动量和能量综合专题

动量和能量综合例析

例1、如图，两滑块Ａ、Ｂ的质量分别为m1和m2，

置于光滑的水平面上，Ａ、Ｂ间用一劲度系数

为K的弹簧相连。开始时两滑块静止，弹簧为

原长。一质量为ｍ的子弹以速度Ｖ0沿弹簧长度方向射入滑块Ａ并留在其中。试求：（１）弹簧的最大压缩长度；(已知弹性势能公式E P=(1/2)KX2，其中K为劲度系数、X为弹簧的形变量) ；（２）滑块Ｂ相对于地面的最大速度和最小速度。【解】（１）设子弹射入后Ａ的速度为Ｖ１，有：

ｍＶ0＝（ｍ＋ｍ１）Ｖ1（1）

得：此时两滑块具有的相同速度为Ｖ，依前文中提到的解题策略有：

（ｍ＋ｍ１）Ｖ１＝（ｍ＋ｍ1＋m 2)V (2)

(3)

由(1)、(2)、(3)式解得：

（２）

ｍＶ0=（m＋m1）V2＋m2V3(4)

(5)

由（１）、（４）、（５）式得：

Ｖ3[（m＋m1＋m2）V3－2mV0]=0

解得：V3=0 （最小速度）（最大速度）

例２、如图，光滑水平面上有Ａ、Ｂ两辆小车，Ｃ球用０.５m长的细线悬挂在Ａ车的支架上，已知mA=m B=1kg，m C=0.5kg。开始时B车静止，Ａ车以Ｖ0＝４m/s的速度驶向Ｂ车并与其正碰后粘在一起。若碰撞时间极短且不计空气阻力，g取10m/s2，求C球摆起的最大高度。

【解】由于A、B碰撞过程极短，C球尚未开始摆动，

故对该过程依前文解题策略有：

m A V0=(m A+m B)V1(1)

E= (2)

对A、B、C组成的系统，图示状态为初始状态，C球摆起有最大高度时，A、B、C有共同速度，该状态为终了状态，这个过程同样依解题策略处理有：

（m A+m C）V0=(m A+m B+m C)V2(3)

(4)

由上述方程分别所求出Ａ、Ｂ刚粘合在一起的速度Ｖ1＝２m／s，Ｅ＝４J，系统最后的共同速度Ｖ2＝２.４m／s，最后求得小球Ｃ摆起的最大高度

h=0.16m。

例3、质量为m的木块在质量为M的长木板中央，木块与长木板间的动摩擦因数为 ，木块和长木板一起放在光滑水平面上，并以速度v向右运动。为了使长木板能停在水平面上，可以在木块上作用一时间极短的冲量。试求：

（1）要使木块和长木板都停下来，作用在木块上水平冲量的大小和方向如何？

（2）木块受到冲量后，瞬间获得的速度为多大？方向如何？

（3）长木板的长度要满足什么条件才行？

【解】（1）水平冲量的大小为：()I M m v =+（1分）

水平冲量的方向向左（1分）

（2）以木块为研究对象：取向左为正方向，则：

()()I M m v mv mv m =+=--'（2分） ∴=v M m v m '（2分） （3）根据能的转化与守恒定律得： μmg L mv Mv m 21212022=+-'（2分） ()∴=+L M M m v m g

22μ（2分） 即木板的长度要满足：()L M M m v m g ≥+2

2μ

综上所述，解决动量守恒系统的功能问题，其解题的策略应为：

一、分析系统受力条件，建立系统的动量守恒定律方程。

二、根据系统的能量变化的特点建立系统的能量方程

三、建立该策略的指导思想即借助于系统的动能变化来表现力做功。

1、如图，在光滑绝缘的长直轨道上有A 、B 两个带同种电荷小球,其质量分别为m 1、m 2。小球A 以水平速度V 0沿轨道向右冲向静止的B 球，求最后两球最近时(A 、B 两球不相碰)系统电势能的变化。

A

B

2、如图所示，光滑的水平面上有质量为M的滑板，其中AB部分为光滑的1/4圆周，半径为r，BC水平但不光滑，长为。一可视为质点的质量为m的物块，从A点由静止释放，最后滑到C点静止，求物块与BC的动摩擦因数。

3、如图所示, 在高为h的光滑平台上放一个质量为m2的小球, 另一个质量为m1的球沿光滑弧形轨道从距平台高为h处由静止开始下滑, 滑至平台上与球m2发生正碰, 若m1＝m2, 求小球m2最终落点距平台边缘水平距离的取值围.

4、如图所示，A、B是位于水平桌面上的两质量相等的木块，离墙壁的距离分别为L1和L2，与桌面之间的滑动摩擦系数分别为μA和μB，今给A以某一初速度，使之从桌面的右端向左运动，假定A、B之间，B与墙间的碰撞时间都很短，且碰撞中总动能无损失，若要使木块A最后不从桌面上掉下来，则A的初速度最大不能超过______。

5、如图在光滑的水平台上静止着一块长50cm ，质量为1kg 的木板，板的左端静止着一块质量为1千克的小铜块(可视为质点)，一颗质量为10g 的子弹以

200m/s 的速度射向铜块，碰后以100m/s 速度弹回。问铜块和木板间的摩擦系数至少是多少时铜块才不会从板的右端滑落。(g 取10m/s 2 )

7、如图所示，小球A 从半径为R=0.8m 的1/4光滑圆弧轨道的上端点以v 0=3m/s 的初速度开始滑下，到达光滑水平面上以后，与静止于该水平面上的钢块B 发生碰撞，碰撞后小球A 被反向弹回，沿原路进入轨道运动恰能上升到它下滑时的出发点（此时速度为零）。设A 、B 碰撞机械能不损失，

求A 和B 的质量之比是多少？

8、如图，有光滑圆弧轨道的小车静止在光滑水平面上，其质量为M 。一质量为m 的小球以水平速度V 0沿轨道的水平部分冲上小车，求小球沿圆弧形轨道上升到最大高度的过程中圆弧形轨道对小球的弹力所做的功。

9、如图6—5—5所示，一质量为M ，长为L 的长方形木 H M V 0 m

板B 放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为

m 的小木块m ＜M 。现以地面为参照系，给A 和B

以大小相等方向相反的初速度(如图)，使A 开始向

左运动、B 开始向右运动，但最后A 刚好没有滑离

B 板。以地面为参照系，则求解下例两问：

(1)若已知A 和B 的初速度大小为v0，求它们最后的速度的大小和方向。

(2)若初速度的大小未知，求小木块A 向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。

1、 m 1m 2V 02/2(m 1+m 2)

2、 r /L

3、 （h

4、 5、0.45

6、 (1) 1m/s, 方向向下; (2) k>3, V F 方向向上; k ＝3,V F ＝0; k<3, V F 方向向下。

7、 1 : 9 8、20)(2M

m mV M W +-= 9、(1) v = v 0，方向向右 ; (2) L 1= L

滑块、子弹打木块模型之一

子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。μNS 相=ΔE k 系统=Q ，Q 为摩擦在系统中产生的热量。②小球在置于光滑水平面上的竖直平面弧形光滑轨道上滑动 ：包括小车上悬一单摆单摆的摆动过程等。小球上升到最高点时系统有共同速度(或有共同的水平速度)；系统弹

l v 0 v S

力做功时，不将机械能转化为其它形式的能，因此过程中系统机械能守恒。

例题：质量为M 、长为l 的木块静止在光滑水平面上，现有一质量为m 的子弹以水平初速v 0射入木块，穿出时子弹速度为v ，求子弹与木块作用过程中系统损失的机械能。

解：如图，设子弹穿过木块时所受阻力为f ，突出时木块速度为V ，位移为S ，则子弹位移为(S+l)。水平方向不受外力，由动量守恒定律得：mv 0=mv+MV ①

由动能定理，对子弹 -f(s+l )=2022

121mv mv - ② 对木块 fs=0212-MV ③ 由①式得 v=

)(0v v M m - 代入③式有 fs=2022)(21v v M m M -? ④ ②+④得 f l =})]([2121{21212121

202202220v v M

m M mv mv MV mv mv -+-=-- 由能量守恒知，系统减少的机械能等于子弹与木块摩擦而产生的能。即Q=f l ，l 为子弹现木块的相对位移。

结论：系统损失的机械能等于因摩擦而产生的能，且等于摩擦力与两物体相对位移的乘积。即

Q=ΔE 系统=μNS 相

其分量式为：Q=f 1S 相1+f 2S 相2+……+f n S 相n =ΔE 系统

（13年高考35题）如图18，两块相同平板P 1、P 2至于光滑水平面上，质量均为m 。P 2的右端固定一轻质弹簧，左端A 与弹簧的自由端B 相距L 。物体P 置于P 1的最右端，质量为2m 且可以看作质点。P 1与P 以共同速度v 0向右运动，与静止的P 2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P 1与P 2粘连在一起，P 压缩弹簧后被弹回并停在A 点（弹簧始终在弹性限度）。

P 与P 2之间的动摩擦因数为μ，求

（1）P 1、P 2刚碰完时的共同速度v 1和P 的最终速度v 2；

（2）此过程中弹簧最大压缩量x 和相应的弹性势能E p

【解析】P 1与P 2发生完全非弹性碰撞时，P 1、P 2组成的系统遵守动量守恒定律；P 与(P 1＋P 2)通过摩擦力和弹簧弹力相互作用的过程，系统遵守动量守恒定律和能量守恒定律．注意隐含条件P 1、P 2、P 的最终速度即三者最后的共同速度；弹簧压缩量最大时，P 1、P 2、P 三者速度相同．

(1)P 1与P 2碰撞时，根据动量守恒定律，得

mv 0＝2mv 1

解得v 1＝v 02

，方向向右 P 停在A 点时，P 1、P 2、P 三者速度相等均为v 2，根据动量守恒定律，得

2mv 1＋2mv 0＝4mv 2

解得v 2＝34

v 0，方向向右． (2)弹簧压缩到最大时，P 1、P 2、P 三者的速度为v 2，设由于摩擦力做功产生的热量为Q ，根据能量守恒定律，得

从P 1与P 2碰撞后到弹簧压缩到最大 12×2mv 21＋12×2mv 20＝12

×4mv 22＋Q ＋E p 从P 1与P 2碰撞后到P 停在A 点

12×2mv 21＋12×2mv 20＝12

×4mv 22＋2Q 联立以上两式解得E p ＝116mv 20，Q ＝116mv 20

根据功能关系有Q ＝μ·2mg (L ＋x )

解得x ＝v 2032μg

－L . 答案：(1)v 1＝12v 0，方向向右 v 2＝34

v 0，方向向右 (2)v 2032μg －L 116mv 20

练习6、如图所示，长木板ab 的b 端固定一挡板，木板连同档板的质量为M=4.0kg ，a 、

b 间距离s=2.0m ．木板位于光滑水平面上.在木板a 端有一小物块，其质量m =1.0kg ，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10，它们都处于静止状态．现令小物块以初速v 0=4.0m/s 沿木板向前滑动，直到和挡板相碰.碰撞后，

小物块恰好回到a 端而不脱离木板．求碰撞过程中损失

的机械能．

【答案】2.4J

1、（2012一模第35题）如图所示，半径为R 的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，在桌面上轻质弹簧被a 、b 两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。同时释放两个小球，小球a 、b 与弹簧在桌面上分离后，a 球从B 点滑上光滑半圆环轨道最高点A 时速度为gR v A 2 。已知小球a 质量为m ，小球b 质量为2m ，重力加速度为g 。求：

（1）小球a 在圆环轨道最高点对轨道的压力；

（2）释放后小球b 离开弹簧时的速度b v 的大小；

（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能。

（思路点拨：小球a 在圆轨道上做圆周运动，它在最高点的受力情况由圆周运动的规律和机械能守恒定律求解，再结合牛顿第三定律可求它在A 点时对轨道的压力；由于题中小球运动的轨道都光滑，故弹簧作用下两球的分离过程满足动量守恒定律；弹簧的弹性势能可由能量守恒定律求解。）

热点5、动量守恒定律在电磁场中的应用

3、如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L 放在水平绝缘面上，半径为R 的41圆弧部分处在竖直平面，水平直导轨部分足够长，且处在磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀