课时跟踪检测(三十) 等差数列及其前n项和(重点高中)
课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前n 项和
(二)重点高中适用作业
A 级——保分题目巧做快做
1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )
A ．36
B ．72
C ．144
D ．288
解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2，
∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32
＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，
∴S 9＝9(a 1＋a 9)2
＝72. 2．(2018·湖南五市十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )
A ．72
B ．88
C ．92
D ．98
解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等
差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72
d ＝92. 法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2
＝92. 3．(2018·东北四市高考模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．30
解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.
4.(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A ，B ，C ，D ，E 五人分5钱，A ，B 两人所得与C ，D ，E 三人所得相同，且A ，B ，C ，D ，E
每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E 所得为( )
A.23
钱 B.43钱 C.56钱 D.32
钱 解析：选A 由题意，设A 所得为a －4d ，B 所得为a －3d ，C 所得为a －2d ，D 所得
为a －d ，E 所得为a ，则????? 5a －10d ＝5，2a －7d ＝3a －3d ，
解得a ＝23，故E 所得为23钱． 5．(2018·云南11校跨区调研)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n a n ＋3
，则a 4＝( ) A.34
B ．1 C.43
D.32 解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n
＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列??????1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34
. 6．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.
解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.
∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2.
∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2
d ＝6×6－30＝6. 答案：6
7．在等差数列{a n }中，公差d ＝12
，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.
解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910
， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25
， 则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝
502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：10
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理 1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．(2019·惠州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝ 1，△ABC 的面积为 3 2 ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32 D. 3 3．(2019·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b ，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．45°或135° D ．60° 4．(2019·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2 ＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.3 2 B. 22 C.12 D ．－1 2 5．(2019·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B §6.2 等差数列及其前n 项和 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编 2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B 解析 由已知可得??? ?? a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30， 解得??? a 1 ＝26 3， d ＝－4 3， ∴S 8＝8a 1＋8×7 2 d ＝32. 3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠 4．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范 围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.875 课时跟踪检测（二十四）语言表达的简明、得体 1．阅读下面两段文字，回答后面的问题。(6分) (一)如今，许多外国人非常 ．．①热衷于．②学习中文，有些还要学习使用筷子。他们把筷子 称之．③为东方饮食文化的象征。中国人对于筷子来说 ．．④是．⑤再熟悉不过了，但其背后的文 化却未必人人清楚。筷子的历史起码 ．．⑥有三千多年，其名称源自于．⑦江南水乡，筷子最早的名称为“箸”，但古代水乡船家忌讳言“住”，希望快快行船，故改“箸”为“筷”，并沿用至今。 (二)筷子有诸多美好寓意。民间吉祥话，说“筷子筷子，快快生子”；筷子送恋人，寓意“”；筷子送朋友，意味着“平等友爱，和睦同心”。使用筷子也有一些禁忌。如“执箸巡城”(满桌巡视，随意翻拣)，“”(吮嘬筷子，品咂有声)，“泪箸遗珠”(夹菜带汤，沿途淋漓)，等等。 (1)文段(一)中有些加点的词语必须删去，请将其序号写在下面的横线上。(2分) 答： (2)在文段(二)中的横线处填写恰当的语句，使上下文内容相关、句式一致。(4分) 答： 答案：(1)①③④⑦(2)成双成对，永不分离品箸留声 2．阅读下面一段话，本着文字简明的原则，完成文后两题。(把序号填在横线处)(4分) 深圳南方公司，①在改革开放形势的推动下，②为了避免对来深圳南方公司应聘的人以是否名牌大学毕业而选择录用的先入为主的弊端，以聚集人才，③今年招聘大学毕业生，不再问毕业学校。他们认为，④任何一个一流企业如果不注重选拔人才注入新鲜血液，⑤如果仅凭是否名牌大学选择人才的话，将很难发展。 (1)应删去的两处语句是(写画线处的序号)。 (2)应简略的一处语句是(写画线处的序号)，可简略为。 解析：本段文字主要介绍深圳南方公司用人的新理念，①是介绍时代背景，与选拔人才没有必然关系，应删去；④说的是“任何一个一流企业如果不注重选拔人才”，这与本公司用人的新理念没有关系，所以是多余的。②句冗长难以理解，应予以删减压缩。 答案：(1)①④(2)②为了避免先入为主的弊端 3．为使下面的语段简明顺畅，请指出必须改动和删掉的词语。(只填写应删词语的序号)(4分) 2018～2019年度，我校将扩大招生规模 ①，由原来的22个教学班级 ② 增加到28个。由于 我校教室本已十分 ③严重 ④ 不足，因此亟须新建教室。现在，虽然我们已多方进行 ⑤ 筹措，但经 第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37 解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________. 课时跟踪检测（三十一）任意角 层级(一)“四基”落实练 1．下列命题正确的是() A．第一象限的角都是锐角 B．小于90°的角是锐角 C．2 019°是第三象限的角 D．2 019°是第四象限的角 解析：选C当α＝390°时，位于第一象限，但α＝390°不是锐角，故A错误； α＝0°＜90°但α不是锐角，故B错误； 2019°＝5×360°＋219°，∵219°是第三象限角， ∴2019°是第三象限的角，故C正确，D错误，故选C. 2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是() A．120°B．60° C．180°D．240° 解析：选D∵与－120°终边相同角的集合为{α|α＝－120°＋k·360°，k∈Z}．取k＝1，可得在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是240°. 3．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是() A．第一象限角B．第一、二象限角 C．第一、三象限角D．第一、四象限角 解析：选C由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角． 4．若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°，m，k∈Z，则角α与β的终边的位置关系是() A．重合B．关于原点对称 C．关于x轴对称D．关于y轴对称 解析：选Dα的终边和60°的终边相同，β的终边与120°的终边相同，∵180°－120°＝60°， 课时跟踪检测（二十三）电场能的性质 [A级——基础小题练熟练快] 1．(2019·湖北八校联考)下列说法正确的是() A．带电粒子仅在电场力的作用下一定做匀变速运动 B．带电粒子仅在电场力的作用下运动时，动能一定增加 C．电场力做正功，带电粒子的电势一定降低 D．电场力做正功，带电粒子的电势能一定减少 解析：选D只有电场是匀强电场时，带电粒子仅在电场力的作用下做匀变速运动，A 错误；如果电场力做负功，则动能减小，B错误；电场力做正功，电势能一定减小，负电荷从低电势向高电势运动，故C错误，D正确。 2.(2020·山东济南模拟)如图所示，等量异种点电荷P、Q连线中点 处有一电子，在外力F作用下处于静止状态。现让电荷Q沿连线向右 移动一小段距离，此过程中电子一直处于静止状态。下列说法正确的是() A．外力F逐渐减小，电子的电势能逐渐增大 B．外力F逐渐增大，电子的电势能逐渐增大 C．外力F逐渐增大，电子的电势能逐渐减小 D．外力F逐渐减小，电子的电势能逐渐减小 解析：选D由题意可知，外力F向右，则电场力向左，可知P带正电，Q带负电；当电荷Q沿连线向右移动一小段距离时，电子所在的位置场强减小，电势升高，则电子受的电场力减小，外力F逐渐减小，电子的电势能降低，故选项D正确，A、B、C错误。 3.(2019·浙江东阳中学模拟)如图所示，MN是由一个正点电荷Q产生的 电场中的一条电场线，一个带正电的粒子＋q飞入电场后，在电场力的作用 下沿一条曲线运动，先后通过a、b两点，不计粒子的重力，则() A．粒子在a点的加速度小于在b点的加速度 B．a点电势φa小于b点电势φb C．粒子在a点的动能E k a小于在b点的动能E k b D．粒子在a点的电势能E p a小于在b点的电势能E p b 解析：选C由题图可知粒子受力应向左方，因粒子带正电，故电场线的方向应向左，故正点电荷Q应在N一侧，故a处的场强大于b处的场强，故粒子在a处的电场力大于b 第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 课下练兵场 一、选择题 1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 解析：∵S 3＝ 13() 2 a a +＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝ 31() 2 a a +＝2. 答案：C 2.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a 3＋a 5)－(a 2＋a 4)＝2d ＝6，∴d ＝3，a 1＝－4， ∴S 10＝10a 1＋10(101)2 d ?-＝95. 答案：C 3.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋ c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b ≠2. 答案：B 4.数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{ 1 1 n a +}是等差数列，则a 4＝ ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：设数列{ 11n a +}的公差为d ，由4d ＝611a +－211a +得d ＝16，∴411 a +＝1 2＋1＋ 2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：C 6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最 大的是 ( ) A . 1 1S a B .88S a C .99 S a D .1515S a 解析：由于S 15＝ 11515() 2 a a +＝15a 8＞0， S 16＝ 11615() 2 a a +＝8(a 8＋a 9)＜0， 所以可得a 8＞0，a 9＜0. 这样 11S a ＞0，2 2S a ＞0，…，88S a ＞0，99S a ＜0，1010S a ＜0，…，1515S a ＜0， 而S 1＜S 2＜…＜S 8，a 1＞a 2＞…＞a 8， 所以在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最大的是88S a . 答案：B 二、填空题 7.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝ . 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1 a n ， 2．3 等差数列的前n 项和 一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。 二、基础知识 1、数列前n 项和公式： 一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系 当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为 。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。 仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则 ＝m m b a _____________。 三、典例分析 例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。 解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等 课时跟踪检测(三十) 数列的概念与简单表示法 1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－2 2．按数列的排列规律猜想数列23，－45，67，－8 9，…的第10项是( ) A ．－16 17 B ．－18 19 C ．－2021 D ．－22 23 3．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n ＝( ) A ．2n －1 B ．n 2 C.(n ＋1)2n 2 D.n 2 (n －1)2 4．对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．(2012·北京高考)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 6．(2013·江西八校联考)将石子摆成如图的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差，即a 2 012－5＝( ) A ．2 018×2 012 B ．2 018×2 011 C ．1 009×2 012 D ．1 009×2 011 7．已知数列{a n}满足a st＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________. 8．(2012·潮州质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且a n＝a n－1 a n－2 (n≥3)，则a2 012＝ ________. 9．已知{a n}的前n项和为S n，且满足log2(S n＋1)＝n＋1，则a n＝________. 10．数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 11．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2＋2n，数列{b n}的前n项和T n＝2－b n.求数列{a n}与{b n}的通项公式． 12．(2012·东莞质检)数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列． (1)求c的值； (2)求数列{a n}的通项公式． 1．(2013·珠海质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1a n＝2n(n∈N*)，则a10＝() A．64B．32 C．16 D．8 课时跟踪检测 （二十） 指 数 层级(一) “四基”落实练 1．计算： －x 3＝( ) A ．x －x B ．－x x C ．－x －x D ．x x 解析：选C 由已知，得－x 3≥0，所以x ≤0，所以－x 3＝ (－x )·x 2＝ －x ·x 2＝ －x ·|x |＝－x －x ，选C. 2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 解析：选A ∵2a ＝m,5b ＝m ，∴2＝m 1a ，5＝m 1b ，∵2×5＝m 1a ·m 1b ＝m 1a ＋1b ，∴m 2＝10，∴m ＝10.故选A. 3．已知a ＞0，将 a 2a ·3 a 2 表示成分数指数幂，其结果是( ) A ．a 12 B ．a 56 C ．a 7 6 D ．a 3 2 解析：选C a 2 a ·3 a 2 ＝a 2÷23·a a ?? ???1 2＝a 526 －＝a 76，故选C. 4．计算(2n ＋1)2·??? ?122n ＋14n ·8 －2 (n ∈N *)的结果为( ) A.1 6 4 B ．22n ＋ 5 C ．2n 2－2n ＋6 D ．????122n － 7 解析：选D 原式＝22n ＋2·2－2n －1(22)n ·(23)－2＝21 22n －6＝27－2n ＝????122n －7. 5．(多选)下列式子中，正确的是( ) A ．(27a 3) 1 3 ÷0.3a － 1＝10a 2 B.2233a b ?? ???－÷1133a b ?? ??? ＋＝a 13 －b 1 3 C.[]()22＋32(22－3)2 1 2 ＝－1 D.4 a 3 a 2a ＝24 a 11 解析：选ABD 对于 A ，原式＝3a ÷0.3a －1＝ 3a 2 0.3 ＝10a 2，A 正确；对于B ，原式＝1111 3333113 3 a b a b a b ???? ???????－＋＋＝a 13－b 13，B 正确；对于C ，原式＝[(3＋22)2(3－22)2] 12＝(3＋ 22)(3－22)＝1.这里注意3＞22，a 12 (a ≥0)是正数，C 错误；对于D ，原式＝ ＝ a 1124 ＝ 24 a 11，D 正确． 6．使等式 (x －2)(x 2－4)＝(x －2)x ＋2成立的x 的取值范围为________． 解析：若要等式成立．需满足x ≥2. 答案：[2，＋∞) 7．计算：(0.008 1) 14 －－????3×????560×130.2527818? ????? ????? ?? －－＋1 2 － －10×(0.027) 13 ＝ ________. 解析：原式＝103－3×????13＋231 2－－3＝－83. 答案：－8 3 8．若a ＝2，b ＞0，则 12 2 12 a b a a b ＋＋(a 12 －b 13 － )(a ＋a 12 b 13 － ＋b 23 － )的值为________． 解析：原式＝a 3 2 ＋b －1＋12a ?? ???3－13b ?? ??? －3＝a 32＋b －1＋a 32－b －1＝2a 32＝2×232＝4 2. 答案：4 2 9．计算下列各式： (1)(－x 13 y 13 －)(3x 12 － y 23)(－2x 16y 23 )； 课时跟踪检测（二十九） 等差数列及其前n 项和 (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144 D ．288 解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32 ＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2 ＝72. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( ) A ．20 B ．36 C ．24 D ．72 解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12， 得????? 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得????? a 1＝0， d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24. 3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1－a n ＝－23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－23 n .∵a k ·a k ＋1<0， ∴????473－23k ????453－23k <0，∴452 课时跟踪检测（三十九） 正切函数的性质与图象 A 级——学考合格性考试达标练 1．当x ∈????－π2，π2时，函数y ＝tan |x |的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D ．无法确定 解析：选B 函数y ＝tan |x |，x ∈????－ π2，π2是偶函数．其图象关于y 轴对称．故 选B. 2．函数y ＝ tan x ＋1的定义域为( ) A.? ???k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) B.? ???k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) C.? ???k π－π3，k π＋π2(k ∈Z ) D ．??? ?k π－π4，＋∞(k ∈Z ) 解析：选B 由题可得tan x ＋1≥0，即tan x ≥－1，解得x ∈? ???k π－π4，k π＋π2(k ∈Z )． 3．已知函数f (x )＝3tan ? ???ωx －π4的最小正周期为π2，则正数ω＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析：选C ∵ω>0，∴T ＝πω＝π2 ，∴ω＝2，故选C. 4．函数y ＝tan ????12 x －π3在一个周期内的图象是下图中的( ) 解析：选A 由函数周期T ＝π12 ＝2π，排除选项B 、D ． 将x ＝2π3代入函数式中，得tan ????12×2π3－π3＝tan 0＝0.故函数图象与x 轴的一个交点 为??? ?2π3，0.故选A. 5．与函数y ＝tan ??? ?2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2 B ．y ＝π2 C ．x ＝π8 D ．y ＝π8 解析：选C 令2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )．令k ＝0，得x ＝π8 . 6．函数y ＝tan ??? ?π4＋6x 的定义域为________． 解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24 (k ∈Z )． 答案：???? ??x ??x ≠k π6＋π24，k ∈Z 7．函数y ＝tan ??? ?2x ＋π4的单调递增区间是___________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2 ，k ∈Z ， 解得k π2－3π8 课时跟踪检测(二十四)化学反应速率 1.(2014·苏州模拟)下图所示为800 ℃时A、B、C三种气体在密闭 容器中反应时浓度的变化，只从图上分析不能得出的结论是() A．A是反应物 B．前2 min A的分解速率为0.1 mol·L－1·min－1 C．达平衡后，若升高温度，平衡向正反应方向移动 D．反应的方程式为：2A(g)2B(g) ＋C(g) 2．(2014·怀远联考)下列有关化学反应速率的说法中，正确的是() A．铁片与稀盐酸制取氢气时，加入NaNO3固体或Na2SO4固体都不影响生成氢气的速率 B．等质量的锌片分别与同体积、同物质的量浓度的盐酸、硫酸反应，反应速率不相等C．SO2的催化氧化是一个放热反应，所以升高温度，反应速率减慢 D．加入反应物，化学平衡常数增大，化学反应速率增大 3.把在空气中久置的铝片5.0 g投入盛有500 mL 0.5 mol·L－1硫酸溶液的 烧杯中，该铝片与硫酸反应产生氢气的速率v与反应时间t可用如图坐标曲 线来表示。 下列推论错误的是() A．0～a段不产生氢气是因为表面的氧化物隔离了铝和硫酸溶液 B．b～c段产生氢气的速率增加较快的主要原因之一是温度升高 C．t>c时产生氢气的速率降低主要是因为溶液中c(H＋)降低 D．t＝c时反应处于平衡状态 4．将4 mol A气体和2 mol B气体在2 L的容器中混合并在一定条件下发生如下反应：2A(g)＋B(g)2C(g)。若经2 s后测得C的浓度为0.6 mol·L－1，现有下列几种说法： ①用物质A表示的反应平均速率为0.3 mol·L－1·s－1 ②用物质B表示的反应平均速率为0.6 mol·L－1·s－1 ③2 s时物质A的转化率为70% ④2 s时物质B的浓度为0.7 mol·L－1。 其中正确的是() A．①③B．①④ C．②③D．③④ 5．(2014·福州模拟)在容积不变的密闭容器中存在如下反应2SO2(g)＋O2(g)催化剂 △ 2SO3(g)ΔH＜0，某研究小组研究了其他条件下不变时，改变某一条件对上述反应的影响，下列分析正确的是() 第1讲 等差数列及其前n 项和 一、填空题 1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N * )，且? ?????????a n ＋λ2n 为等差数列， 则λ的值是________． 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题 11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值； (2)设b n ＝S n n ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值． 2.2 等差数列的前n项和 第一课时等差数列前n项和公式及性质 【选题明细表】 基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31 解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A. 《等差数列的前n项和公式》教学设计 职业技术学校刘老师 大纲分析： 高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。 教材分析： 数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。 学生分析： 数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。 教学目标： 知识与技能目标： 掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。 过程与方法目标： 培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标： 体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点与难点： 等差数列前n项和公式是重点。 获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。 教学用具：ppt 整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段 探究发现阶段 公式应用阶段 问题呈现1： 首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道 这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100) 紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？ 据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时， 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： （1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。 问题呈现2： 图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 课时跟踪检测（二十四）对数函数的概念、图象及性质 A级——学考合格性考试达标练 1．(2019·衡水高一月考)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( ) A．(0，1) B．[0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C 由x2－x＞0，解得x＜0或x＞1，则定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C. 2．对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为( ) A．y＝log4x B．y＝log 4 1 x C．y＝log 1 2 x D．y＝log2x 解析：选D 设该函数为y＝log a x，由于对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝log a16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D. 3．函数y＝log a(x－2)(a＞0且a≠1)的图象恒过的定点是( ) A．(1，0) B．(2，0) C．(3，0) D．(4，0) 解析：选C 令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0)．4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( ) 解析：选C 由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lg x的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数) 5．若函数y＝f(x)是函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝( ) 1 2 A ．log 2x B ．12x C ． log 12x D ．2x －2 解析：选A 函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ， 又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x . 6．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝________． 解析：由对数函数的定义可知， ?????a 2 －4a －5＝0，a ＞0， a ≠1，解得a ＝5. 答案：5 7．已知函数f (x )＝3log 13 x 的定义域为[3，9]，则函数f (x )的值域是________． 解析：∵y ＝log 13 x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴当3≤x ≤9时，log 139≤log 13x ≤log 13 3， 即－2≤log 13 x ≤－1， ∴－6≤3log 13 x ≤－3， ∴函数f (x )的值域是[－6，－3]． 答案：[－6，－3] 8．已知m ，n ∈R ，函数f (x )＝m ＋log n x 的图象如图，则m ，n 的取值范围分别是________． ①m ＞0，0＜n ＜1 ②m ＜0，0＜n ＜1 等差数列的前n 项和·例题解析 一、等差数列前n 项和公式推导： （1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一） （2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二） 二、对于等差数列前n 项和公式的应用 【例1】 等差数列前10项的和为140，其中，项数为 奇数的各项的和为125，求其第6项． 解 依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ， 再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而 直接去求，所列方程组化简后可得 ＋ ＋ 相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和． 解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为《等差数列及其前n项和》(解析版)
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第2讲等差数列及其前n项和
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