《平面解析几何》-8精品练习

第8章 第8节

一、选择题

1．若M 、N 为两个定点且|MN|＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

[答案] A

[解析] 以MN 的中点为原点，直线MN 为x 轴建立直角坐标系．并设M(－3,0)，N(3,0)，P(x ，y)， 则PM →·PN →＝(－3－x ，－y)·(3－x ，－y)

＝(x2－9)＋y2＝0，即x2＋y2＝9.

2．(2010·浙江台州)在一张矩形纸片上，画有一个圆(圆心为O)和一个定点F(F 在圆外)．在圆上任取一点M ，将纸片折叠使点M 与点F 重合，得到折痕CD.设直线CD 与直线OM 交于点P ，则点P 的轨迹为( )

A ．双曲线

B ．椭圆

C ．圆

D ．抛物线 [答案] A

[解析] 由OP 交⊙O 于M 可知|PO|－|PF|＝|PO|－|PM|＝|OM|<|OF|(F 在圆外)，∴P 点的轨迹为双曲线，故选A.

3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|PA|＝2|PB|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π [答案] B

[解析] 设P(x ，y)，由知有：(x ＋2)2＋y2＝4[(x －1)2＋y2]，整理得x2－4x ＋y2＝0，配方得(x －2)2＋y2＝4，可知圆的面积为4π.

4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点A 到F1的距离是23，线段AF2的垂直平分线交A F1于点P ，则点P 的轨迹方程是( )

A.x29＋y24

＝1 B.x212＋y28＝1 C.x23＋y22

＝1 D.x212＋y210＝1 [答案] C

[解析] 依题意得，|PA|＝|PF2|，

又|PA|＋|PF1|＝|AF1|＝23，

故|PF1|＋|PF2|＝23，点P 的轨迹为椭圆，

方程为x23＋y22

＝1. 5．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是( )

A ．一条直线

B ．一个圆

C ．一个椭圆

D ．双曲线的一支

[答案] A

[解析] 过定点A 且与AB 垂直的直线l 都在过定点A 且与AB 垂直的平面β内，直线l 与α的交点C 也是平面α、β的公共点．点C 的轨迹是平面α、β的交线．

6．已知log2x 、log2y 、2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x ，y)的轨迹为( )

[答案] A

[解析] 由log2x ，log2y,2成等差数列得

2log2y ＝log2x ＋2 ∴y2＝4x(x>0，y>0)，故选A.

7．过椭圆x29＋y24

＝1内一点R(1,0)作动弦MN ，则弦MN 中点P 的轨迹是( ) A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

[答案] B

[解析] 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x ，y)，则4x12＋9y12＝36,4x22＋9y22＝36，

相减得4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

将x1＋x2＝2x ，y1＋y2＝2y ，y1－y2x1－x2＝y x －1

代入可知轨迹为椭圆． 8．如图，正方体ABCD －A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD1，则动点P 的轨迹是( )

A ．线段B1C

B ．线段BC1

C ．BB1中点与CC1中点连成的线段

D ．BC 中点与B1C1中点连成的线段

[答案] A

[解析] 设P1、P2为P 的轨迹上两点，则AP1⊥BD1，AP2⊥BD1.∵AP1∩AP2＝A ，

∴直线AP1与AP2确定一个平面α，与面BCC1B1交于直线P1P2，且知BD1⊥平面α，

∴P1P2⊥BD1，

又∵BD1在平面BCC1B1内的射影为BC1，∴P1P2⊥BC1，而在面BCC1B1内只有B1C 与BC1垂直，∴P 点的轨迹为B1C.

9．设x1、x2∈R ，常数a>0，定义运算“*”，x1]x*a))的轨迹是( )

A ．圆

B ．椭圆的一部分

C ．双曲线的一部分

D ．抛物线的一部分 [答案] D

[解析] ∵x1]x*a)＝x ＋a 2－x －a 2＝2ax ，

则P(x,2ax)．

设P(x1，y1)，即???

x1＝x y1＝2ax ，消去x 得，

y12＝4ax1(x1≥0，y1≥0)，

故点P 的轨迹为抛物线的一部分．故选D.

10．(2011·广东佛山、山东诸城)如图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是( )

A ．a1－c1＝a2－c2

B ．a1＋c1>a2＋c2

C ．a1c2>a2c1

D ．a1c2

[答案] C

[解析] 设椭圆Ⅰ和Ⅱ的中心分别为O1，O2，公共左顶点为A ，如图，则a1－c1＝|AO1|－|FO1|＝|AF|，

a2－c2＝|AO2|－|FO2|＝|AF|，故A 对；又a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故B 对；由图知e1>e2，即c1a1>c2a2

，∴a1c2

二、填空题

11．F1、F2为椭圆x24＋y23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．

[答案] x2＋y2＝4

[解析] 延长F1D 与F2A 交于B ，连结DO ，可知|DO|＝12|F2B|＝12

(|AF1|＋|AF2|)＝2，∴动点D 的轨迹方程为x2＋y2＝4.

12．(2010·哈师大附中)已知曲线C1的方程为x2－y28

＝1(x≥0，y≥0)，圆C2的方程为(x －3)2＋y2＝1，斜率为k(k>0)的直线l 与圆C2相切，切点为A ，直线l 与双曲线C1相交于点B ，|AB|＝3，则直线AB 的斜率为________．

[答案] 33

[解析] 设B(a ，b)，则由题意可得

????? a2－b28＝1a －3 2＋b2＝3＋1，解得?????

a ＝1

b ＝0，

则直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，故

|3k －k|1＋k2＝1，

∴k ＝33，或k ＝－33(舍去)． 13．(2010·浙江杭州质检)已知A ，B 是圆O ：x2＋y2＝16上两点，且|AB|＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C(1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．

[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9(位于圆x2＋y2＝16内的)

[解析] ∵以AB 为直径的圆过点C ，∴AC ⊥BC ， ∵M 是AB 中点，∴|CM|＝12

|AB|＝3，

故点M 在以C(1，－1)为圆心，3为半径的圆上，方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，∵M 为弦AB 的中点，∴M 在⊙O 内，故点M 轨迹为圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9位于圆x2＋y2＝16内的部分．

14．(2010·青岛一中)如图，两条过原点O 的直线l1，l2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，且线段PQ 的长度为2.则动点M(x1，x2)的轨迹C 的方程为________．

[答案] x23

＋y2＝1 [解析] 由已知得直线l1⊥l2，

l1：y ＝33

x ，l2：y ＝－3x ， ∵点P(x1，y1)在直线l1上运动，点Q(x2，y2)在直线l2上运动，∴y1＝

33x1，y2＝－3x2， 由|PQ|＝2得，(x12＋y12)＋(x22＋y22)＝4，

即43x12＋4x22＝4?x123

＋x22＝1，

∴动点M(x1，x2)的轨迹C 的方程为x23

＋y2＝1. 三、解答题

15．(2010·广州市质检)已知动点P 到定点F(2，0)的距离与点P 到定直线l ：x ＝22的距离之比为

22

. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)设M 、N 是直线l 上的两个点，点E 与点F 关于原点O 对称，若EM →·FN →＝0，求|MN|的最小值．

[解析] (1)设点P(x ，y)， 依题意有，x －22＋y2|x －22|＝22， 整理得x24＋y22

＝1， 所以动点P 的轨迹C 的方程为x24＋y22＝1. (2)∵点E 与点F 关于原点O 对称，

∴点E 的坐标为(－2，0)．

∵M 、N 是直线l 上的两个点，

∴可设M(22，y1)，N(22，y2)(不妨设y1>y2)．

∵EM →·FN →＝0，

∴(32，y1)·(2，y2)＝0，

∴6＋y1y2＝0，即y2＝－6y1

. 由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.

∴|MN|＝y1－y2＝y1＋6y1≥2y1·6y1

＝2 6. 当且仅当y1＝6，y2＝－6时，等号成立．

故|MN|的最小值为2 6. [点评] 直译法是求轨迹的基本方法，对于符合圆锥曲线定义的轨迹问题，也常用定义法求解，请再做下题：

(2010·陕西宝鸡市质检)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为33

，直线l ：y ＝x ＋2与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P ，线段PF2的垂直平分线交l2于点M ，求点M 的轨迹C2的方程；

(3)若AC 、BD 为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD 的面积的最小值．

[解析] (1)∵e ＝

33，∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝13

， ∴2a2＝3b2.

∵直线l ：x －y ＋2＝0与圆x2＋y2＝b2相切，

∴b ＝2，b2＝2，∴a2＝3.

∴椭圆C1的方程是x23＋y22

＝1. (2)∵|MP|＝|MF2|，∴动点M 到定直线l1：x ＝－1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离，

∴动点M 的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线．

∴点M 的轨迹C2的方程为y2＝4x.

(3)当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，A(x1，y1)，C(x2，y2)，则直线AC 的方程为y ＝k(x －1)． 联立x23＋y22＝1及y ＝k(x －1)得，(2＋3k2)x2－6k2x ＋3k2－6＝0，所以x1＋x2＝6k22＋3k2，x1x2＝3k2－62＋3k2

. |AC|＝1＋k2 x 1－x2 2

＝1＋k2 [x 1＋x2 2－4x1x2]＝48k 2＋1 2＋3k2. 由于直线BD 的斜率为－1k ，用－1k 代换上式中的k 可得|BD|＝481＋k2 2k2＋3

. 因为AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC|·|BD|＝24 1＋k2 22＋3k2 2k2＋3 ， 由于(2＋3k2)(2k2＋3)≤[2＋3k2 ＋2k2＋3 2]2＝[5 k 2＋1 2]2，所以S≥9625

，当2＋3k2＝2k2＋3，即k ＝±1时取等号．

易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积S ＝4.

综上可得，四边形ABCD 面积的最小值为9625

. 16．(2010·浙江金华十校联考)已知过点A(－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x2＝2py(p>0)相交于B 、C 两点．当

直线l 的斜率是12

时，AC →＝4AB →. (1)求抛物线G 的方程；

(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．

[解析] (1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12

(x ＋4)，即x ＝2y －4. 由?????

x2＝2py x ＝2y －4得2y2－(8＋p)y ＋8＝0，

∴????? y1y2＝4 ①y1＋y2＝8＋p 2 ②

， 又∵AC →＝4AB →，∴y2＝4y1③

由①，②，③及p>0得：y1＝1，y2＝4，p ＝2，

则抛物线G 的方程为：x2＝4y.

(2)设l ：y ＝k(x ＋4)，BC 的中点坐标为(x0，y0)，

由?????

x2＝4y y ＝k x ＋4 得x2－4kx －16k ＝0④ ∴x0＝xC ＋xB 2

＝2k ，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k2－4k ＝－1k

(x －2k)， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为：b ＝2k2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程④，由Δ＝16k2＋64k>0得：k>0或k<－4.

∴b ∈(2，＋∞)．

[点评] 解析几何与向量，导数结合是可能的新命题方向，其本质仍是解析几何问题，请再练习下题： (2010·湖南师大附中)如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴的负半轴上，过点M(0，－2)作直线

l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．

(1)求直线l 和抛物线的方程；

(2)当抛物线上动点P 在点A 和B 之间运动时，求△ABP 面积的最大值．

[解析] (1)据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2，

抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．

联立?????

y ＝kx －2x2＝－2py 得，x2＋2pkx －4p ＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

x1＋x2＝－2pk ，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.

所以OA →＋OB →＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2pk ，－2pk2－4)．

因为OA →＋OB →＝(－4，－12)，

所以????? －2pk ＝－4－2pk2－4＝－12，解得?????

p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线的方程为x2＝－2y.

(2)根据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大．

设点P(x0，y0)，因为y′＝－x ，则－x0＝2，解得x0＝－2，

又y0＝－12

x02＝－2，所以P(－2，－2)． 此时，点P 到直线l 的距离

d ＝|2× －2 －－2 －2|22＋－1 2

＝455. 由?????

y ＝2x －2x2＝－2y ，得x2＋4x －4＝0.则x1＋x2＝－4，x1·x2＝－4， 所以|AB|＝1＋k2·x 1＋x2 2－4x1·x2 ＝1＋22·－4 2－4 －4 ＝410.

故△ABP 面积的最大值为12|AB|·d ＝12×410×455

＝8 2. 17．(2010·辽宁省实验中学)如图，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝90°，|EF →|＝2，|EF →＋ED →|＝52，椭圆C ：x2a2＋y2b2

＝1以E 、F 为焦点且过点D ，点O 为坐标原点．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若点K 满足OK →＝13

ED →，问是否存在不平行于EF 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N 且|MK →|＝|NK →|，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围，若不存在，说明理由． [解析] (1)由已知E(－1,0)，F(1,0)，设椭圆方程为x2a2＋y2b2

＝1(a>b>0)， 令xD ＝－c 可得yD ＝b2a

， ∵|EF →＋ED →|＝52，EF →⊥ED →，|EF →|＝2，∴|ED →|＝32

.

∴????? c ＝1b2a ＝32，解得???

a ＝2

b ＝3 ∴椭圆C 的方程是x24＋y23

＝1. (2)∵OK →＝13

ED →，∴K ????0，12，当l ⊥EF 时，不符合题意， 故可设直线l 的方程为：y ＝kx ＋m(k≠0)

由????? y ＝kx ＋m x24＋y23

＝1消去y 得， (3＋4k2)x2＋8kmx ＋4m2－12＝0

∵M 、N 存在，∴Δ>0

即64k2m2－4(3＋4k2)·(4m2－12)>0，

∴4k2＋3>m2(※)

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点H(x0，y0) ∴x0＝x1＋x22＝－4km 3＋4k2， y0＝kx0＋m ＝3m 3＋4k2

， ∵|MK →|＝|NK →|，∴|MK|＝|NK|，

|MK|＝|NK|?MN ⊥KH ?y0－12x0＝－1k ?3m 3＋4k2－12－4km 3＋4k2

＝－1k ?m ＝－3＋4k22 代入(※)式得4k2＋3>?

???－3＋4k22 2 ∴4k2＋3<4，

又k≠0，∴－12

且k≠0 ∴l 的斜率的取值范围是????－12，0∪????0，12.