BD'2=D'E2+BE2=()2+(2+)2=16+8②以点A为旋转中心将正方形ABCD顺时针旋转60°,
如图所示:过B作BF⊥AD'于F,
旋转可得,∠DAD'=60°,
∴∠BAD'=30°,
∵AB=2=AD',
∴BF=AB=,AF=,
∴D'F=2﹣,
∴Rt△BD'F中,BD'2=BF2+D'F2=()2+(2-)2=16﹣8综上所述,BD′平方的长度为16+8或16﹣8.
【点睛】
本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质,矩形的判定,旋转的性质,线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形,依据勾股定理进行计算求解.解题时注意:有三个角是直角的四边形是矩形.
9.(本题14分)小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论:端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.
小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.
问题1:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造
□APBQ,求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值.
(1)在解决这个问题时,小明构造出了如图2的辅助线,则PQ的最小值为,当PQ最小时
= _____ __;
(2)小明对问题1做了简单的变式思考.如图3,P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n
为大于0的常数).以PE,PC为边作□PCQE,试求对角线PQ长的最小值,并求PQ最小时的值;
问题2:在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.
(1)如图4,若为上任意一点,以,为边作□.试求对角线长的最小值和PQ最小时的值.
(2)若为上任意一点,延长到,使,再以,为边作□.请
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇及答案解析(1)
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
六安数学三角形填空选择易错题(Word版 含答案)
六安数学三角形填空选择易错题(Word 版 含答案) 一、八年级数学三角形填空题(难) 1.如图,在△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,动点P 从A 点出发,先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动,然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动.若设点P 运动的时间是t 秒,那么当t =___________________,△APE 的面积等于6. 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论:当点P 在AC 上时:当点P 在BC 上时,根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可. 【详解】 如图1,当点P 在AC 上.∵△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点E 是BC 的中点,∴CE =4,AP =2t . ∵△APE 的面积等于6,∴S △APE = 12AP ?CE =12 AP ×4=6.∵AP =3,∴t =1.5. 如图2,当点P 在BC 上.则t >3∵E 是DC 的中点,∴BE =CE =4. ∵PE ()43=7-PE t t =-- ,∴S =12EP ?AC =12 ?EP ×6=6,∴EP =2,∴t =5或t =9. 总上所述,当t =1.5或5或9时,△APE 的面积会等于6.故答案为1.5或5或9. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键. 2.如图,平面内有五个点,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画_____个三角形.
【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形,根据三角形的定义,我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解:如图所示,以其中任意三个点为顶点画三角形,最多可以画10个三角形, 故答案为:10. 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数,我们根据三角形的定义,在画图的时候要注意按照一定的顺序,保证不重复不遗漏. 3.如图,已知:四边形ABCD中,对角线BD平分∠ABC,∠ACB=74°,∠ABC=46°,且∠BAD+∠CAD=180°,那么∠BDC的度数为_____. 【答案】30° 【解析】 【分析】 延长BA和BC,过D点作DE⊥BA于E点,过D点作DF⊥BC于F点,根据BD是∠ABC的平分线可得出△BDE≌△BDF,故DE=DF,过D点作DG⊥AC于G点,可得出 △ADE≌△ADG,△CDG≌△CDF,进而得出CD为∠ACF的平分线,得出∠DCA=53°,再根据三角形内角和定理即可得出结论. 【详解】 解:
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
平行四边形(易错题、重点题)
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案
(易错题精选)初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1.如图,在ABC ?中,90C =o ∠,30B ∠=o ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ,再分别以M 、N 为圆心,大于12 MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②ADC 60∠=o ;③点D 在AB 的垂直平分线上;④:1:3DAC ABC S S ??= A .1 B .2 C .3 D .4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式,可判断AD 是∠CAB 的角平分线,再结合∠B=30°,可推导得到△ABD 是等腰三角形,根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线,①正确; ∵∠B=30°,∠C=90°,AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°,②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上,③正确 在Rt △CDA 中,设CD=a ,则AD=2a 在△ADB 中,DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?,13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=,④正确 故选:D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质,解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2.AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F .S △ABC =7,DE=2,AB=4,则AC 长是( ) A .4 B .3 C .6 D .2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2,然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果. 【详解】 解:AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线, ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 交AC 于点F , ∴DF=DE , 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ,DE=2,AB=4, 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为:B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质,熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,最小边BC =4cm ,则最长边AB 的长为( )cm A .6 B .8 C 5 D .5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数,然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A =x , 则∠B =2x ,∠C =3x , 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C =x+2x+3x =180°, 解得x =30°,