二面角的求法(教师版)

五法求二面角

一、 定义法：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面

ABCD ，2AD =

2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略

解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B

作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，

连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，

∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=

SM ，则2

2

=

GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0

60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=

BF

在△GAB 中，2

6=

AG ，2=AB ，0

90=∠GAB ，∴2

11423=+=BG 366

23

2

22211

32

12cos 2

2

2

-=-=??-

+=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3

6arccos(-

F

G

练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;

（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为

6

2

，求二面角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运

用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值为

5

15

） 二、三垂线法

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC 1C 的垂线，得垂足O ；再过该垂足O 作棱FC 1的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）。再解直角三角形求二面角的度数。

例2．(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，

AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

证（1）略

解（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个

平面角, 在△BCF 为正三角形中,3OB =,在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵

E

A

B C

F

E 1

A 1

B 1

C 1

D 1

D

F 1

O P

E

A

B

C

F

E 1 A 1

B 1

C 1

D 1

D

11OP OF CC C F =∴2212

2222

OP =?=

+, 在Rt △OPF 中,22

114322BP OP OB =+=+=,2

72cos 14

2

OP OPB BP ∠===,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为

77

. 练习2（2008天津）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．

已知ο

60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．

（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；

（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．

分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD ⊥平面PAB 后，容易发现平面PAB ⊥平面ABCD ，点P 就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点P

作棱BD 的垂线，再作平面ABCD 的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角A BD P --的大小为4

39

arctan

） 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决

例3（2008湖南）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD

是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A

⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;

（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.

分析：本题的平面P AD 和平面PBE 没有明确的交线，依本法

显然要补充完整（延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .）再在完整图形中的PF .上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）证略 解: （Ⅱ）延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .

过点A 作AH ⊥PB 于H ，由（Ⅰ）知

平面PBE ⊥平面P AB ,所以AH ⊥平面PBE . 在Rt △ABF 中，因为∠BAF ＝60°， 所以，AF =2AB =2=AP .

在等腰Rt △P AF 中，取PF 的中点G ，连接AG .

A

B

C

E

D

P

F

G H

A

B C

E

D P

则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面P AD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.

在等腰Rt△P AF中，

AG==

在Rt△P AB中，

5

AP AB

AH

PB

====

g

所以，在Rt△AHG中，

sin

5

AH

AGH

AG

∠===

故平面P AD和平面PBE

所成二面角（锐角）的大小是

arcsin

练习3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与

底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。

（1）求证：AC1⊥BC；

（2）求平面AB1C1与平面ABC所成的二面角（锐

角）的大小。

提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L

（答案：所成的二面角为45O）

四、射影面积法（cos

s

S

q=射影）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos

斜

射

S

S

=

θ）求出二面角的大小。

例4．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC

-中，

2

AC BC

==，90

ACB

∠=o，

AP BP AB

==，PC AC

⊥．

（Ⅰ）求证：PC AB

⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C

--的大小；

分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射

于是得到下面解法。

解：（Ⅰ）证略

（Ⅱ）AC BC

=

Q，AP BP

=，APC BPC

∴△≌△．

又PC AC

⊥，PC BC

∴⊥．

又90

ACB

∠=o，即AC BC

⊥，且AC PC C

=

I，

A B

E

P

A

C

B

P

A

C B

B1

C1

A1

L

BC ∴⊥平面PAC ．

取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =Q ，BE AP ∴⊥．

EC Q 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．

∴△ACE 是△ABE 在平面ACP 内的射影， 于是可求得：

2222=+===CB AC AP BP AB ，622=-=AE AB BE ，

2==EC AE 则1222

121=?=?=

=?CE AE S S ACE 射， 3622

1

21=?=?=

=?EB AE S S ABE 原 设二面角B AP C --的大小为?，则3

33

1cos =

=

=

原

射S S ? ∴二面角B AP C --的大小为3

3

arccos =?

练习4： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值.

（答案：所求二面角的余弦值为cos θ=

3

2）. 五、向量法

向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例4：（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE=

1

2

AD

(I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； 求二面角A-CD-E 的余弦值。

现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A 为坐标原点。设，

1=AB 依题意得()，，，001B ()，，，011C ()，，，020D ()，，，110E ()，，，100F .21121M ??

? ??，， A 1

D 1

B 1

C 1

E

D

B

C

A

图5

（I ）()，，，解：101B F -= ()，

，，110DE -= .2

1

221

00DE

BF DE cos =?++=

=

，于是BF

所以异面直线B F 与DE 所成的角的大小为0

60.

（II ）证明：，，，由??

? ??=21121AM ()，，，101CE -= ()0AM CE 020AD =?=，可得，，， .AMD CE A AD AM .AD CE AM CE .0AD CE 平面，故又，因此，⊥=⊥⊥=?I

.CDE AMD CDE CE 平面，所以平面平面而⊥?

（III ）?????=?=?=.

0D 0)(CDE E u CE u z y x u ，

，则，，的法向量为解：设平面

.

111(1.00），，，可得令，

于是==???=+-=+-u x z y z x

又由题设，平面ACD 的一个法向量为).100(，，=v

练习5、（2008湖北）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥侧面11A ABB . （Ⅰ）求证：AB BC ⊥；

（Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为θ,二面角

1A BC A --的大小为?，试判断θ与?的大小关系，并

予以证明.

分析：由已知条件可知：平面ABB 1 A 1⊥平面BC C 1 B 1⊥平面ABC 于是很容易想到以B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。

（答案：2

2

arcsin

c

a a +=φ2

2

2

2

b a c

a c

++）