三点共线问题的思维方法与过程
几何中的三点共线定理
几何中的三点共线定理几何学是研究形状、大小、相对位置以及性质的数学学科，广泛应用于建筑、工程、艺术等领域。
在几何学中，存在许多重要的定理和规律，其中之一就是三点共线定理（Collinearity of Three Points）。
三点共线定理是几何学中最基本、最简单的定理之一。
它表达的是当三个点位于同一直线上时，这三个点就被称为共线的。
三点共线定理通常用于证明几何性质、解决几何问题以及构造新的几何定理。
下面将对三点共线定理进行详细阐述。
一、三点共线定理的表述三点共线定理可以简单地表述为：任意给定三个点，如果它们位于同一条直线上，那么它们就是共线的。
二、三点共线定理的解释三点共线定理的解释非常直观。
想象一个平面上的直线，可以在上面任意选取三个点。
当这三个点恰好位于同一条直线上时，它们就称为共线的，否则它们将形成一个三角形。
三、三点共线定理的证明三点共线定理可以通过反证法来证明。
反证法是一种常用的证明方法，它基于假设某个结论不成立，然后推导出矛盾的结论。
不妨假设三个点A、B、C不共线，即它们不位于同一条直线上。
在平面上，我们可以通过A和B之间画一条直线AB，再通过A和C之间画一条直线AC。
由于A、B、C不共线，直线AB与直线AC一定有一个交点D。
现在我们观察点D与线段BC的位置关系。
根据平面几何学的基本性质，当两条直线相交时，它们只能在一个点处相交。
然而，我们前面假设了A、B、C不共线，所以点D不可能在线段BC上。
这就导致了一个矛盾的结论：点D既在直线AC上，又不在线段BC上。
因此，我们的假设是错误的，A、B、C必须共线。
综上所述，根据反证法的证明过程，我们可以得出结论：任意给定三个点，如果它们位于同一条直线上，那么它们就是共线的。
四、三点共线定理的应用三点共线定理在几何学中具有广泛的应用，尤其是在证明和解决几何问题方面。
例如，当我们需要确定一个点是否与已知线段的两个端点共线时，可以利用三点共线定理进行判断。
两两相交的圆的三公弦共点
两两相交的圆的三公弦共点1.引言1.1 概述在几何学中，圆是一种基本的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
当两个圆相交时，我们可以发现一些有趣的几何特征。
其中之一就是两两相交的圆的三公弦共点的性质。
所谓两两相交的圆，指的是存在两个圆，它们的边界相交于两个不同的点。
这种情况在几何中非常常见，许多几何问题和现实世界中的场景都与两个相交的圆有关。
当我们构造这两个圆的公切线时，我们会发现一条有趣的线段——三公弦。
三公弦是指通过两个相交圆的公共切点，并且与圆相交的线段。
这条线段有一个特殊的性质，即两两相交的圆的三公弦共点。
也就是说，不论两个相交的圆的位置如何变化，它们的三公弦都会交于同一个点。
对于这个特殊的现象，我们需要进行一定的证明来确保其正确性。
通过几何证明，我们可以得出结论：两两相交的圆的三公弦确实共点。
这个结论在几何学中具有重要的意义。
首先，它可以帮助我们解决一些与圆有关的问题，例如圆的切线构造、圆的内切和外切等。
其次，它也能够拓展我们的几何思维，让我们对圆的性质有更深入的理解。
在接下来的正文中，我们将探讨两两相交的圆的基本性质以及三公弦的定义和性质。
并通过几何证明，确认两两相交的圆的三公弦确实共点。
最后，我们将探讨这个结论的应用和意义，展示它在几何学中的重要作用。
1.2文章结构文章结构部分的内容应包括本文的主要内容和各个部分的简要介绍。
下面是一个可能的内容编写示例：在本文中，将探讨"两两相交的圆的三公弦共点"的现象和相关性质。
文章结构如下：第一部分：引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的第二部分：正文2.1 两两相交的圆的基本性质2.2 三公弦的定义和性质第三部分：结论3.1 两两相交的圆的三公弦共点的证明3.2 应用和意义在正文部分，我们将首先介绍两两相交的圆的基本性质，包括相交的位置关系和相交点的性质。
随后，我们将详细讨论三公弦的定义和性质，探究这种特殊的弦与圆的关系。
初中数学证明3点共线的方法
初中数学证明3点共线的方法嘿，咱今儿就来说说初中数学里证明三点共线的那些法子！这可是个挺有意思的事儿呢。
你想想看啊，在那数学的奇妙世界里，有三个点，咱得想法子证明它们是在同一条直线上呢。
这就好像在一个迷宫里找到那条正确的通道一样。
比如说，咱可以用角度的办法呀。
要是能证明这三个点构成的角是180 度，那不就相当于告诉咱它们在一条直线上嘛。
就好比三个小伙伴站成一排，他们之间的夹角要是平角，那肯定就是在一条线上啦，这多直观呀！还有呢，咱可以利用线段的关系。
如果有两条线段加起来正好等于另一条线段，那这三点也大概率是共线的哟。
这就好像拼拼图一样，几块拼在一起正好合适，那就说明它们是能凑成一块儿的嘛。
再有一种，通过一些已知的定理或者结论来推。
就像咱有了一把钥匙，能打开证明三点共线的这扇门。
比如说，一些特殊图形里的点，咱可以根据图形的性质来判断它们是不是共线。
你可别小瞧了这些方法，它们就像是我们手里的魔法棒，能让那些看似杂乱无章的点乖乖地排好队，站在同一条直线上呢。
有时候，一道题摆在那儿，就等着你用这些方法去解开它的秘密。
咱就拿个具体例子来说吧，有三个点 A、B、C，给了你一些条件，让你证明它们共线。
那你就得像个小侦探一样，仔细分析这些条件，看看用哪种方法最合适。
也许一开始会觉得有点难，但当你找到那个关键的线索，一下子就豁然开朗啦，那种感觉可太棒啦！在学习数学的过程中，证明三点共线只是其中的一小部分，但却是很有趣也很有挑战性的一部分呢。
它能让我们的思维变得更加灵活，让我们学会从不同的角度去看待问题。
总之啊，初中数学证明三点共线的方法有很多，就看你会不会用，能不能巧妙地运用啦！所以呀，同学们可得好好掌握这些方法，在数学的海洋里尽情遨游，去发现那些隐藏的宝藏呀！可别小瞧了这三点共线的证明哦，它能带给你很多乐趣和成就感呢！加油吧！。
三点共线与三线共点的证明方法
三点共线与三线共点的证明方法三个点共线指的是这三个点同时在一条直线上，也可以说是三个点在同一条直线上。
三线共点指的是通过三个不共线的点分别画一条直线，这三条直线交于同一点。
三点共线的证明方法主要有以下几种：1.直线方程法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
利用直线方程的一般式Ax+By+C=0来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算直线AB的方程：A1x+B1y+C1=0（其中A1=y2-y1，B1=x1-x2，C1=x2y1-x1y2）-将点C的坐标代入直线AB的方程：A1x3+B1y3+C1=0-如果等式成立，则三个点共线；如果不成立，则不共线。
2.坐标法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
根据点的坐标特点，通过计算三个点的斜率来判断是否共线。
具体步骤如下：-计算AB和BC两个线段的斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)-如果k1=k2，则三个点共线；如果k1≠k2，则不共线。
3.向量法：设三个点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
通过判断向量AB和向量AC的平行性来确定三个点是否共线。
具体步骤如下：-计算向量AB和向量AC的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)，AC=(x3-x1,y3-y1)-如果向量AB和向量AC平行，则三个点共线；如果不平行，则不共线。
三线共点的证明方法有以下几种：1.十字交叉法：通过在纸上画出三个不共线的点A、B、C，然后通过直尺（或者铅笔加线板）在三个点上分别连线，如果三条线段交叉于同一点，则三个点共线。
2.逆向思维法：设三个点为A、B、C。
可以通过逆向思维，即假设不共线，来反证明三条线段共点。
首先连线AB、AC，得到两条直线，然后通过延长AB和AC，使其相交于点D。
如果D与C重合，则三线共点；如果D与C不重合，则不共点。
由于三个点不共线，所以最后的结论是D与C不重合，即三线不共点。
巧用三点共线开启思维之门
２１ ０ ０年第 １ 期
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证明三点共线的几种方法
证明三点共线的几种方法贵阳市三十九中学 李明在高中数学学习中，许多同学感觉到对所学的基本概念，基本公式已经理解,熟练。
但解题时却力不从心，无从入手。
究其原因：是学生缺乏对解题策略的探究。
所以,多种方法解题,是可以帮助学生消化基础知识,优化思维素质,提高分析问题和解决问题能力的。
现就人教版高中第二册(上)第87页第3题的多种解法如下:题目:证明三点A (-2,12),B(1,3),C (4,-6)在同一条直线上。
一、用解析法解题:解(1): ∵两点确定一条直线,∴直线AB 的斜率K AB =Y B -Y A X B -X A= -3 直线AC 的斜率K AC = Y C -Y A X C -X A = -3 ∵K AB = K AC 则直线AB,AC 平行,两直线共起点A 点, ∴直线AB,AC 重合, ∴A,B,C 三点共线。
解(2): 由直线方程的两点式求得直线AB 的方程:3x+y -6=0把点C 坐标代入直线AB 的方程，得: 3×4-6-6=0∵C 点在直线AB 上,∴A,B,C 三点共线。
解(3): 直线夹角为0来证明三点共线直线AB 的斜率K AB = Y B -Y A X B -X A= -3 直线AC 的斜率K AC = Y C -Y A X C -X A = -3 设直线AB 与直线AC 的的夹角为 θ，则tan θ=|K AB -K AC 1+ K AB •K AC |= 0 又∵0≤θ<1800∴θ=0 ∴A,B,C 三点共线。
解（4）的面积为0证明三点共线∵直线AB 的方程为:3x+y-6=0∴点C （4，-6）到直线AB 的距离d= |3×4-6-6| 32+12= 0 又∵|AB|=（3-12）2+（1+2）2 =310∴S ABC =21×|AB|×d=21×310 ×0=0 ∴A,B,C 三点共线。
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8
2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH 相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案D 解析由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED1＝MFBF，所以EF∥BD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.题型三求两条异面直线所成的角例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D 解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB 的值．解设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB ＝3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72答案C 解析如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥FA 且BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案A 解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A 解析连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．∴A ，M ，O 三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33答案C解析方法一将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(1，0，0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1，0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1，→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．答案6解析如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________．答案l ∥α或l ⊂α解析∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案平行解析如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝23SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝23SN，∴在△SMN中，SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．连接GM ，∵△GMH 为等边三角形，∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE .因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13答案A解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小．又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．答案36解析取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝22，GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF ＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解(1)方法一如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1，所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ，所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ∥BF 且PE ＝BF ，所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。
椭圆中三点共线结论
椭圆中三点共线结论在数学中，椭圆是一种特殊的曲线形状，具有独特的性质和特点。
在研究椭圆时，我们发现了一个有趣的结论：椭圆中的任意三点都共线。
这一结论引起了人们的兴趣和思考。
为了更好地理解这一现象，我们可以通过一个故事来解释。
假设有一个小镇，镇上有一条美丽的小河。
在河的一侧，有一片宽广的椭圆形草地，被人们称为“椭圆公园”。
这个公园是人们休闲娱乐的好去处。
一天，公园里来了三个好朋友：小明、小华和小李。
他们相约在公园里见面，一起度过一个愉快的下午。
小明是一个喜欢椭圆的数学爱好者。
他留意到公园中心有一块标示牌，上面写着“椭圆中的三点共线”。
他非常好奇这个结论是否正确，于是决定和小华、小李一起来验证。
他们站在椭圆的边缘，观察到椭圆上的三个点A、B、C。
小明指着这三个点说道：“我们来看看这三个点是否共线。
”小华和小李都兴致勃勃地凑过去，想要一探究竟。
小明先找了一根细木棍，然后从A点开始，按顺序依次连接了A、B、C三个点。
他们仔细地观察着，发现连接线恰好是一条直线。
小明欣喜地说：“看来我们验证了这个结论，椭圆中的三点确实共线。
”小华和小李也都表示赞同。
他们继续在公园里游玩，享受着阳光和草地带来的快乐。
但是，这个结论仍然让他们感到好奇和惊叹。
他们想象着椭圆是一个奇妙的世界，其中的点和线都具有特殊的联系。
而这个共线的结论，则是椭圆这个世界中的一个奇迹。
他们感叹椭圆的美妙和神奇，不禁产生了更多的疑问和探索的欲望。
他们决定继续学习和研究椭圆，探索更多的奥秘和乐趣。
通过这个故事，我们可以更好地理解椭圆中三点共线的结论。
这个结论不仅仅是数学知识的一部分，更是一个启示，让我们学会欣赏和探索数学世界中的美妙和奇迹。
椭圆中的三点共线结论，不仅仅是数学的一部分，更是一种思维方式和观察力的培养。
通过这个结论，我们可以学会发现和欣赏世界中的规律和美丽，进一步提升我们的思维能力和创造力。
让我们一起走进椭圆的世界，探索更多的奥秘和乐趣吧！。
平面几何中的共线与共面问题
平面几何中的共线与共面问题在平面几何中，共线与共面问题是研究几何图形中点、线、面之间位置关系的重要内容。
共线是指多个点在同一条直线上，共面是指多个点在同一个平面上。
本文将介绍共线与共面的定义、判定方法以及应用。
一、共线的定义与判定共线是指多个点在同一条直线上。
在平面几何中，判定多个点是否共线的方法有多种，下面将介绍常用的判定方法。
1.1 三点共线三点共线是指三个点在同一条直线上。
判定三个点共线的方法有很多，其中最常用的方法是通过计算斜率。
首先，选取其中两点A、B，计算斜率 k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)；然后，选取另外两点B、C，计算斜率 k2 = (y3 - y2) / (x3 - x2)；最后，若 k1 = k2，则三个点A、B、C共线。
1.2 多点共线判定多个点是否共线时，除了计算斜率的方法外，还可以通过构造向量的方法进行判定。
对于n个点 A1(x1, y1)、A2(x2, y2)、...、An(xn, yn)，构造两个向量V1 = A2 - A1，V2 = A3 - A1；然后，计算两个向量的叉积 V = V1 × V2；最后，若 V = 0，则n个点共线。
二、共面的定义与判定共面是指多个点在同一个平面上。
在平面几何中，判定多个点是否共面的方法和共线类似，下面将介绍常用的判定方法。
2.1 四点共面四点共面是指四个点在同一个平面上。
判定四个点共面可利用行列式的方法进行判断。
选取四个点A、B、C、D，将它们的坐标表示为矩阵的形式：A = (x1, y1, z1),B = (x2, y2, z2),C = (x3, y3, z3),D = (x4, y4, z4)；然后，构造3阶行列式det(A, B, C, D) = |1 x1 y1 z1 ||1 x2 y2 z2 ||1 x3 y3 z3 ||1 x4 y4 z4 |；若 det(A, B, C, D) = 0，则四个点A、B、C、D共面。
如何证明三点共线向量法
如何证明三点共线向量法嘿，大家好，今天咱们聊聊三点共线这个有趣的话题。
说到三点共线，很多人脑海里第一反应可能是那些枯燥的几何公式，哦，天哪，听着就想打个瞌睡。
不过，今天我想用一种轻松幽默的方式来带大家走进这个世界，保证让你觉得“哎哟，这个有意思”。
想象一下，你和你的好朋友们正在公园里散步，突然看到前面有三棵树，哇，这不是一幅画吗？你们可能就站在那里，打着哈哈，拍着照，仿佛这些树就是你们的合照背景。
这时候你可能就会想，这三棵树，它们是不是在一条直线上呢？说实话，生活中我们随时随地都能遇到三点共线的情况。
比方说，三个人在一起，聊着天，哈哈大笑，感觉就是一条线，那就是生活的趣味啊！咱们从数学的角度来聊聊怎么证明这三点共线。
向量法是个简单又实用的工具。
想象一下，你手里有一个向量，就像一把钥匙，打开了数学世界的门。
假设你有三个点A、B和C，首先我们得给这些点起个绰号，比如说“老大”、“老二”和“老三”。
然后，咱们就可以分别从老大出发到老二和老三，形成两个向量AB和AC。
这样一来，这俩向量就像是你手里的两把剪刀，可以轻松地切割出一个平面。
如果这两个向量在同一条线上，那它们就可以用一个共同的比例关系来表达。
换句话说，咱们可以说AB和AC是平行的，或者更简单地说，它们是在同一条线上。
如果你感觉有点懵，那没关系，想象一下两条在海滩上走的腿，走得越远，越像一条直线。
就是这个道理！再说说什么是共线，简单来说，就是三点如果满足一定的比例关系，就可以认为它们是共线的。
这里面就有个“小秘密”，如果你能找到一个数k，使得向量AB = k × 向量AC，那这三点就真的可以算作在同一条线上了。
这种感觉就像是找到了通往宝藏的地图，哈哈，想想都激动。
那我们再回到实际生活中，假设你跟朋友们去爬山，你们三个人正好在一条直线上。
要是这个时候你们拍个合照，看看背后那美丽的风景，哎，正好在三点共线的状态下，那绝对是一幅绝佳的风景画！这个时候，如果有小伙伴们偏离了这条线，哎呀，那就显得有些格格不入了，是不是？有些人可能会问，为什么三点共线这么重要呢？这不光是数学上的一个概念，生活中我们也经常用到。
关于点共线、线共点问题的多种证法
关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。
而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。
对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。
而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。
对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。
因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。
比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。
如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。
这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。
用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。
1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。
同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
一道“三点共线”数学题多种解法的思考
一道“三点共线”数学题多种解法的思考作者：刘义来源：《科技创新导报》2011年第16期摘要:一题多解对于培养学生从不同角度、不同侧面去分析问题、解决问题的能力有很大的作用,通过运用不同的方法和知识去推导,从而得出一样的结论,可以加深学生对教材和知识的理解,同时提高他们的学习能力和学习兴趣。
关键词:三点共线解法一题多解中图分类号:O1 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)06(a)-0177-01一题多解,就是对同一题目从不同的角度去分析和判断,运用不同方法和知识去推导,从而获取多种解决途径。
在高中数学中,三点共线是常见的一种题型,虽然难度不大,但多种方法的运用展现了数学的魅力,给教师与学生留下了深刻的印象。
下面对一道“三点共线”数学题的多解进行讲述例:已知:A(2,1),B(3,2),C(6,k)三点共线,求k的值。
1 用向量的知识求解∵A、B、C三点共线∴与共线∴由AB的坐标为(1,1),BC的坐标为(3,k-2)可得 3＝k-2∴k＝5解析:这种方法需要掌握向量共线的条件。
2 用斜率的知识求解∵A(2,1),B(3,2),C(6,k)三点共线∴直线AB的斜率等于BC的斜率又∵直线AB的斜率为1,直线BC的斜率为∴k-2＝3∴k＝5解析:这种方法需要掌握斜率公式3 用方程的知识求解∵A(2,1),B(3,2),C(6,k)三点共线∴点C在直线AB上又∵直线AB的方程为＝即x-y-1=0∴6-k-1＝0∴k＝5解析:这种方法需要掌握直线方程的求法4 用定比分点的知识求解∵A(2,1),B(3,2),C(6,k)三点共线∴与共线令＝则＝=∴2＝==+∴k＝5解析:这种方法需要掌握定比分点坐标公式5 用函数的知识求解∵A(2,1),B(3,2),C(6,k)三点共线∴由一次函数的图象是直线而且解析式为y=kx+b(k≠0)可得解得k＝1,b=-1∴y=x-1∴k=6-1=5解析:这种方法需要掌握一次函数的应用6 用长度的知识求解∵A(2,1),B(3,2),C(6,k)三点共线∴/AB/+/BC/=/AC/∴+＝∴2+32+(k-2)2+=42+(k-1)2∴=k+1∴2[32+(k-2) 2]=(k+1) 2∴k2-10k+25=0∴(k-5)2=0∴k=5解析:这种方法需要观察图形来发现长度之间的关系,要求掌握两点间距离公式。
射影观点下点共线问题的证明
射影观点下点共线问题的证明射影观点下点共线问题的证明在几何学中，点共线问题是一个经典的问题，尤其在射影几何中更是一个重要的概念。
根据射影观点，点共线问题实际上是在平面几何中的一种延伸，深入研究这个问题对于我们理解几何学的本质和原理至关重要。
在本文中，我将从简到繁地探讨射影观点下点共线问题的证明，希望能够对读者有所启发和帮助。
一、点共线的定义和基本原理在开始证明之前，我们首先需要了解什么是点共线，以及在射影几何中的基本原理。
在平面几何中，三个点如果在同一条直线上，就称它们共线。
在射影几何中，点共线的定义和平面几何中并无二致，但是在处理无穷远点和射影变换时，我们需要借助射影观点来解释和证明点共线问题。
二、射影观点下点共线问题的延伸在射影几何中，点共线问题并不仅限于有限点的共线性，还包括了无穷远点的共线性。
射影几何中的点和线是通过射影变换相互联系的，而无穷远点则是射影几何中独特的概念。
证明点共线问题需要考虑有限点和无穷远点的共线性，这也是射影几何和平面几何的一个重要区别所在。
三、证明点共线问题的基本方法在证明点共线问题时，我们可以借助射影坐标系和射影几何的基本定理进行推导和论证。
射影坐标系可以帮助我们将有限点和无穷远点统一起来，从而简化问题的复杂度。
射影几何的基本定理如帕斯卡定理和倍比定理等也是我们证明点共线性的重要工具，通过这些定理可以得出点共线的必要条件和充分条件。
四、个人观点和理解在我看来，射影观点下点共线问题的证明是射影几何中的一个经典而又复杂的问题。
通过深入研究这个问题，我不仅对射影几何有了更深刻的理解，也从中领悟到了数学证明的方法和技巧。
我相信，通过不断地思考和探索，我们能够更好地理解点共线问题及其在射影几何中的意义，从而为数学领域的发展做出更大的贡献。
总结回顾通过本文的探讨，我们对射影观点下点共线问题的证明有了更深入的了解。
我们从点共线的基本定义和原理出发，延伸到射影几何中特有的概念和定理，最终得出了对点共线问题的证明和个人观点。
过三个点的直线方程
过三个点的直线方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：过三个点的直线方程是解析几何中的一个重要概念，也是解决很多几何问题的基础。
在平面直角坐标系中，一条直线可以由其上的两个不同点确定，这是直线方程的最基本形式之一。
有时我们需要通过三个给定的点来确定一条直线方程，这就需要使用更加复杂的方法进行处理。
本文将介绍如何通过三个点确定直线方程，以及相关的数学理论和实际应用。
一、如何确定通过三个点的直线方程在平面直角坐标系中，一条直线可以表示为一般式方程Ax+By+C=0，其中A、B 和C 是常数，且A 和B 不同时为零。
为了确定通过三个点的直线方程，我们可以先通过两个点确定一条直线，然后再将第三个点代入方程验证。
假设我们有三个点P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2) 和P_3(x_3,y_3)，我们首先通过P_1 和P_2 确定直线L_1 的方程：\begin{cases}A x_1 +B y_1 +C = 0 \\A x_2 +B y_2 +C = 0\end{cases}将以上两个方程联立，解得A、B 和C 的值。
然后，我们再将第三个点P_3 代入刚刚得到的直线方程，如果方程成立，则说明P_3 在直线L_1 上，否则说明P_3 不在直线L_1 上。
如果P_3 不在直线L_1 上，我们需要通过另外两个点确定第二条直线，并重复以上步骤。
在实际操作中，我们可以将上述步骤总结为以下几个简洁的步骤来确定通过三个点的直线方程：1. 通过P_1 和P_2 确定直线L_1 的方程；2. 将P_3 代入L_1 的方程，验证是否在直线上；3. 如果P_3 在直线上，则直线方程确定为L_1 的方程；如果P_3 不在直线上，则通过P_2 和P_3 确定直线L_2 的方程；4. 将P_1 代入L_2 的方程，验证是否在直线上，最终确定通过三个点的直线方程。
在确定通过三个点的直线方程时，有一些特殊情况需要注意。
如果三个点共线，那么它们确定的直线方程存在且唯一。
利用点列共线证明等差数列的性质
利用点列共线证明等差数列的性质利用点列共线证明等差数列的性质数列是数学中非常重要的概念，它就是一组有序的数的集合。
在高中数学中，我们对于数列的研究主要涉及到以下几个方面：通项公式、递推公式、等差数列、等比数列等。
其中，等差数列是数列中非常基础、重要的一种。
等差数列指的是相邻两项之差是固定的数列，本文主要探讨如何利用点列共线来证明等差数列的一些性质。
一、点列共线的概念及性质点列共线是几何中的一个基础概念，它指的是一个平面内的若干个点位于同一条直线上。
利用点列共线主要可以进行如下几个方面的研究：1.判断点列是否共线2.初步判断几何问题的结论3.利用共线特性来推导几何结论4.通过共线特性，进一步研究几何性质点列共线的一个基本性质是，任意三点共线。
如果有三个以上的点共线，则它们是一条直线上的点列。
此外，对于点列共线的研究，我们还需要了解以下一些性质：1.两点确定一条直线2.一条直线上的任意两点之间的距离是相等的3.在同一直线上，三点共线则其中两点可以确定另一点的位置二、等差数列的定义及性质等差数列指的是相邻两项之差是固定的数列，它的通项公式为：an=a1+(n-1)*d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
对于等差数列，我们还需要了解以下一些性质：1.等差数列的前n项和Sn=n*(a1+an)/22.等差数列的结论有质数项和无理数项的判断方法，其中有理数项用0、1、-1来代表3.等差数列前n项的和是n个等差中项的平均数三、利用点列共线证明等差数列的性质在数学研究中，很多定理的证明都需要利用一些基本的概念和性质。
在证明等差数列的性质时，我们可以利用点列共线的一些性质来进行推导。
下面将针对等差数列的几个常见性质进行详细阐述。
1.等差数列的任意三项构成的点共线证明：设等差数列为{an}，则对于任意三项an、am、ak，它们的公差为d，则有：am=an+(m-n)*dak=an+(k-n)*d将上式代入am和ak的表达式中，可得：am-an=(m-n)*dak-an=(k-n)*d将am、an、ak三式相减，得：am-an=ak-an即(m-n)*d=(k-n)*d因为d≠0，所以有m-n=k-n，即m=k。
等和(高)线定理与奔驰定理课件-2025届高三数学一轮复习
8.已知 O 是面积为 4 的△ABC 内部一点，且有O→A＋O→B＋2O→C＝0，则△AOC 的面积为____1____.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
方法一 如图，设AC的中点为M，BC的中点为N. 因为O→A＋O→B＋2O→C＝O→A＋O→C＋O→B＋O→C＝0， 所以 2O→M＋2O→N＝0， 即O→M＋O→N＝0， 所以O为线段MN的中点， 所以 S△AOC＝12S△ANC＝12×12S△ABC＝12×12×4＝1.
λ＋μ
2 的值为____3____.
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如图，BC是值为1的等和线，过点O作BC的平行线，延长AO交BC于 点M，
→ 设 λ＋μ＝k，则 k＝|A→O|.
|AM| 由题设知O为△ABC的重心， 所以||AA→→MO||＝23.
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跟踪训练 1 设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE
＝23BC.若D→E＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2
为实数)，则
1 λ1＋λ2＝____2____.
方法一 (常规方法)
由题意作图如图. ∵在△ABC 中，D→E＝D→B＋B→E＝12A→B＋23B→C＝12A→B＋
则实数 m 等于
A.2
B.3
√C.4
D.5
由奔驰定理得 S△BOC·O→A＋S△AOC·O→B＋S△AOB·O→C＝0， 又O→A＋2O→B＋mO→C＝0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. ∴SS△△AAOBCB＝1＋m2＋m＝47， 解得m＝4.
思维升华
利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理 中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个 三角形的面积之比.
证明三点共线方法举要
222F E B O A DC证明三点共线方法举要四川省广元市宝轮中学 唐明友有些数学问题要求你证三点共线，或者过程中需要你证三点共线，不少同学觉得无从下手，茫然失措，有些同学甚至想当然地把这三点看成在一条直线上，显然有失严密性，造成解题不完整或失误。
本文介绍证明三点共线的若干种方法，希望对你有所帮助。
一.运用平角的定义证三点共线例1.已知：在△ABC 的边AC 、BC 的外侧作等边△ACE 、等边△BCD ，这两个三角形的外接圆相交于另一点O ，求证：点A 、O 、D 三点共线。
证明：连接OA 、OC 、OD ，∵四边形AOCE 内接于圆，∴∠2＋∠E=1800又△ACE 和△BCD 都是等边三角形，∴∠E=600，∠3=600∴∠2=1800－∠E=1800－600=1200，∵∠1=∠3=600,∴∠1＋∠2=1800∴点A 、O 、D 三点共线。
二.运用“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”证三点共线例2.已知：AD 是△ABC 中∠CAB 的外角平分线，过C 作C D ⊥AD 于D ，点E 、F 分别为AC 、BC 的中点，求证：D 、E 、F 三点共线。
证明:连接DE 、EF∵DE 是R t △ADC 斜边上的中线，∴DE=AE=EC ，∴∠2=∠3∵AD 平分∠CAX ，∴∠1=∠2∴∠1=∠3，∴DE ∥AB又∵EF 是△ABC 的中位线∴E F ∥AB∴ D 、E 、F 三点共线。
三.运用“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”证三点共线例3.如图，直线DA 、DC 、CB 分别切⊙O 于点A 、E 、B ，AD ∥BC ，AD=2,BC=4，求⊙O 的直径。
解：连接OA 、OB ，过D 作DF ⊥BC 于F∵DA 、DC 、CB 均是⊙O 的切线 ∴OA ⊥AD,OB ⊥BC,DE=DA=2,CE=CB=4 又∵AD ∥BC ，∴OA ⊥BC根据OB ⊥BC ，OA ⊥BC ，可知点A 、O 、B 三点共线，即AB 是直径， 在R t △DFC 中，DF=22CF DC -=2226-=42因此，⊙O 的直径AB 为42四.运用“连接其中的两点构成的两条线段重合”证三点共线例1.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD 、BC 的中点分别是M 、N ，∠B ＋∠C=900，且BC>AD,求证：MN=21（BC －AD ） 证明：延长BA 、CD 相交与G ，分别连接GM 、GN ，由已知得△GBC 、△GAD 都是R t △，先在Rt △GAD 中，GM 是斜边上的中线，∴GM=GA=MD ，∴∠MGA =∠1同理可证∠NGB=∠B∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B∴∠MGA=∠NGB ，即∠MGA 与∠NGB 是同一个角，GM 和GN 重合∴点G 、M 、N 三点共线由直角三角形斜边上中线的性质有：GM=21AD,GN=21BC 因此，MN=GN －GM=21（BC －AD ）。
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解决问题方法一
1、由AB∥l，BC∥l，公共点B，你会想到 什么性质？
过直线外一点有且只有一条直线与已知直 线平行. 2、利用垂线的存在性和唯一性解决问题 解：过B点有ＡＢ、ＢＣ平行于ｌ，依据“过 直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行”可知，ＡＢ、ＢＣ在同一直线上，即A、 B、C三点共线.
解决问题方法二
所以A、B、C三点在同一直线上.
问题情境五
如图，AB∥l,BC∥l,B为垂足，那么A、 B、C三点在同一直线上吗？为什么？
思维点拨
1、问题中存在哪些不同类的图形？ 直线l，射线BA、BC和公共点B 2、问题中已知的位置关系是什么？要解决的问 题是什么？ 已知的位置关系： AB∥l,BC∥l； 要解决的问题：A、B、C三点共线，即BA、BC 在同一直线上.这是解决两条射线的位置关系.
1、由AB⊥l，BC⊥l，垂足为B，你会想到 什么性质？
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直. 2、利用垂线的存在性和唯一性解决问题 解：过B点有ＡＢ、ＢＣ垂直于ｌ，依据“在 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直”可知，ＡＢ、ＢＣ在同一直线 上，即A、B、C三点共线.
解决问题方法二
1、问题中存在直角，我们能否利用角的数量关系 解决问题？ 利用平角或者说利用邻补角解决三点共线问题. 2、在AB、CB方向上怎样构造平角？选择哪一个 点构造平角呢？ B点是BA、BC的公共点，可选择B点构造平角. 作射线BA、或者BC的反向延长线，在B点两侧 构造平角.
问题解决
解：作BC的反向延长线BC′ 则点C在直线BC′上. ∵AB⊥l, BC⊥l
∴OE、OF在同一直线上源自解决问题方法二解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠COE=1/2∠AOC, ∠DOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠COE=∠DOF ∵ ∠COE+ ∠DOE=180° ∴ ∠DOE+ ∠DOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
解决问题方法三
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠COE=1/2∠AOC, ∠DOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠COE=∠DOF ∵ ∠COE+ ∠COF=180° ∴ ∠COF+ ∠DOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
解决问题方法四
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠AOE=1/2∠AOC, ∠BOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠AOE=∠BOF ∵ ∠AOE+ ∠BOE=180° ∴ ∠BOE+ ∠BOF=180°
∴OE、OF在同一直线上
问题情境三
如图，AB⊥l,BC⊥l,B为垂足，那么 A、B、C三点在同一直线上吗？为什 么？
1、我们能否利用角的数量关系解决问题？ 利用平角或者说利用邻补角解决三点共线问题. 2、在AB、CB方向上怎样构造邻补角？选择哪一 个点构造邻补角呢？ B点是BA、BC的公共点，可选择B点构造邻补角.
作射线BA、或者BC的反向延长线，过B点作l 的垂线(或连接B与l上任一点）构造邻补角.
问题解决
解：作BC的反向延长线BC′作BM⊥l 则点C在直线BC′上. ∵AB∥l, BC∥l ∴BM⊥BA，BM⊥BC′ ∴∠1=90°, ∠2=90° ∴∠1+∠2=180° ∴BA、BC′在同一直线上，即点A也在 直线BC′上 ∴A、B、C三点在同一直线上
4、问题中存在大小和数量关系的图形是角，当角 为多少时可以确定OE、OF在同一直线上呢？ 当OE，OF组成的角∠EOF为平角（即180°） 时，就可以确定OE、OF在同一直线上.
5、问题无法直接获得∠EOF为平角，利用角的什 么关系来解决呢？你有几种选择？
选择两个角和为180°（实际为邻补角）来解决. ∠AOE+∠AOF=180°； ∠DOE+∠DOF=180° ∠COE+∠COF=180°； ∠BOE+∠BOF=180°
C′
∴∠1=90°, ∠2=90° ∴∠1+∠2=180° ∴BA、BC′在同一直线上，即点A也在 直线BC′上 ∴A、B、C三点在同一直线上
解决问题方法三
当前两种方法想不到，也可以另辟蹊径， 利用反证法解决问题. 解：A、B、C三点不在同一直线上，即BA、 BC是两条直线 ∵AB⊥l, BC⊥l ∴AB∥BC，则BA，BC没有公共点 这与已知B点是BA、BC的公共点矛盾，假 设不成立.
解决问题思路
已知直线
生成平角
转化为邻补角
转化为∠EOF平角
转化为邻补角
OE、OF在同一直线上
解决问题方法一
解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD ∴∠AOE=1/2∠AOC, ∠BOF =1/2∠BOD ∵ ∠AOC= ∠BOD ∴∠AOE=∠BOF ∵ ∠AOF+ ∠BOF=180° ∴ ∠AOE+ ∠AOF=180°
李瑞玲
问题情境一
如图，直线AB、CD相交于点O，OE 平分∠AOC,OF平分∠BOD.问OE、OF在 同一直线上吗？为什么？
1、问题中生成了哪些不同的图形？ 直线、射线、交点和角 2、本题要解决的问题是什么？ 问题中是要确定OE、OF是否在同一直线 上，即E、O、F三点是否共线，这是判定OE、 OF的位置关系. 3、我们选择哪一类图形的什么关系（注：位置关 系、数量关系）能解决问题呢？ （尝试）直线相交，交点、射线等的位置关 系都无法确定OE、OF是否在同一直线上.
C′
解决问题方法三
当前两种方法想不到，也可以另辟蹊径， 利用反证法解决问题. 解：A、B、C三点不在同一直线上，即BA、 BC是两条直线 ∵AB∥l, BC∥l ∴AB∥BC，则BA，BC没有公共点 这与已知B点是BA、BC的公共点矛盾，假 设不成立.
所以A、B、C三点在同一直线上.
总结
解决三点共线问题有三种方法： 1、利用平角或者说利用邻补角，这是利用 数量关系解决位置关系，也是最常用的方法. 2、利用垂线的存在性和唯一性； 3、利用平行线的存在性和唯一性（即平行 公理）.
思维点拨
1、问题中存在哪些不同类的图形？ 直线l，射线BA、BC和垂足B（三线的公共点） 直角. 2、问题中已知的位置关系是什么？要解决的问 题是什么？ 已知的位置关系： AB⊥l,BC⊥l； 要解决的问题：A、B、C三点共线，即BA、BC 在同一直线上.这是解决两条射线的位置关系.
解决问题方法一