二次函数与一元二次方程-练习题(家庭作业)
二次函数与一元二次方程 练习题（家庭作业）
拟题：黄昌芹
1、抛物线2283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式24b ac -=
0，相应二次方程23280x x -+=的根的情况为 ．
2、函数22y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（
） Ａ、0个 Ｂ、1个
Ｃ、2个 Ｄ、1个或2个 3、关于二次函数2y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，
且函数的图像开口向下时，方程2
0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是2
44ac b a
-；④当0b =时，函数的图像关于y 轴对称．其中正确命题的个数是（ ）
Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个 4、关于x 的方程25mx mx m ++=有两个相等的实数根，则相应二次函数2
5y mx mx m =++-与x 轴必然相交于 点，此时m = ．
5、抛物线2(21)6y x m x m =---与x 轴交于两点1(0)x ，
和2(0)x ，，若121249x x x x =++，要使抛物线经过原点，应将它向右平移
个单位． 6、关于x 的二次函数22(81)8y mx m x m =+++的图像与x 轴有交点，则m 的范围是（
） Ａ、116m <- Ｂ、116m -≥且0m ≠ Ｃ、116m =- Ｄ、116
m >-且0m ≠
7、 已知抛物线21
()3
y x h k =--+的顶点在抛物线2y x =上，且抛物线在x 轴上截得的线段长是求h 和k 的值．
8、已知函数22y x mx m =-+-．
（1）求证：不论m 为何实数，此二次函数的图像与x 轴都有两个不同交点；
（2）若函数y 有最小值54
-，求函数表达式． 9、已知二次函数2224y x mx m =-+．（1）求证：当0m ≠时，二次函数的图像与x 轴有两个不同交点；
（2）若这个函数的图像与x 轴交点为A ，B ，顶点为C ，且△ABC 的面积为数表达式．
10
、如图所示，函数2(2)(5)y k x k =--+-的图像与x 轴只有一个交点，则交点的横坐标0x =
．
11、已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于C 点，与x
)两点，顶点M 的纵坐标为4-，若1x ，2x 是方程222(1)70x m x m --+-=（1）求A ，B 两点坐标；（2）求抛物线表达式及点C （3）在抛物线上是否存在着点P ，使△PAB P 点坐标；若不存在，请说明理由．
12、二次函数2
69y x x =-+-的图像与x 轴的交点坐标为 ．
13、二次函数25106y x x =-+的图像与x 轴有 个交点．
14、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ）
Ａ、a c + Ｂ、a c - Ｃ、c - Ｄ、c
15、下列二次函数中有一个函数的图像与x 轴有两个不同的交点，这个函数是（ ）
Ａ、2y x = Ｂ、24y x =+ Ｃ、2325y x x =-+
Ｄ、2351y x x =+- 16、二次函数256y x x =-+与x 轴的交点坐标是（ ）
Ａ、（2，0）（3，0） Ｂ、（2-，0）（3-，0） Ｃ、（0，2）（0，3） Ｄ、（0，2-）（0，3-）
17、函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 2（ ）
Ａ、有两个不相等的实数根 Ｂ、有两个异号的实数根
Ｃ、有两个相等的实数根
Ｄ、没有实数根 18、 已知二次函数212y x bx c =-++，关于x 的一元二次方程5-，则这个二次函数的解析式为
初三数学一元二次方程与二次函数测试题
初三数学第二次月考 班级 姓名 学号 一．选择题(每小题3分，共24分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） 4．关于的一元二次方程有实数根，则( ) (A)＜0 (B)＞0 (C)≥0 (D)≤0 1. A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2 =x 5.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位， 所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 7. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___ 象限( ) A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次 函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )
二.填空题（每小题4分，共32分） 2. 9.若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________. 10. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________. 11. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析 式为_____________. 12.已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的 根的情况是______________________. 13..若关于的方程 的根是整数，则k 的值可以是______.(只要求写出一个) 14.已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次 函数的解析式：_____________________. 16.如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点 的坐标是________________. O x y A B 1 1 三．解答题 1．用适当的方法解方程： （1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5；
一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点 1. 一元二次方程的定义及一般形式：)0(2≠++=a c bx ax y （1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次） 的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为 一次项系数，c 为常数项。 注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1）配方法：将方程整理成(x+p)2 =q ，方程的根是x=-p ±q 注：x 2系数是1和不是1时配方注意事项；x 2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：242b b ac x a -±-=（240b ac -≥） （3）因式分解：十字相乘法：0)(2=+++pq x q p x 0))((=++?q x p x 3.一元二次方程根的判别（2 4b ac ?=-） （1）△＞0，方程有两个不相等的实数根 （2）△＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△＜0，方程没有实数根，方程无解 4.韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax 2+bx+c ＝0，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系： 1x +2x ＝b a -； 1x .2x ＝c a 5.一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 注意 ：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零． 2. 平移规律：
一元二次方程与二次函数专题
二次函数与一元二次方程专题 一、知识要点： 二次函数图象与x 轴交点情况： 二、经典例题： 1．y=(m-2)22-m x +x －3=0是关于x 的二次函数，则m 的值是 2.(1)关于x 的二次函数y=22(1)1a x x a -++-经过坐标原点，则=a (2)二次函数y=2 (0)ax bx c a ++≠与x 轴两交点的横坐标分别为1和1-，则=++c b a ，=+-c b a （3）等腰ABC △三边的长都是二次函数y=x 2-5x+6与x 轴两交点的横坐标，则周长是 ． 3．求下列二次函数与x 轴交点坐标. （1）2222y x mx m n =-+- （2）2()2y m n x nx m n =++-+ （0≠+n m ） 4．已知：关于x 的二次函数y=269kx x -+与x 轴有两个交点，则k . 5.已知关于x 的二次函数2 3y x m x m =-＋（）－ 求证：该函数与x 轴必有两个交点.
6.若关于x 的二次函数y=x 2-x+m 和y=（m-1）x 2-2x+1都与x 轴有两个交点，求m 的整数值. 7.当k 为何整数时，关于x 的二次函数y=kx 2－4x ＋4和y=x 2－4kx ＋4k 2－4k －5都与x 轴交于整数点. 8.已知：m 为整数，且二次函数y=x 2－3x ＋m ＋2与x 轴正半轴有两个交点，求m 值. 9.已知：抛物线21y (32)22mx m x m =-+++开口向上． （1）求证：该二次函数与x 轴必有两个交点； （2）设抛物线与x 轴交点为A （1x ，0），B （2x ，0）（A 在B 左侧）．若2y 是关于m 的函数，且2212y x x =-， 求这个函数的解析式； （3）若AB=3，求抛物线的解析式.
一元二次方程与二次函数的应用题精选题
一、一元二次方程的应用题 1．（2010年长沙）长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1.5元．请问哪种方案更优惠？ 解：（1）设平均每次降价的百分率是x ，依题意得 ………………………1分 5000（1－x ）2= 4050 ………………………………………3分 解得：x 1=10％ x 2＝ 19 10 （不合题意，舍去） …………………………4分 答：平均每次降价的百分率为10％． …………………………………5分 （2）方案①的房款是：4050×100×0.98＝（元） ……………………6分 方案②的房款是：4050×100－1.5×100×12×2＝（元） ……7分 ∵＜ ∴选方案①更优惠． ……………………………………………8分 2．（2010年成都）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2007年底全市汽车拥有量为180万辆，而截止到2009年底，全市的汽车拥有量已达216万辆． （1）求2007年底至2009年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2011年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2010年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆． 答案：26.. 解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x 。根据题意，得 2 150(1)216 x += 解得10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）。 答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%。 （2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为21690%y ?+万辆，2011年底全市的汽车拥有量为(21690%)90%y y ?+?+万辆。根据题意得 (21690%)90%231.96y y ?+?+≤ 解得30y ≤ 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过30万辆。
二次函数与一元二次方程的关系及解析式求法
1.一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2 +bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有： (1)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两个不等实根 △ =b 2 -4ac>0。 (2)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0有两 个相等实根， (3)抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2 +bx+c=0没有实数根 △=b 2 -4ac<0. (4)事实上，抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=h 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=h 的根的情况。 抛物线y=ax 2 +bx+c 与直线y=mx+n 的公共点情况方程ax 2 +bx+c=mx+n 的根的情况。 2.二次函数解析式求法 例1、二次函数与一元二次方程 1、抛物线2 283y x x =--与x 轴有 个交点，因为其判别式2 4b ac -= 0，相应二次方程2 3280 x x -+=的根的情况为 ． 2、函数2 2y mx x m =+-（m 是常数）的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3、关于二次函数2 y ax bx c =++的图像有下列命题：①当0c =时，函数的图像经过原点；②当0c >，且函数的图 像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是244ac b a -；④当0b =时， 知识梳理 新课讲解
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系 青白江区人和学校彭足琼 凡是学过初中数学的学生，你问他们初中数学中，最难的知识是什么？他们会不约而同地说：“二次函数”。没错，不仅仅是学生觉得二次函数难，包括所有从事初中数学教学的一线教师也会有同样的感受。所以，怎样才能学好二次函数，成为了初中学生和老师最最苦恼的问题。二次函数之所以难，我认为二次函数难就难在函数本身就是一个比较抽象的知识，再加上二次函数有三个参数，比一次函数和反比例函数都多，还有就是二次函数的题目不仅仅考它本身的知识，它还可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，可见，二次函数成为各个地区中考的压轴题变成了理所当然的事。 既然二次函数题可以把初中所有的代数和几何知识放入其中，因此，把二次函数与其它知识紧密联系起来，是我们老师和学生必须掌握的本领。这里，我就浅谈一下二次函数和一元二次方程的关系及怎样运用一元二次方程的知识来解决一些二次函数的题目，希望能给同学们和老师一点点启示和收获。 1、二次函数与一元二次方程形式上的联系与区别。我们清楚的明白，形如：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）的方程是一元二次方程，而形如：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。认真观察一元二次方程：ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a ≠0）和二次函数：y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），不难发现，它们在形式上几乎相同，差别也只是一元二次方程的表达式等于
0，而二次函数的表达式等于y。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成了一元二次方程。 2、二次函数与一元二次方程在二次函数图像上的关系。正是因为二次函数与一元二次方程在形式上的类似，使得二者在二次函数的图像上的关系格外密切。二次函数的图像是一条抛物线，在求抛物线：y= ax2+bx+c与x轴的交点坐标时，令y=0,即：ax2+bx+c=0，二次函数一下就变成了一元二次方程，再求出该方程的解，这个方程的解便是抛物线与x轴的交点坐标的横坐标。由于一元二次方程ax2+bx+c=0的根有三种情况①b2-4ac＞0时有两个不等的实数根；②b2-4ac=0时有两个相等的实数根③b2-4ac＜0时没有实数根，所以相应地：抛物线y= ax2+bx+c与x轴的交点情况有3种：①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴有没有交点。因此，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点的横坐标；二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点情况与一元二次方程：ax2+bx+c=0的根情况有关。可见二者在二次函数的图像上的关系格外密切。 3、应用一元二次方程解决二次函数问题。正是因为一元二次方程与二次函数无论在形式上，还是在图形上，关系都十分紧密，所以在解决很多二次函数题时，经常都要应用一元二次方程的知识。这里，我就列举几个典型题： 典型例题（1）：求证：二次函数y=3x2+（2m+3）x+2m2+1的值
一元二次方程与二次函数
一元二次方程与二次函数 一元二次方程与二次函数是初中数学中的重要内容，因此，每年它都成为中考的热点问题，所以，同学们必须弄清二者的密切联系，才能够对所遇见的问题做到水到渠成，以一当十，触类旁通。 一、二者之间的关系 1、已知二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x 的值,可以解一元二次方程ax 2+bx+c=m(即ax 2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax 2+bx+c=0(a≠0)又看作已知二次函数y=ax 2+bx+c 值为0,求自变量x 的值； 2、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的关系： 当b 2-4ac>0?一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的根1x 、2x ?二次函数 y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个不同的交点(1x ，0)和(2x ,0)；当b 2-4ac=0?一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)有两相等的根1x =2x =x ?二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴只有惟一的一个 交点(x ,0)；当b 2-4ac<0?一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0) 无实数根?二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点。 二、应用 例1 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象,如下图所示，由图象可知关于x 的方程ax 2+bx+c =0的两个根分别是x 1=1.3和x 2=____。 析解:本题主要考查二次函数与二次方程之间的联系, y=ax 2+bx+c(a≠0) 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2+bx+c =0的解.由于两个交点关于 对称轴对称, 一个交点为 (1.3,0),对称轴为直线x=-1,所以另一个交点的坐标为(-3.3,0), 即方程ax 2+bx+c =0的另一个根是x 2=-3.3. 感悟：解决二次函数和二次方程关系问题，关键是确定抛物线与x 轴交点的坐标。 例2 已知抛物线y=x 2-2(k-1)x+k 2-7与x 轴有两个不同的交点. (1)求k 的范围; (2)若抛物线与x 轴的交点为A 、B ，且点B 的坐标为（3，0），求点A 的坐标。 析解：本题主要考查二次函数与一元二次方程的内在联系，点在对称轴上的性质以及抛物线的对称轴和顶点坐标的求法。 （1）y=x 2-2(k-1)x+k 2-7=[x-(k-1)]2+2k-8,由抛物线与x 轴有两个不同的交点,而抛物线开口向上,所以2k-8<0,所以k<4。 (2)因为点B(3,0)在抛物线上,所以9-6(k-1)+k 2-7-0,即k 2-6k+8=0,解得k 1=2,k 2=4,由(1)知k<4,所以k=2,所以抛物线的关系式为y=x 2-2x-3,由y=0,得x 2-2x-3=0,所以x 1=-1,x 2=3,所以点A 的坐标是(-1,0). 感悟：抛物线与x 轴的交点的横坐标就是相应方程的解.要求与x 轴交点的横坐标,实际上就是求当y 的值为0时,得到的方程的解. 例3 根据下列表格的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=－0.06 －0.02 0.03 0.09
二次函数与一元二次方程知识点及经典例题
二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）的关系 1、 一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根是二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交 点的横坐标，反之y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c =0（a ≠0）的根； 2、 一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）根情况的判别即二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0） 与x 轴交点个数情况：①判别式?②直接看方程③平移 例1：抛物线y=ax 2 ＋bx ＋c 图像如下， 则 ① ax 2 ＋bx ＋c =0的根有 （ ）个 ②ax 2 ＋bx ＋c+3＝0的根有（ ）个 ③ax 2 ＋bx ＋c －4＝0的根有（ ）个 x 3-≥a 例 2：若关于x 的不等式组 无解，则二次函数y=（a-2）x 2 -x ＋4 1与X x a 515-≤ 轴交点有（ ）个； 例3：一元二次方程22717 ) 83(2 -=-x y 与X 轴的交点个数为（ ）个； 例4：二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1） 写出方程ax 2 ＋bx ＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax 2 ＋bx ＋c >0的解集； （3） 写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范值； （4） 若方程ax 2 ＋bx ＋c =k 有两个不相等的实数根，求k 的取什范围。 3、 韦达定理在二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）中的应用（ a c a b x x x x =-=+2121，） ① 已知其中一个交点，求另一个交点： 例5：若抛物线m x y x +-= 22 与X 轴的一个交点是 （－2，0）则另一个交点是（ ）； ② 求两交点A,B 线段的长度x x x x AB 212 421) (-=+ 例6：若抛物线32 -+= ax y x 与X 轴的交点为A ，B ，且AB 的长度为10，求a ③ 利用韦达定理求面积：
中考数学专题 一元二次方程与二次函数
中考数学专题4 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-，， 且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一 个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来,再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分 析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【解析】 解：（1）分两种情况： 当0m =时，原方程化为033=-x ，解得1x =，（不要遗漏） ∴当0m =，原方程有实数根. 当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程， ∵()()()2 22[31]4236930m m m m m m =----=-+=-△≥. ∴原方程有两个实数根.（如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判定，让判别式小于0就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根. （2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m .（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ∴1=m . ∴抛物线的解析式为12 1-=x y . ②∵()()2 21212210y y x x x -=---=-≥，（判断大小直接做差）
二次函数与一元二次方程教案 一
§6.3 二次函数与一元二次方程（一） 南京市东山外国语学校黄秀旺 【教学目标】 体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；理解一元二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 教学重点: 二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系． 教学难点: 理解二次函数图象与x轴的位置关系与一元二次方程的根的情况之间的关系．【教学过程】 一、创设情境，揭示课题 一个小球从地面以一定的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系为二次函数h=-5t2+40t，其函数图象如图（图略）所示． 试问：小球经过多少秒后落地?与同伴进行交流. （揭示课题：6.3 二次函数与一元二次方程） 二、活动探索，研究问题 1.师生探究 (1)观察：二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴有几个交点？你能说出交点的坐标吗？ (2)思考：利用交点的坐标你能说出x取何值时，y=0吗？ (3)探究：你能说出一元二次方程x 2-2x -3=0的根吗？ 2.自主探究 类似的，你能利用二次函数y=x2-6x+9的图象研究一元二次方程x2-6x+9=0的根的情况吗？一元二次方程x2-2x+3=0呢？ 3.归纳总结 二次函数y=a x2+b x+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程a x2+b x+c=0的根有什么关系? 4.例题示范 三、自主研究，巩固应用 四、延伸拓展，提高能力 在本节一开始的小球上抛问题中, 提出新的问题: （1）当t=7秒时，小球距地面的高度是多少？ （2）方程 -5t2+40t=75的根的实际意义是什么？ （3）何时小球离地面的高度是60m? 五、回顾小结，强化认知 通过这节课的学习: 我发现了…… 我学会了…… 六、布置作业，课后练习课本P33–P34 4 ，7。
初中数学_二次函数和一元二次方程_习题及解析
初中数学_二次函数和一元二次方程_习 题及解析 一、选择题（共15小题） 1、（2011?山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（） A、ac＞0 B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3 C、2a﹣b=0 D、当x＞0时，y随x的增大而减小 2、（2010?梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（） A、ac＜0 B、a﹣b+c＞0 C、b=﹣4a D、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5 3、（2001?湖州）已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2，则下列判断错误的是（） A、abc＜0 B、c＞0 C、4a＞c D、a+b+c＞0
4、抛物线y=ax2+bx+c在x轴的下方，则所要满足的条件是（） A、a＜0，b2﹣4ac＜0 B、a＜0，b2﹣4ac＞0 C、a＞0，b2﹣4ac＜0 D、a＞0，b2﹣4ac＞0 5、如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①abc＞0； ②4a﹣2b+c＜0； ③2a﹣b＜0； ④b2+8a＞4ac． 其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、已知：a＞b＞c，且a+b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是下列图象中的（）
A、B、
C、D、 7、已知y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2且满足．则称抛物线y1，y2互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（） A、y1，y2开口方向、开口大小不一定相同 B、因为y1，y2的对称轴相同 C、如果y2的最值为m，则y1的最值为km D、如果y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离为|k|d 8、已知二次函数的y=ax2+bx+c图象是由的图象经过平移而得到，若图象与x轴交于A、C （﹣1，0）两点，与y轴交于D（0，），顶点为B，则四边形ABCD的面积为（） A、9 B、10 C、11 D、12 9、（2005?浙江）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数） A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24
九年级数学一元二次方程和二次函数试题[有答案解析]
九年级数学一元二次方程与二次函数试卷 班级： 姓名 总分： 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）. 2222221 A.0 B.0 C.421 D.3250x ax bx c x x x x xy y + =++=-=--= 2．用配方法解方程 2 210x x --=，变形后的结果正确的是（ ）. 2.(1)0x A += 2.(1)0x B -= 2C.(1)2x += 2D.(1)2x -= 3．抛物线 2 (2)2y x =-+ 的顶点坐标是（ ）. A.(2,2)- B.(2,2)- C.(2,2) D.(2,2)-- 4．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）. 2A.0x x += 2B.5410x x --= 2C.3410x x -+= 2D.4520x x -+= 5．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是 2 680x x -+= 的根，则这个三角 形的周长是（ ）. A.11 B.13 C.1113 D.1215 或 或 6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）. A.100(1)121x += B.100(1)121x -= 2C.100(1)121x += 2D.100(1)121x -= 7．要得到抛物线 2 2(4)1y x =-- ，可以将抛物线 2 2y x = （ ）. A. 向左平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度 B. 向右平移4个单位长度，在向下平移1个单位长度 C. 向左平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度 D. 向右平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度 8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x 米，则可列方程为（ ）. 2A.10080100807644B.(100)(80)7644C.(100)(80)7644D.100807644 x x x x x x x x x ?--=--+=--=+= 9．如图，2 210y ax a y ax x a a =+=-+≠函数和（是常数,且）在同一平面直角坐标系中的 图象可能是（ ）.
一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
个性化辅导教案 教师 科目 数 学 时间 2014 年10月 34日 学生 年级 初 三 学校 授课内容 一元二次方程知识点总结 二次函数知识点总结 难度星级 ★★★★ 教学内容 本次课教学安排： 1、掌握一元二次方程的知识点总结 2、掌握二次函数知识点总结 内容详解： 知识点总结：一元二次方程 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如 果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+， b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都 加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x
一元二次方程与二次函数的关系
一元二次方程与二次函数的关系这节课是我们学校给我排上的公开课，所以我格外重视，课前进行了扎实的长时间准备，课后又进行了组内范围的评课。 我通过认真研读课程标准，查阅资料，集思广益，遵照学生特点，有步骤、有层次的对本节课做了精心设计。课堂在引导学生回顾旧知，引起认知冲突中抛出问题，学生一下子急于知道答案，表现出极大的求知热情。解疑提升提升环节曾一度出现争论高潮。教学中始终如一贯彻数学思想。函数图象的应用必须数形结合，引导学生反复练习二次函数的作图是中考必考点，针对考点我在例题讲解和学生练习中都重点强调图象的作图，在动手中过手知识点。让学生体验函数y=x +bx+c=0的解的探索过程，掌握用函数y=x +bx+c图象交点的方法求方程ax +bx+c=0的解。通过渗透数形结合的思想，提高学生综合解题能力。对不足之处，改进环节的反思。(1)放手不够，包办还是过多，学生思考时间有时显得不足。 (2)当堂过手检查环节显得匆忙，师生互动没能彻底带动学生跟随学习思路，气氛活跃但是没在规定5分钟内完成互查任务。(3)学生回答时没做好鼓励和点评，提问回答环节没能完全落实，有1处提问指向不明确。(4)函数与X轴交点同方程的根的关系可适当做逆向分析，点到为止，因时间关系不做过多展开。 6.本堂课课后评课优点。(1)课件使用非常有特色，并且结合课程讲解学习分步呈现，动画设置到位，板书书写、格式位置也很好，是一大亮点。(2)目标层次分明，知识能力情感三大目标定位准确，内容实效性可操作性强。(3)教师感染力强，课堂生动有趣，始终关注学生，并带动学生积极参与进课堂每个环节。(4)教学过程非常注重学生练习及反馈矫正，是一堂有效的落实过手的公开课，并且对习题选择也由浅入深，贴近中考目标，具有针对性。(5)教师对教材分析和大纲考点分析到位，教学中渗透考点分析和数学思想应用，显示了教师扎实业务素质和基本功，尤其教学语言丰富，知识全面分析讲解准确也是本节课一大特色。(6)教师应变能力不错，善于根据学生实际即时调整课堂进度，驾驭课堂能力好，教学显得成熟。
二次函数的图像及一元二次方程与二次函数的关系
第十五讲 二次函数的图像与性质 二次函数2y ax bx c =++图象的画法 1、二次函数的表示方法： 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+， c bx ax y ++=2 =a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a 44)2()2()2()(222222 -+ +=????? ?+-++=++ 由此可见函数c bx ax y ++=2的图像与函数2 ax y =的图像的形状、开口方向均相同， 只是位置不同，可以通过平移得到。 2、二次函数c bx ax y ++=2 的图像特征 （1）二次函数 c bx ax y ++=2( a ≠0)的图象是一条抛物线； 3、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a >- 时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a >- 时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；
一元二次方程、二次函数知识点总结
一元二次方程重要知识点 1.「兀二次方程的定义及一般形式：2 y = ax bx c(a = 0) (1) 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一兀），并且未知数的最咼次数式 2 （二次） 的方程，叫做一兀二次方程。 (2) 一兀二次方程的一般形式：2 ax bx c 二0(a = 0)。其中a为二次项系数，b为 一次项系数，c为常数项。 注意: :二个要点，①只含有一个未知数; ②所含未知数的最高次数是 2 :③是整式方程。 2. 一元二次方程的解法 （1 ）配方法：将方程整理成（x+p）2=q,方程的根是x=-p 土 ... q 注：x2系数是1和不是1时配方注意事项；x2系数是负数时配方注意事项。 （2）公式法：x 二逹 b 4aC（b2-4ac_0） 2a (3)因式分解：十字相乘法：x2 ( p q)x ? pq = 0 = (x ? p)(x ? q) = 0 2 3. 一元二次方程根的判别（b- 4ac ） （1 ）△> 0，方程有两个不相等的实数根 （2）△= 0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根 （3）△< 0，方程没有实数根，方程无解 4. 韦达定理（根与系数关系） 一元二次方程ax +bx+c = 0，设它的两个根是x和x2，则x1和x2与方程的系数a, b, c之 间有如下关系: b c x-! +x2= ；X j . x2= a a 5. 一元二次方程的应用 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式 ④“解”就是求出说列方程的解； ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程 二次函数重要知识点 1.二次函数的概念：2 一般地，形如y-ax bx c （a, b , c是常数，a-0 ）的函数，叫做
中考考点之一元二次方程与二次函数
中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数 【前言】之前我们探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一部分 真题精讲 【例1】已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数23y ax bx c =++的图象经过点(50)-， ，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0和M ≠0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y 轴对称的二次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数2y 恰好是抛物线1y 的一条切线，只有一个公共点（1，0）。 根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。于是通过代点，将3y 用只含a 的表达式表示出来, 再利用132y y y ≥≥,构建两个不等式,最终分析出a 为何值时不等式取等号,于是可以得出结果. 【例2】关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点()11A --， 是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请 求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【思路分析】第一问判别式依然要注意二次项系数不为零这一条件。第二问给点求解析式，比较简单。值得关注的是第三问，要注意如果有一次函数和二次函数只有一个交点，则需要设直线y=kx+b 以后联立，新得到的一元二次方程的根的判别式是否为零，但是这样还不够，因为y=kx+b 的形式并未包括斜率不存在即垂直于x 轴的直线,恰恰这种直线也是和抛物线仅有一个交点,所以需要分情况讨论,不要遗漏任何一种可能. 【例3】已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线2 21y x bx =++上的两点．
二次函数与一元二次方程讲义
二次函数与一元二次方程 1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系． 2．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集．3．根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围． 一、情境导入
如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，你能通过观察图象得到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解集吗？不等式ax2＋bx＋c<0的解集呢？ 二、合作探究 探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 下列函数的图象与x只有一个交点的是( ) A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点，故选D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________． 解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝
2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程． 【类型三】利用函数图象与x 轴交点情况确定字母取值范围 若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋1 2 m ＋1的 图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－2 解析：若m ≠0，二次函数与x 轴只有一个交点，则可根据一元二次方程的根的判别式为零来求解；若m ＝0，原函数是一次函数，图象与x 轴也有一个交点．由(m ＋2)2－4m ( 12 m ＋1)＝0，解得m ＝2或－2，当m ＝0时原函数是一次函数，图象与x 轴有一个交点， 所以当m ＝0，2或－2时，图象与x 轴只有一个交点． 方法总结：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当b 2－4ac ＞0时，图象与x 轴有两个交点；当 b 2－4a c ＝0时，图象与x 轴有一个交点；当b 2－4ac ＜0时，图象与x 轴没有交点． 【类型四】利用抛物线与x 轴交点坐标确定一元二次方程的解