第二十九届“五羊杯”初中数学竞赛

1.45

【解析】

如图，连接AF 、BD 交于点O ，AF 与DE 交于点G ，EF 与BD 交于点H .

将△AEG 、四边形EHOG 、△EBH 、△GOD 、△HOF 、△DOF 的面积分别记为①、②、③、④、⑤、⑥。 由AD //BD ，可得①+②+③=⑥， 又∵AEF S ?=①+②+⑤，BDE S ?=②+③+④，

DEF S ?=②+④+⑤+⑥，AE ：EB =5：3，

∴53

=88

DEF AEF BDE ABF ABD S S S S S ?????=++

∵AD //BC ，BF ：FC =3：2。

∴3

==5

ABF DBF DBC S S S ???

又∵梯形ABCD 的面积为120，

∴35333

()4558888

DEF DBC ABD DBC ABD ABCD S S S S S S ?????=?+=+==梯形.

2.28

【解析】

含有“*”的正方形中可能含有1、4、9、16、25、36个小正方形，对应地分别有1、4、9、9、4、1种情况，故共有1+4+9+9+4+1=28个符合条件的正方形。 3.5

5

2-

【解析】

x =231a x =+，

28

33

a x +∴

=+

1111x =

=+-=

同理：1=而()()()()()222222

2222222222222222a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a b a b a b ++==??+--??+-++- ????-+????-+

∵()2

222216,a b ab a b ==-=

∴原式

5=-。 4.3≤a

【解析】方法1：原不等式可化为： 3212x a x x -≥+-+，分类讨论如下：

当202x x +≤≤-即，不等式可化为333x a x -≥+，而3323320x +≤-?+=-<，故不等式恒成立；

当21x -<≤时，不等式可化为31x a x -≥-，而10x -≤，故不等式恒成立； 当1x >时，不等式可化为31x a x -≥-，

若

133a a ≥≥即时，取3

a

x =，则不等式化为010x ≥->，不等式无解，不符合题意；

若133a a <<即时，不等式可化为31x a x -≥-，即1

2a x -≥，此时1x >，故

1

12

a -≥，解得3a ≤。 综上，a 的取值范围是3a ≤。 方法二：原不等式可化为： 3212x a x x -≥+-+，

设函数1212y x x =+-+，函数23y x a

=-

作出1212y x x =+-+的函数图像，它与x 轴交于点P （1,0），函数23y x a =-的

函数图像与x 轴交于点,03a ?? ???

，且可由函数3y x =左右平移可得，故由图像可得，

当

133

a

a ≤≤即时，21y y ≥恒成立。 综上，a 的取值范围是3a ≤。 5.)1,1(与)5,5

5(

3

3

【解析】由（2）可得0,0x y >>，且2

2

1x y y

-=

=，代入（1）可得()

2

2

21

22

y y y

y y y ---+-+-=，即2

2

422

2

y

y y

y y y ---+-+-=。

当y =1时，x =1，易知是原方程组的解；

当1y ≠时，则有224222y y y y ---+-=+-，即25y y -=，35y =，

故y =代回（2

）可得23

5

x -==

。 故原方程组的解为（1,1

）。 6.2

【解析】不妨设x y ≥，则

11x y ≤，则}111min ,,min ,M x y x y x y

x ???

=+=+?????? （1）若

1x y x ≤+，则11

min ,M x y x x

??=+=???? 由1

,0x y x x y x y ?≤+??≥??>?

?

可得10x x x x ?≤+???>?

，则10x <≤

当x y ==

时等号成立，故max M =； （2）（1）若

1x y x >+，则1min ,M x y x y x ??

=+=+????

由1

,0

x y x x y x y ?>+??≥??>?

?

可得1120x y y y x y ?≥>+≥???>?

，则y <

而由1x y x >+可得：2

11x xy +-<

，即x <

∴x y +<

<

即max M <

综上所述：max M ；

7. 解：（1）当点O '与点A 重合时， ∵∠AOB =600，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O 'B '，AP'=OP' ∴△AOP'是等边三角形， ∵B （2，0）， ∴BO =BP'=2，

∴点P 的坐标是（4，0）。 （2）∵∠AOB =600，∠P'MO =900， ∴∠MP'O =300， ∴OM =

1

2

t ，OO'=|t|， 过O '作O 'N ⊥x 轴于N ，∠OO'N =300， ∴ON =

1

2

t ，NO'

=， ∴O '（

1

2

t

，）， 根据对称性可知点P 在直线O 'B '上，设直线O 'B '的解析式是y =kx +b ，代入P 、

O '点坐标得：

120t k b t k b ?+=???+=?

，解得k b ?=??

=??

∴y =+ ① ∵∠ABO =900，∠AOB =600，OB =2， ∴OA =4，AB

=

∴A （2

，

，代入反比例函数的解析式可得：k =

∴y x

=

②

联立①②得：y y ?=+??=

??

2

0x += 即240x t x -+= ③

由题意知方程有解，则判别式2

244140b ac t -=-??≥，解得：44t t ≥≤-或。 又O 'B '=2，根据对称性得B '点横坐标是1

12

t +

， 当点B '为直线O 'B '与双曲线的交点时，代入③得：2

1

1114022

t t t ????

+

-++= ? ?????

解得t =±

而当线段O 'B '

与双曲线有交点时，t t ≤≥- 综上所述，t

的取值范围是44t t ≤≤-≤≤-。

8. 解：设a b m -=，2ab n =，其中m 是质数，n 是正整数，由()()

22

4a b ab a b +-=-可得：

()2

2224a m n m --=即()()222221a m n a m n m -+--=?。

∵22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--，而m 为质数，故有222,221a m n m a m n -+=--=，

解得()2

211

,4

4

m m a n +-=

=。 于是，()2

14

m b a m -=-=

，由()2

1201720174

m a +≥≥，即

，考虑到m 是质

数，解得89m ≥

此时，()2

89120254

a +≥

=。

当m =89，b =1936，n =1980时，2025a =.

因此，a 的最小值是2025.

9.解：四个数的和能被三个整除，先设这三个数为a ，b ，c ，另一个不能整除的为d 。

不失一般性，不妨设a b c <<，设S a b c d =+++

则可得到三个整数：,,

a b c d a b c d a b c d a b c +++++++++，即,,S S S

a b c

. 因为这三个数都是三位数，且首位数字相同，因此，一个数的2倍必然比另几个

数都大，故2,2,2d a d b d c <<<，25S a b c d c c c c

c c c

++++++=<=。

由首位数字相同，可知任意两个数的和，一定比另一个数大，则有

52,,22

c c c c S a b c

d a b c d c c c ++

++++>>=>

=，即552S c <<， 又因为S c 是整数，故34S

c

=或。

类似可得：

2227S a b c d a a a a a a a ++++++=<=，226S a b c d b b b b b b b

++++++=<=

（1）若4S c =，则4S S b c >=，故56S b ≤<，即5S

b =

同样地，76S S a b >>=，故6S a =，因此可得到：456S c b a ===，

故36

,25c a b a ==。 则36

3725610a a a d

S a b c d d a a a a

++++++=<=+=，即23210d a a =>，与2d a <矛盾，故4S

c =不成立。

（2）若3S

c =，即3S c =

∵7S a <，若6S a =，则36c

a

=，即2c a =，矛盾，不成立。

故

5S a =，而35S S S c b a

=<<=，因此，4S

b =

∴345S c b a ===，故55

,34c a b a ==，代回则

55

435a a a d

S a b c d a a a

++++++=<=，得1312d a =，进一步得到131313121520d a b c ===即12152013a b c d ===

设99131215201388a b c d c a k -=====≤< 若8k ≤，则96a ≤，不是三位数；

若101112k =或或，则144200a c ≤≥，，首位不相同 因此，9k =，可得108,135,180,117a b c d ====。

10.解： （1）如图，在△OBC 中，延长OB 到点P ，使得BP =OC ；延长OC 到点Q ，使得CQ =OB ，∴OP =OQ ∴∠OPQ =∠OQP

过点P 作PM //BC ，且PM =BC ，则四边形BPMC 是平行四边形。连接MC 、MQ 、PQ .

∴CM //B P,CM =BP =OC ∴∠BOC =∠MCQ

∴在△BOC 与△QCM 中 BO QC BOC QCM CO MC =??

∠=∠??=?

∴△BOC ≌△QCM （SAS ） ∴MQ =BC =PM

∴在△PMQ 中，2PQ PM MQ BC OB OC OP OQ <+=<+==\ ∴BOC OPQ OQP ∠<∠=∠

∴01802

BOC

BOC -∠∠<，解得060BOC ∠<，

即060α<

（2）如图，取AC 、BD 的中点E 、F ，连接EF ，将AC 沿EF 平移至A 'C '，连接AA'、CC'、A 'B 、BC'、C 'D 、A 'D ，则A 'BC 'D 是一个符合条件的平行四边形。

延长AF 、CC'交于点G ，连接BG 、DG 。 ∵EF //CC'，E 是AC 的中点， ∴在△AGC 中，F 是AG 的中点. 又∵FC //AC

∴在△AGC中，C'是GC的中点

在四边形ABGD中，AF=FG，BF=FD

∴四边形ABGD是平行四边形

∴AD=BG。

延长BC'到H，使得C'H=BC'

则四边形BGHC是平行四边形。

∴BG=CH

∴2'

+=+≥=

BC BG BC CH BH BC

∴2'''

+≥=+

BC AD BC A D B C

同理可得：''

+≥+

AB DC A B C D

∴'''' +++≥+++ AB BC CD DA A B BC C D DA 故当四边形为平行四边形时，周长最小。