复合函数求导方法和技巧

复合函数求导方法和技巧

毛涛

（陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西 汉中 723000）

指导老师：刘延军

[摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。

[关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用

1引言

复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。

2复合函数的定义

如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]

()y f g x =

叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算

定理1[1]

若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且： 000()()()f x u x v x '''=±

定理2[1]

若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =?在点0x 也可导，且： 00000()()()()()f x u x v x u x v x '''=?+?

推论1[1]

若函数()v x 在点0x 可导，c 为常数，则： 00(())()x x cv x cv x =''=

定理3[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 都可导，且0()0v x ≠，则()()()

u x f x v x =在点0x 也可导，且： []0000020()()()()

()()u x v x u x v x f x v x ''-'=

4复合函数求导方法和技巧

链式法则求复合函数的导数

定理4[1]

如果函数()u t ?=及()v t =ψ都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数(),()z f t t ?=[ψ]在对应点t 可导，且其导数可用下列公式计算：

dt z du z dv dz u dt v dt

δδδδ=?+?。 思路 根据公式00000()()()()(())()f x f u x f x x ????'''''==我们首先要清楚的分析出复合函数的复合关系，找出要求导的复合函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后再恰当的设置中间变量，把它分解成一些基本的初等函数的复合，最后由最外层开始，先使用法则，后使用导数基本公式，由表及里的一层一层地求导，注意不可忘记里层的求导。

例1

求复合函数()(In x f x =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：

()f x Inu =

u x =

（可以看出要求导的函数是由这两个函数复合而来，然后设置中间变量）

第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：

())(Inu f u x '=''

1()Inu u '== 1u '=+

（注意对u 也是一个复合函数， (1x ''=+

2

1)x '=+

1x =

1=+不可忘记里层的求导，要做到准确求导）

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

()f x '=

=

例2 求复合函数2cos In x y =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：

y Inu = 2u v = cos v x =

（可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设置恰当的中间变量）

第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：

()(2)(cos )y Inu v x ''''= 1()Inu u

'= (2)2v '= (cos )sin x x '=- （注意,,y u v 的表达式均是一元函数表达式）

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

()(2)(cos )y Inu v x ''''= 12sin x u =

??- 12sin 2x v

=??-

sin cos x x

-= tan x =-

例3 求复合函数()In In y Inx [=]的导函数。

解 （分析过程）

第一步，将这个复合函数“分解”成基本初等函数：

y Inu = u Inv = v Inx =

（可以看出要求导的函数是由这三个函数复合而来，设置恰当的中间变量）

第二步，再根据链式法则进行求导，并将中间变量代回原来的x 变量：

()()()y Inu Inv Inx ''''=??

1()Inu u '= 1()Inv v '= 1()Inx x

'= （注意,,y u v 的表达式均是一元函数表达式）

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

()()()y Inu Inv Inx ''''=?? 111u v x =

?? 111()In Inx Inx x

=?? 1()x Inx In Inx =

?? 注：链式法则求复合函数的导数是复合函数求导的一种基本方法，也是一种关键方法。在运用链式法则求导时，一定要先明确链式法则的适用条件，在适合运用链式法则求导的前提下，准确的设置中间变量，在分析所给的函数时，(),(),()y u u v v g x ?==ψ=等分解表达式必须为一元函数。在求导过程中，一定要记清每一步是谁对谁（即什么函数对哪个变量）求导数，对前变量（即函数）求导后，在后边应马上乘以一个前变量对后变量求导因子，不能漏掉链式法则中的任何一个环节，不能忘记对里层函数的求导。而在实际做题中，当我们已经熟练掌握链式法则后，并不一定要每一步都写出所求复合函数的中间变量，心中知道是怎么复合而来的就行，然后做到准确无误的求导。

对数求导法求复合函数的导数

对数求导法可以把乘积的函数转化成加减的函数，把函数的幂运算转化成函数的相乘运算，对于一些函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数，采用对数求导法来求导，这会简化我们的求导运算，因此对数求导法是复合函数求导的一种重要的，同时也是一种比较简便的方法。

思路 先对类型如()y f x =的复合函数两边同时取对数，然后对两边同时关于x 求导数，最后移项，移成()y y x ''=的形式，最终整理得出答案。

例4 求复合函数4)y x =

>的导函数。 解 （分析过程）

第一步，先对函数式两边取对数，得：

I y n = (1)(2)(3)(412

)In x In x In x In x -+--=--[-] 第二步，对上式两边同时对x 求导数，得：

111111()21234

y y x x x x '=+------ （切记不可写成1)(Iny y

'=

） 移项，得： 1111()21234

y y x x x x '=+------ 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

1111()1234y x x x x '=

+------ 例5 求复合函数sin ,(0)x y x

x =>的导函数。

解 （分析过程） 第一步，先对函数式两边取对数，得：

sin x In In y x =

sin x xIn =

第二步，对上式两边同时对x 求导数，得：

11sin cos I y x nx x x

y +'= 移项，得： (sin )cos x I y y x nx x

'+=

第三步，将分析求导后的数据整理得结果： sin (cos sin )x x Inx x

x x y +'= 例6 求复合函数123

1

52(5)(4),(4)(2)(4)x x y x x x +-=>++的导函数。

解 （分析过程）

第一步，先对函数式两边取对数，得：

1231

52(5)(4)

(2)(4)In x x n x y I x +-=++

11(5)(4)5(2)(4)232

In x In x In x In x ++--+-+= 第二步，对上式两边同时对x 求导数，得：

1215153(4)22(4)

y y x x x x '=+--+-++ 移项，得：

2151()53(4)22(4)

y y x x x x '=+--+-++ 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

123152(5)(4)

2151()53(4)22(4)

(2)(4)x x y x x x x x x +-'=+--+-++++ 注：对数求导法对一些幂指数函数，乘积形式函数这类复杂的复合函数的求导是很便捷的。在求解时先对函数式两边取对数，然后对此对数式两边同时对x 求导，但要注意在解题时，()0f x ≠时，1()()()f x f x f x In ''=，而不是1()()

Inf x f x '=；由于此类复合函数求导计算比较繁琐，所以在求导过程中要及时对所求导后的函数式进行化简，最后通过移项，整理得出结果，确保得到最简洁、准确的答案。

反序求导法求复合函数的导数

反序求导法是一种对复合函数从里到外依次求导的方法，它和链式求导法在求导时具有相似性，但本质又不同。反序求导法具有以下三个方面的优点：第一，求导次序和求复合函数值的次序一样，合乎习惯，有助于对此方法的掌握和运用；第二，从里到外的求导，避免了求导不彻底的错误；第三，

形式上便于书写。

思路 通常求由函数()y f u =，()u x ?=构成的复合函数()y f x ?=[]的导数时，是应用复合函数

求导法则：()()x u y f u x ?'''=?，从外到里求导；而反序求导法则是：()()x u y x f u ?'''=?，从里到外进行

求导。

例7 求复合函数2x y e

-=的导函数。

解 （分析过程）

第一步，设u y e = 2u x =-

（采用反序求导法则求导复合函数依然先要设置中间变量，将复合函数分解成初等函数） 第二步，根据反序求导法则：()()x u y x f u ?'''=?从里到外进行求导

2u '=- u y e '=

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

()u y u e '''=?

22x e

-=-

例8 求复合函数2sin 3y x =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，设sin y u = 23u x =

（设置中间变量，将复合函数分解为初等函数后采用反序求导法则从里到外进行求导） 第二步，根据反序求导法则：()()x u y x f u ?'''=?从里到外进行求导

6u x '= (sin )cos u u '=

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

(sin )y u u '''=?

26cos3x x =

例9 求复合函数23(sin )y x =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，设3y u = sin u v = 2

v x =

（先恰当的设置中间变量，然后将原复合函数分解成基本初等函数，最后采用反序求导法从里到外进行求导） 第二步，根据反序求导法则：()()x u y x f u ?'''=?进行求导

2v x '= cos u v '= 23u

y u '= 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

u

y v u y ''''=?? 22cos 3x v u =??

2222cos 3(sin )x x x =??

2226cos (sin )x x x =??

注：在对复合函数进行求导时，反序求导法与链式求导法的区别在于链式求导法对复合函数的求导是从外到内依次进行求导，而反序求导法对复合函数的求导则是从内到外依次进行求导，因此反序求导法相比较于链式法则的优点在于链式法则对复合函数从外到内进行求导时容易忽略对内部函数的求导，从而导致求导不彻底，而反序求导法在对复合函数进行求导时首先就对函数内部进行求导，因此出现求导不彻底的可能性非常小，甚至直接可以避免这种情况的发生，所以反序求导法则是复合函数求导中的一种非常重要的方法。

多元复合函数的一元求导法

多元复合函数的一元求导法是根据多元复合函数偏导数的概念，对自变量x 求偏导数，把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x 的一元函数，从而就可以利用一元函数求导法进行复合函数的求导，对一些复合函数求偏导可以起到既方便又准确的作用。

思路 将复合函数中除过要求导的自变量外其余自变量均看成常量，然后利用一元函数求导法依次进行求导。

例10 已知复合函数()ax z e u v =-，其中sin u a x y =+，cos v x y =-求

z x

??。 解 （分析过程））

第一步，先将其余自变量暂时看成常数： ()()ax ax z ae u v e u v x

?''=-+-? 第二步，然后利用一元函数求导法依次进行求导：

(sin )(cos )(cos sin )

ax ax ae a x y x y e a x x =+--++[]

(sin cos 2)cos sin ax ax ax ae a x x y ae x e x =-+++

2sin cos 2cos sin ax ax ax ax ax a e x ae x aye ae x e x =-+++

第三步，将分析求导后的数据整理得结果： 21)sin 2ax e a x ay =[(++]

例11 已知复合函数2()1ax e y z u a -=+，其中sin y a x =，cos z x =求du dx

。 解 （分析过程）

第一步，先将其余自变量暂时看成常数：

21()1

ax du e y z dx a '=-+[] 第二步，然后利用一元函数求导法进行求导：

21()(cos sin )1ax ax ae y z e a x x a =

-+++[] 221(sin cos cos sin )1ax ax ax ax a e x ae x ae x e x a =

-+++ 221(1)sin 1

ax a e x a =++ 第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

sin ax e x =

例12 已知复合函数sin ,,,u z e v u xy v x y ===+求

,z z x y

????。 解 （分析过程）

第一步，先将其余自变量暂时看成常数： z z u z v x u x y x

?????=?+?????? 第二步，然后利用一元函数求导法进行求导：

sin cos 1u u e v y e v =?+?

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

sin()cos()xy e y x y x y =[?+++]

第一步，先将其余自变量暂时看成常数：

z z u z v y u y v y

?????=?+?????? 第二步，然后利用一元函数求导法进行求导：

sin cos 1u u

e v x e v =?+?

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

sin()cos()xy e x x y x y =[?+++]

注：利用多元复合函数的一元求导法求导函数时对自变量求偏导，把其余自变量都暂时看成常量，从而要求导的函数就变成了一元函数，此时，便可以使用一元函数的所有求导公式和法则进行求导了，使用这种方法可以既快速又准确的对复合函数进行求导，但一定要看清要求导的自变量和把其余自变量要看成常数。

反函数求导法

定理5[1]

设()y f x =为()x y ?=的反函数，若()y ?在点0y 的某邻域内连续，严格单调且0()0y ?'≠，则()f x 在点0x 00(())x y ?=可导，且001()()

f x y ?'='。 思路 设可导函数()y f x =的反函数()x y ?=也可导，然后由()(())x y f x ??==两边对x 求导，从而得出所要求复合函数的导数。

例13 求函数arcsin y x =的导函数。

解 （分析过程）

第一步，由于arcsin y x =，(1,1)x ∈-是sin x y =，(,)22

y ππ∈-的反函数，故由公式001()()

f x y ?'='得到： sin(arcsin )x x =

第二步，两边同时对x 求导后变形得：

1(arcsin )(sin )x y '=

' 1cos y

=

=

第三步，将分析求导后的数据整理得结果：

(1,1)x =

∈-

例14 求函数arctan y x =的导函数。

解 （分析过程） 第一步，由于arctan y x =，x ∈R 是tan x y =，(,)22

y ππ∈-的反函数，因此由公式

001()()

f x y ?'='可以得出： tan(arctan )x x =

第二步，两边同时对x 求导后变形得：

1(arctan )(tan )x y '=

' 21sec y

= 211tan y =

+ 第三步，将分析求导后的数据整理得结果： 2

1,(,)1x x =∈-∞+∞+ 注：反函数求导方法是复合函数求导中一种重要的方法，熟练的写出原函数的反函数是求导的关键，此外，在求导过程中要记得是同时对两边进行求导，不可以一边求导而另外一边照写。在解题时熟练掌握各种公式的变形也是正确解题的一个关键点。

5小结

在对复合函数进行求导时，首先必须熟练掌握函数的运算顺序，其次在于弄清楚复合函数的结构。在用链式法则求导复合函数时，首先应将其分解成若干简单函数，复合函数分解的彻底与否是复合函数求导正确与否的关键所在，所以在分解复合函数时，要做到不漏不重，明确复合次数，应注意分清哪个是外层函数，哪个是里层函数，如果这一步发生错误，那么后一步求导肯定是错误的。求导时应先对外层函数进行求导，再对里层函数进行求导，按法则详细写出求导过程，并应注意及时化简计算结果，不能遗漏求导环节。做题时，要会引进中间变量，将复合函数正确分解是复合函数求导的关键，这需要通过一定数量的练习才可掌握。当熟练掌握复合函数的分解后，可以不必把中间变量写出来，按照复合函数的求导法则，由外向里，逐层求导即可。在用对数求导法求导复合函数时，首先要对函数两边同时取对数，以此来方便求导。在用反序求导法进行复合函数求导时，首先也要对复合函数进行分解，但是注意是从内到外进行求导，该方法避免了求导不彻底的错误，而且方便于书写。多元复合函数的一元求导法主要是对复合函数求偏导，注意要把要求自变量之外的其余自变量都暂时看成常数，使用这种方法对一些复合函数求偏导可以起到既方便又准确的作用。在实际求导过程中，有时将

复合函数进行变形也可以起到方便求导的作用，如：

复合函数y =1

221()1y x =+，

12

()y u =；复合函数1sin 3cos 3sin 2y x x x x =变形为1sin(4)sin(2)233

y x x ππ=++-[]，再进行求导就方便很多了。所以在求导时要根据具体情况对复合函数进行具体分析，要有明确的思路，灵活选用恰当的求导方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，进行准确无误的求导。

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Composite function derivation methods and techniques

Mao tao

（Grade11, Class1, Major Mathematics and applied mathematics, Mathematics Dept., Shaanxi

University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi ）

Tutor: Liu Yanjun

Abstract:Composite function derivation is a difficulty in mathematical analysis, is also an important and difficult in differential and integral calculus, so this article, from the perspective of the definition and properties of the compound function first, after a comprehensive understanding of compound function then discuss the derivation method of composite function, analysis of the composite function derivation process prone to problems, and then seek can fast accurate to derivation method of composite function, and to sum up, finally, help students to effective learning. Keywords:Composite function, definition, decomposition, methods and skills, mathematical application.