高三数学理科测试与参考答案

北京市高三数学理科测试与参考答案 5

、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项

（1 ）设集合I'-''

—若，一，则二的范围

是

（

）

（A ） 1二

（B ） ??「：（ C ）

J :;: :

（ D ） ?:-

为（）

（A ）

（B ）

（D ）-

J 二:中，设 I- - ■''' .■则认心+占■门等于（

(A)

：

(B)

(D)

（4 ）设i 为虚

数单位：

,U -展开式中的第三项

为

（

）

（ A ）

( B ）

图象的两条相邻对称轴间的距离

（3 ）在边长为F 的正三角形

（

5）设匹、町是不同的直线，

□、?、，''是不同的平面，有以下四个命题：

①若'■'■ ■ '■ 1'

则:''“

②若分丄卩，罰U，则強丄0

③若無丄橫〃0，则氐丄0④若滋“悅丹U化，则战"①

其中真命题的序号是（）

（A）①④（B）②③(C) ②

④（D）①③

￡_乙

（6）已知点亠'■' , B为椭圆」+「=（「?’’-的左准线与T轴的交点，若线段

为

的中点C在椭圆上

（

，则

）

该椭圆的离心率

（A

）

（B）2

（C

）

迴

￡

（D）4

（7

）已知函数/⑴二? f E为了⑴的反函数，则函数＞=;「与》_了在同一坐标系中的图象为（）

—4i(C) (D)

(8)已知函数?|」「是定义在l l 上的增函数，其中_

' ' '■ ' _

'设函数

■- -

，且'?)不恒等于〔」，则对于'■ ■有如下说法：

①定义域为②是奇函数

③最小值为- ④在定义域内单调递增其中正确说法的个数有

(

)

(A ) 4 个

(B ) 3 个

(C ) 2

个 (D ) 1个

、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上

(9) 双曲线」 I 的一个焦点到一条渐近线的距离

是 _________________________________ .

(10 )在亠二二中，匸_丁二］三，丄-工且「盯门的面积为」八，则

B — ； AB =■

_________________________________ ? __________________________________________________________

若匚-，吕为S 内的两个点，贝贝一I 的最大值为

(13) ----------------------- 已知「一： -------------------------------- 是以-为球心的球面上的四个点， --------------- ------------------------------------------ -- 两两垂直，且三二：■-

，则球的半径为 ________________________ ；球心'到平面J - C

的距离

(14) 在100, 101 , 102,…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“ 145”)或严

f<^ =

(11)已知函数

-P+1|

k-i (x>o)r 那么不等式1

' 的解

(12)设不等式组 * y-孑< 0

屮-2応所表示的平面区域为

S ,贝U S 的面积为

格递减（如“ 321”）顺序排列的数的个数是_______________ 个?把符合条件的所有数按从小

到大的顺序排列，则321是第 _____ 个数?（用数字作答）

三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

（15）（本小题共12分）已知向量a-fcos^ + 2 sin sin = (eg r-sinx r 2cos

（I）求函数-■'- ■的单调递增区间；

（II）求函数-’「的最大值及取得最大值时工'的集合.

（16）（本小题共14分）如图，在四棱锥:-中，底面丄二二二是正方形，E上一底面二二

■-八一」-, 点W 是亠的中点，丄-9丄，且交，丄于点：丁 .

（I ）求证：工’，平面」二T ；

（II ）求二面角口--兀-証的大小；

（III ）求证：平面二七「丄平面心二

￡

（17）（本小题共12分）某城市有30%的家庭订阅了A报，有60 %的家庭订阅了B 报，有20%的家庭同时订阅了A报和B报，从该城市中任取4个家庭.

(I)求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A报的概率;

(H)求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B报的概率;

(川)求这4个家庭中恰好有2个家庭A,B报都没有订阅的概率

(18) (本小题共14分)已知抛物线S的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，一把匚的三个顶点都在抛物线上，且一拉匚的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线］的方程为

+ y- 20 = 0.

(I )求抛物线S的方程;

P、Q是抛物线S上的两动点，且满足'?'.试说明动直线PQ是否过(II )若O是坐标原点,

一个定点

(19) (本小题共14 分)设J P 是函数的两个极值点

(I )若厂一二-，求函数-’「的解析式;

(ii)若「 T ，求丘的最大值；

(III)设函数-当七二；时，求证：昨|＜右如+纣

(20) (本小题共14分)已知定义在丘上的函数-'’满足：，

意实数匕丁，总有-，：A' -- 成立.

(I )求'-：的值，并证明函数为偶函数;

（II ）定义数列",：V ■■- ■' ■',求证：-为等比数列；

（III ）若对于任意非零实数:'，总有设有理数工“门满足一■:1，判断和-.-的大小关系，并证明你的结论.

参考答案

、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分, 共30分）

（9）2（10 ）「；，8（11）

E厂1)UD

（⑵ 16,訥1 （ 13）右，3（14）204 ，53

三、解答题（本大题共6小题,共80分.）

（15）（共12分）解：（I）由已知可得

,(卞)=(c*>sz + 2 sm A)(CO;x - sin J L)+ 2sin K CQSX

=cos x-sift +2SITL 弋沁2sin x + 2siti XCOST cos x+3sin A-COS x-2￡in x

1 3

—(1 + co s 2x) + — sin (uos 2x— 1)

号“十5)￥竽曲书厲

細送6+泊如/

(心)

(II) (I) /w

调递增区间为

"2芈W出〉-扌

10分

(坎_￥，竝+￡)

8 8

12分

(16)(共14分)方法(I )证明：连结占匸交丄"于巨，连结

ME 1分

'??卫弓「匸是正方形，三是占匚的中点.一L是丘匚的中点,.??归是丄匸二三

的中位线?

又?/ 丄上’平面ACM, S8 9平面

ACM

3分

SB//平面ACM .4分

(n)解：取」二中点F ,

贝y

一：口

&屈.作'乙于... ,连结

应. 5分

T —底面-—'--,???亠：」-_ —底面---

??? ■'-为'' J在平面占二-内的射影?

…’J -

...就Q丄占G ?

_"丄二为二面角-Y的平面角?7分

设：—击.'7中二：「：；匚亠’T-

由上1 一」三'故设二-上J 一一 .,_\C- If的

arctan

(III 证明：由条件有 ------------------------- ???二「丄

册丄尢10分

又... 是曲的中点，... AM .LSD.

11分

由已知?.二:丄平面二匕'「

SAC,

AMN.14

方法二：解：（II ）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系

G'jS

I W H

AO,O P 0）. S （0,1,0）, C （1 丄 0）. DQ DJkf （丄 Q 丄）则■ 1

■■■丄底面丄二，

...二是平面止二的法向量

设平面一二二的法向量为

/J ，

- ■■'

■ JlCJ = U T

■;

E + y + 0 = 0,

1 1

则

n AM = O.

即 —X + 0+—需=0. 匕

2 :

”一

扎

a 鼻宀 2 arccos 一

? ??二面角一?d ?J-2的大小为分

分

AM C^=---^-- = Q

2 2

分

又且" -

..SC 丄平面血. 又g 匸平面谢G

.?.平面二二丄平面■-二■' . 14 分

(17)(共12分)解：(1)设“这 4个家庭中恰好有3个家庭订阅了 A 报” 为A, 1分 P(& 二 ^(0.3/(0.7)= 0.0756

的事件

答：这4个家庭中恰好有 3个家庭订阅了 A 报的概率为〔.工.

(n )设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了 B 报”的

5分

事件为

F 述）三 1-C06/ = 1-0.1296 三 C.87D4

答：这4个家庭中至多有 3个家庭订阅了 B 报的概率为-.

（III ）设"这4个家庭中恰好有2个家庭A, B报都没有订阅”的事件为

C, 9分

因为有30%的家庭订阅了A报，有60 %的家庭订阅了B报,

有20%的家庭同时订阅了A报和B报.所以两份报纸都没有订阅的家庭有30% .

尸Q）= C：（0衬（0.?）亠（12開6

答：这4个家庭中恰好有2个家庭AB报都没有订阅的概率为

注：第三问若写出两份报纸都没有订阅的家庭有30%，后面计算有误，给到

（18）（共14 分）解：（I）设抛

b = 2亦

20 - 0,

由丄二'〔，有」?，或」'

12 10分.

设［- 1'- '1，由—4-的重心为吟）?=0

■'■巧+叼二Q _亍

.卞老Q ,*Q =

民...动直线方程为 y = ^-^k = k(_x-U)

点 A 在抛物线 S 上

???抛物线S 的方程为■■ - "■' 分

(II )当动直线’J 的斜率存在时,

设动直线.L,方程为'，显然h ■ 1 - 11

..PO 丄0Q ?七葩1

上边=—1,

- ■，…

设 F '■ ■■ 1 ■ ： - T \-

10分

_耐

将1

，：

--［代入抛物线方程，得

，，：;，rj ，

' ■<

(II )

此时动直线PQ 过定点' 当PQ 的斜率不存在时，显然’'轴，又--

：，

-',二山为等腰直角三角形

动直线 PQ

胚（16』）

f 0)=站F +2加-^{a >0)

\/f

P )= o

3a-2b- a = 0

a 二 6

b = -9

./'(工)=3&工 + 2加-护(& > <0)

依题意, D 是方程■' ■■' 的两个根，且■-

1 _ ：

.（工］4花尸-2工!码+ 21可托$ |= 8

12分

* X 二";T, 由L 宀

y- =16x n y=-^ 得到

硏

此时直线PQ 亦过点 (I?

13分

(19 )(共

14分）

)- .「厂 .■ / : ■- ■-:

14分

I 吕㈤冃加O+go-O - 冃见工+￡)卩(LQ )-I ]|

设P ⑷二如(&-&),则戸S 二一如+充口 .

由P3 沁得0丈迄弋4，由P f

W < 0得a >4 .

即：函数，-在区间| 一」上是增函数，在区间-一」-上是减函

???当"二时，二i 有极大值为 96,.*」在-…-上的最大

值是96,

(III ) 证明:??? j 乃是方程..'.■1

的两根,

.八远)=3减—恥-对

X. = — —

x,=-- I? 3 七二口 .

1 弓 …

数,

——< < a \ ■■ ':= ■>，即：

I吕㈤|二世盂+》(一3兀+ 0

「主±1)=_%(一分+邑

「 2 4 3

￡竺+/十打：型也

4 3 12

???「'I ' '成立.

（20）（共14 分）解：（I）令■'' 1' ' ■

令.鳥⑼+即W)=S”(P) --—：/ ■-,对任意的实数丁总成立。丿-'J为偶函

叶)令"尸1,得心①"⑵七?12分

(n m ='￡￥

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/[(t ^y] > J fty) 1)刃>f[(k-1)刃-皿-2)y] .??对于总有.'L- L.1. < '■/.成立.

???对于'，若—v，则有/ ■■::… 心」成立.

X1 I- — J ^2 1=

'I 二，其中自‘土是非负整数,

y - -----

令H化！，『二右凸店二Pi巳」N.

?.?丨颅1<1乃丨，」心，?」（&）"（卽），即/（WDVQ E I）?.?函数/（兀）为偶函数，..?. n可1）二/（珂）汀a无I）=/E）.

.../（再）u/O』分■ 1，￡ -都是正整

，所以可设

P1P2