复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点

（一）复数的概念

1.复数的概念：z = x ? iy , x, y 是实数，x = Rez,y = lmz.r-_i.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小

2.复数的表示

1）模：z =y/x2+y2；

2）幅角：在z = 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（-二，二］中的幅角。

3）arg z与arctan y之间的关系如下：

x

y

当x 0, argz=arctan工；

x

[ y

y - 0,arg z = arctan 二当x ： 0, x

y y :: 0,arg z = arctan 「愿

L x

4）三角表示：z = z COST i sinv ，其中二-arg z ；注：中间一定是“ +"号

5）指数表示：z = z e旧，其中日=arg z。

（二）复数的运算

仁加减法：若z1= x1iy1, z2= x2 iy2，贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2

2.乘除法:

1 ）若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2，则

ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ；

乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为

-- = --------- = ----------------------- = -------------- T i --------------

Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x；y；x；y f

2）若乙=乙e°,z2= z2e°, _则

3.乘幂与方根e

i "'2 ；

土評匀）

Z2

Z2

1）若z =|z （cos日+isin 日）=|z e旧，则z"=上"（cosnT +i sin 用）=上"d吩。

2）若z =|z （cos日+isin 日）=|ze吩，贝U

阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" ）（k =0,1,2[|I n—1）（有n个相异的值）l n n丿

（三）复变函数

1?复变函数：w = f z，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

2?复初等函数

1）指数函数：e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且e z= e z。

注：e z是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）对数函数：Lnz=lnz i（argz 2^：）（k=0, _1,_2[|[）（多值函数）；

主值：In z = ln z +iargz。（单值函数）

* 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且Inz

z

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：a b= e bLna（a = 0）；z b= e bLnz（z = 0）

注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且z b二bz b‘。

iz -iz iz -iz

e -e e e sin z cosz

4）三角函数：sin z ,cos z ,t gz , ctgz =

2i 2 cosz si nz

sin z,cos z 在z 平面内解析，且sin z 二cosz, cosz =—si nz

注：有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立；（与实函数不同）

z -z z - z

e -e e +e

4）双曲函数shz ,chz二

2 2

shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz 二chz, chz = shz。

（四）解析函数的概念 1 ?复变函数的导数

1）点可导

f Z o . ：Z - f Z o

△z

2）区域可导：f z在区域内点点可导。

2?解析函数的概念

1 ）点解析： f Z在Z o及其Z o的邻域内可导，称f Z在Z o点解析；

2）区域解析： f Z在区域内每一点解析，称f Z在区域内解析；

3）若f （Z）在Z o点不解析，称Z o为f Z的奇点；

3 ?解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数;

（五）函数可导与解析的充要条

件

1 ?函数可导的充要条件：f Z =ux,yi、ivx,y在z=x，iy可导

=u x,y和v x, y在x, y可微，且在x, y 处满足C - D条件:

:x

此时，有f ■ z = —i —。

ex ex

2?函数解析的充要条件：f Z二u x, y iv x, y在区域内解析

rx r\ * , , cu cv

二u x, y和v x, y在x,y在D内可微，且满足C - D条件：

ex cy ;:u

■y

.I--.

:v ；

;x

注意：若u x, y ,v x, y在区域D具有一阶连续偏导数，则u x, y ,v x,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u, v具有一阶连续偏导且满足C - R条件时，函数f（z）二u ? iv —定是可导或解析的。

3?函数可导与解析的判别方法

1 ）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件（函数以f z =u x, yi亠iv x, y形式给出，如第二章习题2）

3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f Z是以Z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1)化为线积分：

f z dz = J udx -vdy ? i vdx udy ;(常用于理论证明)

c

c

c

2）参数方法：设曲线 c : Z = Z t （鳥％t "

：：卩），其中：?对应曲线c 的起点，：对应曲线c 的终点，则

c f z dz =「f[z t ]z(t)dt 。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论 1.柯西一古萨基本定理：设f Z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则

屮 z dz = O

c

2.复合闭路定理： 设f （z ）在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线， c 1, c 2^l c n 是c 内的简单闭

曲线，它们互不包含互不相交，并且以

c 1,c 2^|c n 为边界的区域全含于 D 内，则

n

①f z dz

f z dz,其中c 与C k 均取正向;

c

k 3 Ck

②屮z dz=O ，其中】由c 及C ，（k =1,2,|l （ n ）所组成的复合闭路。

3?闭路变形原理：

一个在区域D 内的解析函数f Z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它

的值，只要在变形过程中 c 不经过使f z 不解析的奇点。

4 ?解析函数沿非闭曲线的积分

：设f Z 在单连域 B 内解析， G z 为f z 在B 内的一个原函数，则

Z 2

J f (z dz=G(Z 2 )—G(Z1 )

Z 1

1. 复变函数积分的概念:

n

f z dz = lim v f k :_z k ，c 是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2. 复变函数积分的性质

」z dz = - “f z dz （c J 与c 的方向相反）；

[:f z | 亠.g z ]dz =:-

c

c f z dz 亠〉i g z dz,〉

，：是常数;

3. 若曲线c 由d 与c 2连接而成，则

c f z dz 「c f z dz .c f z dz 。

复变函数积分的一般计算法

(Z i ,Z 2 B)

说明：解析函数f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。柯西积分公式：设f Z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于 D ，z o 为c 内

任意一点，则

6. 高阶导数公式：解析函数f z 的导数仍为解析函数，它的

n 阶导数为

其中c 为f z 的解析区域D 内围绕z o 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于

D 。

7. 重要结论:

n = 0

。（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）

n = 0

8?复变函数积分的计算方法

P

1 ）若f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法

f z dz =

f[z t ]z t dt

L c

Of

2）设f z 在区域D 内解析，

Z 2

c

f Z dz 二 f z dz 二 F z 2 —F 乙

c

Z [

3）设f z 在区域D 内不解析

爪丄田dz = 2町f （Z0

）

」Z-Z 。

i 」（z-Z 0）

n!

曲线c 内有多于一个奇点：

n

|j f z dz

f z dz (

Ci 内只有一个奇点 Zk )

c

心C k

n

或：「I f z d^2

：r Res[f(z),z k ](留数基本定理)

c

2

若被积函数不能表示成 一f Z ,，则须改用第五章留数定理来计算。

(Z_Z g )

dz =

n!

n

z o (n =1,211)

I 2二 i, UQar dz = o,

c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理, Qf z dz

-0

c 是D 内的一条非闭曲线,

z-!, z 2对应曲线c 的起点和终点，则有

曲线c 内仅有一个奇点

（f （z ）在c 内解析）

（z-Z o）

（八）解析函数与调和函数的关系

1.调和函数的概念：若二元实函数「（x, y ）在D 内有二阶连续偏导数且满足

:

（x, y ）为D 内的调和函数。

2?解析函数与调和函数的关系

解析函数f Z i

；=u - iv 的实部U 与虚部v 都是调和函数，并称虚部 v 为实部U 的共轭调和函数。

两个调和函数u 与v 构成的函数f （z ）=u ?iv 不一定是解析函数；但是若 u,v 如果满足柯西一

黎曼方程，则u ? iv —定是解析函数。 3 .已知解析函数f z 的实部或虚部，求解析函数

f z =u iv 的方法。

1） 偏微分法：若已知实部u =u x,y ，利用C - R 条件，得

；

ex cy

对丄=二两边积分，得v = —U dy g x

（*）

:y 汶 ；:

x

r

a r

\

再对（*）式两边对x 求偏导，得 —巴y

g x （ **）

ex ex 丿

由 C — R 条件，—=，得二= 一一 —dy

x ，可求出 g x ；

cy ex dy ex ）

cu

代入（*）式，可求得 虚部v

dy g x 。

x

f

r

rx

a

2） 线积分法：若已知实部u = u x, y ，利用C — R 条件可得dv = —- dx ? —- dy = - —- dx ? —- dy ，

ex cy cy ex

故虚部为v

u

dx

u

dy 亠c ;

（冷』0 ） ? ex

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中

x 0,y 0与x, y 是解析区域中的两点。

3） 不定积分法：若已知实部u = u x, y ，根据解析函数的导数公式和 C 「R 条件得知，

u .

；：u

f z

i '

iF

尸^

尸^

尸^

ex cy ex

；x 2寸

:u

-i 一 ■:

y