数学建模-数码相机(高一)

数码相机定位的几何方法

摘要

本文在数码相机定位问题中，首先建立起4个空间坐标系，并给出它们之间的影射关系，把空间中的三维世界坐标通过平面投影成像过程转换为二维坐标。

对于第一问，根据观测到的靶标的像C B A ''',,三点的中心在同一直线上，利用旋转变换和平移变换以及仿射变换，建立由世界坐标系到像平面坐标系的影射关系。利用坐标变换，根据已知参考坐标系坐标和图像坐标系坐标的控制点来确定相机的光学和几何参数以及相机相对坐标系的位置和方向变换，得出由物平面到像平面的函数关系式。

对于第二问，由给出的靶标及其像，通过刻度尺量出靶标的像的坐标，利用分辨率和测量值计算出像平面大小的比例系数k ，利用第一问的表达式算出靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标。

第三问中为了纠正相机拍摄的几何畸变，本文采用仿射变换来检验模型的准确度。建立了平面直角坐标变换下的仿射变换，即两直角坐标系w w Y X -和u -v 坐标系，利用不在同一直线上的E C A E C A ''',,,,,六点坐标代入建立的仿射变换方程组中，就可得到各点在u -v 坐标系中的预测值，通过与观测值的对比计算中，即可对所建立的模型进行精度和稳定性的讨论。

第四问中，给出了两种求解方法。方法一是假定两部相机是平行于物平面放置，经过空间坐标转化，根据几何比例关系得出结论。方法二则建立空间三维直角坐标系，给出“正像平面”的法向量和“反像平面”的平面向量，且不考虑镜头点的位置改变，从对称及非对称两不同方法分别考虑两相机的相对位置，对任取靶标的像的两点及其正像平面的中心点，分别求得正像平面与直线的交点，利用相似三角形性质、交点坐标、像距从而来确定出两部固定相机的相对位置。两方法都利用了数形结合，比较清晰的给出表达式。

关键词：相机标定 世界坐标系 小孔成像 仿射变换

一、问题的提出

1、背景

随着计算机硬件、软件、图像采集、处理技术的迅速发展，计算机视觉的理论和技术已被广泛地应用于医学图像处理、机器人技术、文字识别、工业检测、军事侦察、地理勘察和现场测量等。计算机视觉在多种测量中的应用是一种定量分析系统，有确定的精度要求。一般用于现场不可到达、现场复杂不便直接测量、保留现场状态以便复测、补测和事后重构现场等场合。通常人们把摄像机和胶片相机作为获取原始图像的主要设备，但随着数码相机的出现和发展，在许多场合人们已逐渐采用数码相机作为主要的图像采集设备。由于数码相机具有很多优点，比如可以根据测量的需要选择不同的像素大小、可直接与计算机进行通讯、可选定多种焦距进行定焦距拍摄等，这些特点给图像采集和图像处理带来了许多方便之处。因此，照相测量也就成为近年来发展起来的一种可用于交通事故勘察与信息采集等方面的智能化技术。在照相测量技术里，相机标定是最基本的任务。因此利用物体在相机像平面的位置求出物体在现实世界中的具体相对位置，其实质就是建立像平面与物平面之间的对应关系，这是我们研究与讨论的重点。

2、问题的重述

数码相机定位在交通监管(电子警察)等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机拍摄物体的相片来确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。本文将对相机拍摄时的相对位置进行确定性的解决及讨论。

对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆(称为靶标)，它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点(对应为A，C，D，E)为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，就是靶标示意图。用一位置固定的数码相机摄得其像，就是靶标的像。

就上述所述：

(1)建立数学模型以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；

(2)对由图1、图2分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，该相机的像距(即光学中心到像平面的距离)是1577个像素单位(1毫米约为3。78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；

(3)设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

图1 靶标示意图 图2 靶标的像

二、模型的假设

1.假设相机的内部结构正常，尤其是镜片不会出现故障。

2.拍摄时由于物体与相机的距离很远，因此由于倾斜产生的小角度所产生的误差可忽略不计。

3.由于测量误差是难免的，因此假设我们在利用图2进行测量时误差是允许的。

4.假设采用的是定焦数码相机，即相机的焦距是一定的。

三、模型的分析及建立

[问题一]

相机定位的目的是确定相机的图像坐标系与物体空间中的三维参考坐标系之间的对应关系。为此需要知道相机的内部参数(即光学和几何参数),及相机的相对外部参数(即外部参考坐标系的位置和方向)。数码相机图像拍摄实际上是一个光学成像过程，它涉及四个坐标系，这四个坐标系[1]分别是：

(1)世界坐标系——根据自然环境所选的坐标系，原点为W ,坐标值用),,(w w w Z Y X 表示。

(2)图像坐标系——坐标原点在像平面的中心，X 轴，Y 轴分别为平行于图像平面的两条垂直边，原点为O ,坐标值用),(y x 表示，是一个平面坐标系。

(3)像素坐标系——坐标原点在图像平面的左上角，X 轴，Y 轴分别平行于图像坐标系的X 轴和Y 轴，原点为'O ,坐标值用()v u ,来表示，是一个平面坐标系。

(4)光心坐标系——以相机的光心为坐标原点，X 轴，Y 轴分别平行于图像坐标系的X 轴和Y 轴，相机的光轴为Z 轴，原点为C ,坐标值用()c c c Z Y X ,,表示。

这四个坐标系的空间位置关系如图3所示

由这四个空间坐标系分别将世界坐标系中的信息转换到图像坐标系，最后由图像坐标系转换到像素坐标系。光学成像的理论模型是针孔模型，根据这个模型由光心坐标系向图像坐标系转换过程符合中心影射或透视影射，可用齐次坐标与矩阵表示

?????

?????????????????=??????????100010000001c c c C Z Y X h h y x Z (1) 其中，()c c c Z Y X ,,是光心坐标系中一空间点P 的坐标，()y x ,是P 点在对应图像坐标系中的坐标，h 是拍摄相机的像距。

由世界坐标系到光心坐标系的转换关系为

?????

?????????????=????????????111W W W T C C C Z Y X O T R Z Y X (2) 其中，R 为旋转矩阵，T 为位移向量，T O 是元素为0的列向量。

由图像坐标系到像素坐标系的转换关系是

??????

???????????

???????????=??????????11001001100y x v y u x v u (3) 其中，()00,v u 是图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标，y x ??,分别是像素坐标系

在X 方向和Y 方向相邻像素间的距离。

由以上三式，整理化简可得

?????????????????????????

???????????=??????????11010000001100w w w T C Z Y X O T R v y h u x h Z v u (4) 以上是针对针孔模型下的成像系统的基本标定原理来进行求解的。

其中C Z 及y x ??,可以由以下方法给出[2]。

(ⅰ)确定C

Z 1 C Z 可由物平面上的点与光心的连线在光轴方向的投影得到。

(ⅱ)确定()00,v u

图像坐标系原点在像素坐标系中的坐标()00,v u 是相机光轴与像平面的交点。 (ⅲ)相邻像素点的距离y x ??,的确定

对于给定的靶标，它经过针孔成像，其影射在像平面的图像形状与大小会发生变化，我们称这种变化为图像的失真。现在，就是要确定这种图像失真的程度，利用所提供的图1与图2中靶标的四条边所在的空间位置与尺寸变化，建立起一一对应的关系，求出较精确的值。以下就是具体的求解方法。

由题给的正方形ACDE ，边长为a 。设s 为物平面到像平面的距离，在忽略小误差的情况下，可视为h l s +=。则当h 一定时，有

h s ha x -=1 h

s ha y -=1 (5) 又由靶标图，可测得正方形成像后的四个圆A, C, D, E 的坐标分别是()()()()),(,,,,,,,,5544332211v u v u v u v u v u ，则

()()()()()()()()????

?????-+-=-+-=-+-=-+-=232232424124132

4324322

212211

v v u u s v v u u s v v u u s v v u u s (6) 其中4321,,,s s s s 是正方形的像的四条边的边长，取其中边长最大的两个，不妨令21,s s 是四条边中最大的两条，那么就有

2112s s x x +=? 4

312s s y y +=? (7) 由(5)、(7)式，可得

()()()???

????-+=?-+=?h s s s ha y h s s s ha x 43212)(2 (8) (ⅳ)旋转矩阵R 及位移向量T 的确定

假设目标图形围绕原点顺时针旋转，分别围绕X 轴,Y 轴,Z 轴旋转角度ψ?θ,,，因此

总的转换矩阵可以表示成绕单个坐标轴旋转时的转换矩阵的乘积

????

??????-??????????-??????????-=ψψψψ????θθθθcos 0sin 010sin 0cos 1000cos sin 0sin cos cos sin 0sin cos 0001R 将以上数据及等式代入?????????????????????????

???????????=??????????11010000001100w w w T C Z Y X O T R v y h u x h Z v u 中，即可得出靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。

[问题二]

因为相机分辨率为1024×768(1毫米约为3.78个像素单位)，即可得到像平面的大小为()()mm mm 78

.376878.31024?，即()()mm mm 17.20390.270?，利用厘米刻度尺可量得靶标大小为()()cm cm 39.789.9?，因为3333.17681024=，3383.139

.789.9=，在忽略误差的情况下可近似两者相等，因此可得像平面大小的比例系数4926.2739

.717.203==k 。 如图4，设点O 为相机的光学中心，圆A 半径为r ，其像'A 半径为r '，光学中心到

像平面距离为h ，光学中心到物平面距离为l ，可令C

Z 1为缩小因子，由题意()mm h 20.41778.31577==据此可知)(20.41778

.31577mm l =='，()mm r 12=，()mm r 26.94926.2735.0=?=' 利用几何关系h l r r ='可得 ()mm r

rh l 28.520='= 图像坐标系以1A 为原点，相机坐标系的原点'A 在相机的光轴上。用厘米刻度尺可

量得各圆在图像坐标系中的坐标(单位：厘米)

()0,0A '，()06.0,95.0B '，()21.0,03.3C '，()97.2,37.0-'D ，()95.2,95.2E ' 由以上分析可知缩小因子03.01='=kr

r Z C 旋转矩阵R 中()ψ?θ,,的确定可由空间坐标图上的锥形图确定，分别建立靶标及靶标的像的空间坐标系，各自以点A A ',为原点，分别连接两图象的对角点，相交得交点F F ',。依据建立的坐标系可得()()0,50,50,0,0,0F A ，则可求得)(250mm AF =。又通过对靶标的像的测量得()mm F A 73.5749.271.2=?=''，则可得82.0cos =''=

AF F A θ，

即可得r '

r

图4

609.082.0arccos ==θ。

类此求法可求得609.0=θ，5.1=?，609.0=ψ。

由第一问给出的世界坐标与像素坐标的关系，知在给定世界坐标系中任意一点的坐标，代入(4)式即可求出此点在像素平面坐标系中的具体坐标。

在题中已经给出A ，B ，C ，D ，E 这五个圆心在靶标即世界坐标系中的坐标，分别是()0,0,0A ，()0,0,30B ，()0,0,100C ，()0,100,100D ，()0,100,0E 。

又知在第一问中已经给出旋转矩阵R 及位移向量T 等一些待求未知数的确定方法，因此就可以将A ，B ，C ，D ，E 的值直接代入式(4)中求解，即得E D C B A ,,,,在像平面的坐标E D C B A ''''',,,,。再把E D B A '''',,,的坐标代入(6)式中，可得

()mm k s 57.8304.31==，()mm k s 27.9132.32==，()mm k s 63.11417.43==，()mm k s 41.12038.44==(其中k 为比例系数)

显然其中最大的边是43,s s ，就是边AE 与CD 。

又知()mm h l s 48.93720.41728.520=+=+=，据此又可求得y

h x h y x ????,,,。 ()()()()()()()()()???

????=-+??=-+=?=-+??=-+=?mm h s s s ha y mm h s s s ha x 68.020.41748.93741.12063.11410020.4172292.020.41748.93727.9157.8310020.4172)(24321 ???????==?==?53.61368.020.41748.45392.020.417y

h x h 利用（4）式可得靶标上圆A ，B ，C ，D ，E 的圆心在像平面上的像坐标为

()0,0A '，()65.1,12.26B '，()77.5,30.83C '，()10.81,10.81D '，()62.81,17.10E '

四、模型的评价

相机的定位方法中大多需要对靶标的像进行准确测量，而本文根据一组已知其参考坐标系坐标和图像坐标系坐标的控制点来确定相机的内部和外部参数，获得可靠的相机标定参数。而后在对靶标的像的测量中，由于测量误差是必不可避免的，因此在对模型的检验中利用仿射变换方程对模型的精度和准确度进行了讨论。最后从对称及非对称两不同方法分别给出两相机的相对位置，数形结合，比较清晰的给出表达式。本论文基本上解决了相机标定问题，并且给出了相机标定问题的一般表达式，可移植性强。

五、模型的推广

本论文在相机标定问题上对靶标的像进行了模型的建立，并且给出了相机标定问题的一般表达式，可推广到平面、空间坐标中，在交通管制、飞机监控等问题上均可运用，只需知道靶标的像即可求解物体的具体位置，也可通过靶标来确定不同相机的相对位置，给监控、勘察等方面提供了有效的定位方法。

参考文献：

[1]李立东，单目视图下相机标定和平面测距研究，河北科技大学学报，1008-1542(2005)01-0047-04：47，2005。

[2]姜大志，数码相机标定方法研究，南京航空航天大学学报，1005-2615(2001)01-0055-05：55，2001。

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[4] 冯文灏，近景摄影测量，武汉：武汉大学出版社，2004。

[5] 李德仁，解析摄影测量学，北京：测绘出版社，1992。

[6] 小西荣一等，线性代数、向量分析，辽宁：辽宁人民出版社，1980。