3.3函数的三种表示方法

课题：§3.3函数的三种表示方法

一、教学目标

知识目标：

理解函数的三种表示方法，了解初等函数定义域的几种形式,了解分段函数的意义,会求函数的定义域。

能力目标：

培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力，培养学生善于寻找数学规律的能力。

德育目标：

培养学生认真参与、积极交流的主体意识，培养学生学习数学的兴趣和勇于创新的精神。使学生认识到知识的无止境，对客观世界的认识也是无止境的，树立终身学习的思想。

二、教学重点：

1.函数的表示方法—公式法

2函数定义域的求解

三、教学难点：函数定义域的求解

四、教学方法：“导读议讲练”与“小组学习法”相结合

五、教具：多媒体电脑。

六、教学过程：

㈠课前导读：

《函数的三种表示方法》预习提纲

1.设A、B是两个集合，如果对于A中的，按照某一个对应法则f，在B中

与之对应，那么叫做从A到B的一个映射。记作。

2.如果在某一个变化过程中有两个变量x、y，对于x在某一个范围内的，按照某一个对应法则f，y都有与它对应，那么把x叫做自变量，把y叫做x 的函数，也称y是因变量。设自变量x的取值范围记作A，设因变量y从集合B中取值，其中A、B都是，函数就是到的一个映射。

3.任意一个的映射就是函数。

4.函数的三要素是；陪域通常取为实数，因此表示一个函数就要指明其。

5.下列对应是映射吗？是函数吗？如是，请指出其定义域和对应法则。

①A={0，1，2，3，4}，B={1，2，3，4，5}，f ：x →x+1 ②A={开，关}，B={0，1}，g ：开→0，关→1 ③我国第10届全运会获前十名的省份与奖牌数

④一只钢笔的标价是3.6元,小明要买x 只钢笔需要y 元,y 与x 间的关系式。如果顾客要买20只以上可打八折，则y 与x 间的关系式.

y=3.6x x ∈N ?

???=x x y 8.06.36.3

⑤见右图

5.函数有哪三种表示方法？

6.你认为函数的三种表示法各有什么优点？

7.在表示一个函数时，我们通常用哪种方法比较好？

8.你认为这部分知识能解决什么重要题型?应该从哪几方面入手? （二）复习导入 1.定义回放：

①设A 、B 是两个集合，如果对于A 中的每一个元素a ，按照某一个对应法则f ，在B 中都有唯一确定的元素b 与之对应，那么f 叫做从A 到B 的一个映射。记作 f ：A →B 。

②如果在某一个变化过程中有两个变量x 、y ，对于x 在某一个范围内的每一个值x ，按照某一个对应法则f ，y 都有唯一确定的值y 与它对应，那么把x 叫做自变量，把y 叫

x ＜20，x ∈N

x ≥20，x ∈N

做x的函数，也称y是因变量。设自变量x的取值范围记作A，设因变量y从集合B中取值，其中A、B都是非空的数集，函数就是数集A 到数集 B 的一个映射。

③任意一个非空集合到数集的映射就是函数。

2.教师导入:

函数的三要素是定义域、陪域、对应法则；陪域通常取为实数集，因此表示一个函数就要指明其定义域、对应法则。今天我们就来研究函数的表示方法—§3.3函数的三种表示方法。

（三）观察提出问题

1.观察

下列对应是映射吗？是函数吗？如是，请指出其定义域和对应法则。

①A={0，1，2，3，4}，B={1，2，3，4，5}，f：x→x+1

②A={开，关}，B={0，1}，g：开→0，关→1

③我国第10届全运会获前十名的省份与奖牌数

解答：①由学生讲解。（是映射也是函数。其定义域是A={0，1，2，3，4}，值域是B={1，2，3，4，5}，对应法则是加1。

在课件中出现的表格与此题不一样，见下：

②在老师引领下，由学生得出。

（是映射也是函数。A={开，关}，值域是B={0，1}，对应法则是：开→0，关→1）

事实上，②也可以如下表示：

由②的分析可以很自然地得到③也是一个函数。其定义域是表中各省份构成的集合。因

此，函数可以由一个表格的形式表示，称之为列表法。——学生读

2.议一议：④一只钢笔的标价是

3.6元,小明要买x 只钢笔需要y 元,y 与x 间的关系式。如果顾客要买20只以上可打八折，y 与x 间的关系式.

y=3.6x x ∈N ?

???=x x y 8.06.36.3

是一个函数。其定义域是N ，对应法则是3.6倍。函数可以用x 、y 之间的一个等式或几个等式表示，称之为公式法。——学生读

此对应关系是用一个图像来表示的，称之为图像法。由于时间关系，这种方法留在下节课具体讨论。（四）探究引申思维：

函数的表示方法有三种方法—列表法、公式法、图像法。其各自的优点：

1. 列表法：不必计算就可以知道自变量取某些值时的函数值。

2. 公式法：关系清楚,易求出函数值,便于研究函数的性质.

3. 图像法：函数的变化情况形象直观,一目了然. （五）分类归纳,探索规律学生议论：

7.在表示一个函数时，我们通常用哪种方法比较好？

答：真正研究一个函数时，要三种方法并用，即具体问题具体分析。 8.你认为这部分知识能解决什么重要题型?应该从哪几方面入手? 答：求函数的定义域。

①找出规律：函数的定义域是指所有使解析式有意义的实数x 组成的集合。 ②实际问题，要具体分析。

③求定义域的原则：（在给出例1、例2后得出）分母不为零；开偶次方时，被开方数非负。（六）巩固归纳应用 1.试一试：

①.圆的周长C 是它的半径r 的函数，其解析式为，其定义域是。 ②正比例函数y=kx （k ≠0）的定义域是___________。

x ＜20，x ∈N x ≥20，x ∈N

③反比例函数)0(≠=

k x

y 的定义域是___________。 ④一次函数y=kx+b （k ≠0）的定义域是___________。 ⑤二次函数y=ax 2

+bx+c （a ≠0）的定义域是___________。 2.示范：例1.求函数3

)(-=

x x f 的定义域）

，（），因此的定义域是（）的解析式有意义（解：∞+∞-≠?≠-?333

3 x x x f

注:分母不为零

小练1：x

x f -=25

）

（例2.求函数12-=x x h ）（的定义域

）

，）的定义域是（因此）的解析式有意义（解：∞+≥

?≥-?2

12x g x x x g 注:开偶次方时,被开方数非负。小练2：的定义域

求函数x x f -=1)( 例3.求函数1

)(-+=x x x h 的定义域学生分析

)

,1(]2,()(2

11212010201020

101

2)(+∞--∞-≤???

?-≤???-≥???

?-≤+???-≥+?≠-≥-+? 的定义域是因此或或或且的解析式有意义

解：x h x x x x x x x x x x x x x x h

注：求函数的定义域可以转化为解线性分式不等式、一次不等式组、一元二次不等式。即必须保证使每一个式子都有意义。 3.归纳总结：

（1）求定义域的原则：（应该从哪几方面入手?）分母不为零；

开偶次方时，被开方数非负。实际问题，要具体分析。

（2）求定义域可以转化为解一次不等式组或线性分式不等式或一元二次不等式。小练3.求函数31++-=x x x f ）（的定义域。

4.牛刀小试：

的定义域试求函数的定义域是函数的定义域是）（函数填空：x x h ③x

x g ②x x f ①㈠-=-=+=1)(21)(97.

（七）课堂小结：

1.函数的表示方法有：列表法、公式法、图像法。它们各有各的优点，在具体研究一个函数时，需要三种方法并用。

2.用公式法给出函数时，同时应给出其定义域：即所有使解析式有意义的实数x 组成的集合。

9)(2

)(.x x ②g x x x f ①㈡-=++=求下列函数的定义域：。

。

3.求函数的定义域原则:分母不为零;开偶次方时,被开方数非负。实际问题，要具体分析。

4.求函数的定义域可以转化为解一次不等式组或线性分式不等式或一元二次不等式。（八）课后作业:P96 A 1

七板书设计:

学习二次函数的技巧和方法

二次函数专项知识分析知识能力目标： 1、经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。 2、能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，提高有条理的思考和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。 3、会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。 4、能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。 5、理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。考点一二次函数的图象和性质 1、二次函数的定义和知识点：形如y=ax 2+bx+c(a ≠0，其中a 、b 、c 是常数)的函数为二次函数。（1）、a 决定抛物线的开口方向和形状大小，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时开口向下；︱a ︱的值越大，开口就越小；当b=0时，抛物线的轴对称是Y 轴；当c=0时，抛物线经过原点；当b 和c 同时为0时，其顶点就是原点。（2）、抛物线y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的顶点坐标是??? ? ? ?--a b a c ，a b 4422，对称轴方程是直线x =a b 2- ，注意：对称轴是由a 和b 决定的，与c 无关，a 和b 同号时，对称轴在Y 轴的左边，a 和b 异号时，对称轴在Y 轴的右边，简称“同左异右”。（3）、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与Y 轴的交点坐标为（0，c ）；求与X 轴的两个交点坐标的方法是令y=0，然后解关于ax 2+bx+c=0的方程，得出的x 的解就是与x 轴的交点的横坐标。这两个交点关于抛物线的对称轴对称。 2、二次函数的图象和性质。二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象是一条抛物线，a 决定抛物线的开口方向。当a ＞0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；函数有最小值；且x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＜a b 2- 时， y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线的开口向下，图象有最高点，函数有最大值，且x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＜a b 2- 时， y 随x 的增大而增大。注意：函数的最值就是顶点的纵坐标的值，即当 3、图象的平移：将二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象进行平移，就是在顶点式y=a(x-h)2+k

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一教学内容函数与映射的概念及其函数的表示法重点难点教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念教学目标1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象. 5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念教学过程课前检查与交流作业完成情况：交流与沟通针对性授课一、函数的概念一、复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：（）是函数吗？问题2：与是同一函数吗？观察对应： 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课：

初中二次函数的解题方法

初中二次函数的解题方法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

11.1班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ; 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0 有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴ y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1x2]=a(x- x1)(x-x2) 重要概念：。 1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左 b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k ) 当 h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a 3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则二次函数图像的开口越小。有时也可以考虑图像的整体性质、特殊点的位置及二次方程的联系，结合韦达定理和判别式定理确定a,b,c, △及系数的代数符号。常见问题 1、抛物线中特殊点组成的三角形问题：抛物线线中的特殊三角形主要有两类：（1）、抛物线与x轴的两个交点和与y轴的交点所组成的三角形；（2）、抛物线与x轴的两个交点和顶点所组成的三角形。解决策略是：应用平面几何的有关定理，如等腰三角形的三线合一、直角三角形的勾股定理、射影定理、斜边中线定理等结合两点间的距离公式及二次方程的求根公式、判别式定理、韦达定理等知识求解。用到的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化等。 2、二次函数的定点和动点问题：求动点运动所形成的直线或曲线一般采用消去参数法，即消去参数以后的方程即为动点需满足的函数解析式。

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（） ① A={x x ∈Z}，B={y y ∈Z}，对应法则f ：x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（） ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（） A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点 C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ，y 的值也不同 ③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．②③ D ．② 考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。例2. 下列哪个函数与y=x 相同（） ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ；⑥.2x y =

二次函数综合题解题方法与技巧

图1 图 2 压轴题解题技巧练习引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)，其中x 1、 x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式； (2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．二、圆 2．如图10，已知点A （3，0），以A 为圆心作⊙A 与Y 轴切于原点，与x 轴的另一个交点为B ，过B 作⊙A 的切线l. （1）以直线l 为对称轴的抛物线过点A 及点C （0，9），求此抛物线的解析式；（2）抛物线与x 轴的另一个交点为D ，过D 作⊙A 的切线DE ，E 为切点，求此切线长；（3）点F 是切线DE 上的一个动点，当△BFD 与EAD△相似时，求出BF 的长． 2

函数的基本概念及表示法

题一：定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f ：k →i k ，k =1,2,…,n .记作：121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ，12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1，j 2，…，j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ，其中)]([)(k g f k g f = ，k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二：在加工爆米花的过程中，爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位：分钟). 做了三次实验，数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =－0.2t 2+bt +c 上，则由此得到的理论最佳加工时间为分钟. 题三：3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

函数的定义和表示

函数定义域与值域 1.函数的概念本节我们将学习一种特殊的对应—映射。看下面的例子：设A ，B 分别是两个集合，为简明起见，设A ，B 分别是两个有限集求平方 B B 说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射记作：B A f : 映射与函数的区别： 3.函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系

4.求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 5 区间的表示： ],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x 6 如果A ，B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作y=f(x)，其中x ∈A ，y ∈B.原象的集合A 叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C （C ?B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数f(x). 明确函数的三要素：定义域、值域、解析式二典型例题例1．若函数y ＝f(x)的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2}，则函数y ＝f(x)的图象可能是 ( ) 变式：设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

函数的概念与表示复习讲义与习题.doc

第四讲函数的概念与表示一．知识归纳： 1．映射（ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。（ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数（ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。注意：①C B; ② A,B,C 均非空（ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二．例题讲解：【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。（ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选

二次函数典型题解题技巧

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二次函数典型题解题技巧 (一)有关角１、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边），与y 轴交于点(0C ,3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点. （1）求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由. 思路点拨:对于第(１）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ) 对于第(２)问,比较角的大小 a 、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了 b 、如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了 c 、如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小 d 、除了上述情况外，那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等 e 、可能还有人会问，这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、Ｃ、Ａ、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解:（1)∵CD ∥x 轴且点C(０,３）， ∴设点D 的坐标为(x ，３) . ∵直线y ＝ｘ+５经过D 点， ∴3= x+５.∴ｘ=－２. 即点D(-２，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1,y ），又∵直线ｙ= ｘ+５经过M 点， ∴y =－１＋5,y =4.即M(-1，4). ∴设抛物线的解析式为 2(1)4y a x =++． ∵点C （0,3）在抛物线上,∴ａ=-1．即抛物线的解析式为 223y x x =--+.…………3分（２)作BP ⊥AC 于点P,ＭＮ⊥AB 于点N. 由(1）中抛物线 223y x x =--+可得点A(-3,0)，B(1，０)， ∴ＡB=4，AO ＝C Ｏ=３，A Ｃ＝32． ∴∠PAB ＝４5°. ∵∠ABP=45°，∴P Ａ=PB=22. ∴P Ｃ=A Ｃ－PA ＝2. 在Ｒｔ△BPC 中，tan ∠BCP=PB PC =2．

函数的定义及其表示

函数的定义及其表示一、选择题（共16小题；共80分） 1. 设集合 M ={x ∣0≤x ≤2}，N ={y ∣0≤y ≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 2. 设函数 f (x )={x 2+1,x ≤1 2x ,x >1，则 f(f (3))= ( ) A. 1 5 B. 3 C. 2 3 D. 13 9 3. 设集合 M ={x ∣(x +3)(x ?2)<0}，N ={x ∣1≤x ≤3}，则 M ∩N = ( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3] 4. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x,y ∈R )，f (1)=2，则 f (?3) 等于 ( ) A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ，若 f(f (0))=4a ，则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 6. 下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A. y =x +1 与 y = x 2+x x B. f (x )= 2(√x) 2 与 g (x )=x C. f (x )=∣x ∣ 与 g (x )=√x n n D. f (x )=x 与 g (t )=log a a t 7. 下列各组函数中，表示同一个函数的是 ( ) A. y = x 2?1x?1 与 y =x +1 B. y =x 与 y =∣x∣ C. y =∣x∣ 与 y =2 D. y =2?1 与 y =x ?1 8. 已知函数 f (x )={2x +1,x <1 x 2+ax,x ≥1 ，若 f(f (0))=4a ，则实数 a 等于 ( ) A. 1 2 B. 4 5 C. 2 D. 9 9. 若 f (x )=ax(a ＞0且a ≠1) 对于任意实数 x ，y 都有 ( )

函数的概念及其表示

一、函数的概念及其表示函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。函数的共同特征：（1）都包含两个非空数集，用A 、B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数级A 中的任意一个数x ，按照对应关系，在数集B 中都有唯一确定的数y 和它对应。事实上，除了解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法。为了表示方便，我们引进符号f 统一表示对应关系。一般地，设A 、B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合b 的一个函数，记作 ().,A x x f y ∈= 其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}A x x f ∈|叫做函数的值域。我们所熟悉的一次函数y=kx+b ，k ≠0的定义域是R ，值域也是R 。对应关系f 把r 中的任意一个数x ，对应到R 中唯一确定的数kx+b 。二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B 。当A>0时，B=??????-≥a b ac y y 44|2；当A<0时，B=? ?????-≤a b ac y y 44|2。对应关系f 把R 中任意一个数x,对应到B 中唯一确定的数)0(2≠++a c bx ax 。由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系

和值域。因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数。函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法。解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；图象法，的就是用图象表示两个变量之间的对应关系。这三种方法是常用的函数表示法。

二次函数求最值方法总结

二次函数求最值方法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

XX 教育辅导教案学生姓名性别年级学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：课时教学课题二次函数求最大值和最小值教学目标利用二次函数的图像和性质特点，求函数的最大值和最小值教学重点与难点含有参数的二次函数最值求解。课堂引入： 1) 由二次函数应用题最值求解问题引申至一般二次函数求最值问题，阐述二次函数求最值问题方法的重要性（初高中衔接、高中必修一重点学习内容）。 2) 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．（引导学生用初中所学的二次函数知识求解，为下面引出二次函数求最值方法总结做铺垫）二次函数求最值方法总结：一、设)0(2≠++=a c bx ax y ，当n x m ≤≤时，求y 的最大值与最小值。 1、当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y 的最值： 1) 当n a b m ≤-≤2时，a b x 2-=时，y 取最小值：a b a c y 442min -=；y 的最大值在m x =或n x =处取到。 2) 若m a b <-2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递增的，则m x =时，y 取最小值；则n x =时，y 取最大值。若n a b >- 2，二次函数在n x m ≤≤时的函数图像是递减的，则n x =时，y 取最小值；则m x =时，y 取最大值。

【变式训练】变式1、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，1max -=y ，当2x =时，5min -=y ．【例题解析】例2、当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)．分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时：当1x =时，2min 1511322 y =?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +

函数的定义及表示方法

函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+，则(1)f = ． 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则((5))f f = ． 3若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f = ． 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +

二次函数配方法练习

二次函数配方法练习 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

1．抛物线y ＝2x 2－3x －5配方后的解析式为顶点坐标为 ______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大． 2．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，配方后为它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______． 3．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______． 4．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，配方后为当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 6．抛物线y ＝2x 2如何变化得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．请用两种方法变换。 7．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( ) A ．向下，(0，4) B ．向下，(0，－4) C ．向上，(0，4) D ．向上，(0，－4) 8．抛物线x x y --=22 1的顶点坐标是( )

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法一、选择题（每小题5分，共60分） 1、数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为（） A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ，表示相同函数的一组是（） A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、下列选项正确的是（）（1）x x y -+-= 12可以表示函数（2）521=-+-y x 可以表示函数（3）122=+y x 可以表示函数（4）12=+y x 可以表示函数 A 、（2）（4） B 、（1）（3） C 、（1）（2） D 、（3）（4） 4、下列关于分段函数的叙述正确的是（）（1）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集（2）分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则，但它们是同一个函数（3）若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域，则Φ=21D D I A 、（1） B 、（2）、（3） C 、（1）、（2） D 、（1）、（3） 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射，如果{}2,1=B ，那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，则下列各项不恒成立的是（） A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像，需先向平移个单位，再向平移个单位（） A 、左,2，上，1 B 、左，2，下，1 C 、右，2，上，1 D 、右，2，上，1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ，其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是（）

初中二次函数的解题方法

班沈阳 14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式：y=a x2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a,4ac-b2/4a) ; 顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线,即 b^2-4ac≥0] ：由一般式变为交点式的步骤：∵ X1+x2=-b/a x1·x2=c/a∴ y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[﹙x2;-(x1+x2)x+x1 x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：。 1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h 或者x=-b/2a 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0);a,b同号，对称轴在y轴左 b=0,对称轴是y轴;a,b异号，对称轴在y轴右侧

函数定义及表示方法函数的性质

1.1函数定义及表示方法 1.给出四个命题：①f(x)=3-x +x -2是函数；②函数f(x)=2x(x ∈N)的图像是一条直线；③f(x)=1与g(x)=（x-1）0表示同一函数；④f ﹝x)=2x 2－1（3＜x ＜5﹚,f(a)=7,则a=2，其中正确的有（）个。 A.1 B.2 C.3 D.4 2.若函数y=f(3x-1)的定义域是[0,1]，则y=f(x+1)的定义域是（） A.﹙﹣2,0﹚ B. [﹣1,0] C. [﹣2,1] D. [﹣3,2] 3. ⑴已知函数f(x)=x 2,求f(x －1). ⑵已知函数f(x －1)=x 2,求f(x) 4.若f(x)=ax 2－2,a 是一个正常数，f[f(2)]=﹣2,那么a 的值是（） A.22 B.2－2 C.22－2 D.22 2+ 5.若函数f(x)=x 2－3x+1 ,则f(a) －f(﹣a)=_________ 6.求下列函数的定义域 ⑴y=－1x ·1+x ⑵y=142 --x x ⑶y=32-x +25x - 7.已知函数f （x+1）=3x+2,则f(x)=______________________ 8.已知f(x)=???+-＜2)(,3﹣x 2) ≥(,122x x x x ,则f(﹣1)+f(4)的值为__________ 9.已知y=f(x)是一次函数且有f[f ﹙x ﹚]=9x+8,求f(x)

10.y=﹣x 2－4x+1,x ∈[﹣3,3]的值域为（） A. ﹙﹣∞,5] B. [5,+∞ ﹚ C. [﹣20,5] D. [4,5] 11.A=﹛1,2,3,4,5﹜,B=﹛1,3,7,15,,31,33﹜下列对应法则f 能构成从A 到B 的映射的是（） A.f:x →x 2－x+1 B.f:x →x+(x －1)2 C.f: x →2－1x －1 D.f: x →2x －1 12.设A=R,B=R,f:x → 2 12+x 是A →B 的映射，若t+1∈A,t+1在映射f 下的象为5，则t 是（） A.27 B. ﹣27 C.25 D. ﹣25 13.若M=﹛x|﹣1≤x ≤1﹜,N=﹛y|﹣1≤y ≤1﹜则从M 到N 不是映射的是（） 14在下列函数中，定义域和值域不同的是（） A. y=x 31 B.y=x 21 C.y=x 35 D.y=x 32 15.若函数f(x)= －34x mx (x ≠4 3)在定义域内恒有f[f(x) ]=x,则m 等于﹙ ﹚ A.3 B.23 C. ﹣23 D. ﹣3 16.已知f(x)=ax 2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_______________ 17.设函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，在x ≤1时，f （x ）=(x+1)2 －1,则x>1时 f （x ）等于（） A.f(x)=(x+3)2 －1 B.f(x)=(x －3)2 －1 C.f(x)=(x －3)2+1 D.f(x)=(x －1)2 －1