2020-2021学年河北省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
河北省高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）
A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．
4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）
A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3
5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）
A．B．C．D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）
A．8 B．9 C．16 D．21
7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）
A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8
8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）
A．20πB．15πC．10πD．2π
9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）
A．y=±x B．C．D．
10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）
A． B． C．
D．
12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：
①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．
④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．
真命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．
14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．
15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且?x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．
（1）求数列{a n}的前n项和S n；
（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．
18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．
（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？
（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．
19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．
（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．
20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．
21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）
A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}
【考点】1D：并集及其运算．
【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，
∴log2a=0
∴a=1
从而b=0，P∪Q={3，0，1}，
故选B．
2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
【考点】A2：复数的基本概念．
【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，
∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．
故选：B．
3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．
【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，
∴tanθ=2；
∴tan2θ==﹣，
故选D．
4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）
A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．
【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，
∴V=××3×1×3=．
故选A．
5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】CF：几何概型．
【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．
【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，
由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax ﹣a2＞0}这个事件的测度为3，
故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，
故选：D．
6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）
A．8 B．9 C．16 D．21
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．
【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，
∴S△ABC=absinC≤×36×=9，
故选：B．
7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）
A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8
【考点】EF：程序框图．
【分析】由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．
【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，
超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元
∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．
故选：D．
8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，
则该球的表面积为（）
A．20πB．15πC．10πD．2π
【考点】LG：球的体积和表面积．
【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．
【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，
设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，
设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，
∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，
∴球O的表面积S=4πR2=20π，
故选：A．
9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）
A．y=±x B．C．D．
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，
其焦距2c=2=2，
分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，
此时双曲线的方程为：﹣=1，
其渐近线的方程为y=±x，
故选：B．
10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）
A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1
【考点】8H：数列递推式．
【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．
【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．
∴的最大值为3．
故选：C．
11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）
A． B． C．
D．
【考点】KE：曲线与方程．
【分析】取特殊点代入进行验证即可．
【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．
故选B．
12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：
①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．
②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．
③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．
④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．
真命题的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】IS：两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．
【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定
即可．
【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；
在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；
到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，
由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，
∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；
设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；
综上知，正确的命题为①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】先根据向量的数量积公式可得?=||?||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵AB=3，AC=4，，
∴?=||?||cosA=6，
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB??cosA=9+16﹣12=13，
∴BC=，
故答案为：．
14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是7 名．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．
【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：
对于需要求该校招聘的教师人数最多，
令z=x+y?y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为
定值﹣1，
截距最大时的直线为过?（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．
故答案为：7．
15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为210 ．【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】由直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，求出a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（x+﹣2）5的展开式中x的系数．
【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，
∴，解得a=2，
∴=（x+﹣2）5，
∴展开式中x的系数为：++=80+120+10=210．
故答案为：210．
16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且?x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b ．
【考点】3S：函数的连续性．
【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；
设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，
结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．
【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，
∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）是单调函数；
由题意得?x∈（0，+∞），f=2017，
又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，
则f（x）﹣log2015x是定值，
设t=f（x）﹣log2015x，
则f（x）=t+log2015x，
∴f（x）是增函数，
又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，
∴a＞c＞b．
故答案为：a＞c＞b．
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．
（1）求数列{a n}的前n项和S n；
（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．
【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a n}的通项公式；
（2）先化简b n，再利用定义证明即可．
【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5，
∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根
∴以a1=1，a2=5，
∴{a n}等差数列的公差为4，
∴=2n2﹣n；
（2）证明：当时，=，
∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣2n=2，
∴{b n}是以2为首项，公差为2的等差数列．
18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．
（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？
（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．
【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．
用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，
则=．
因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是
（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，
因此，ξ的分布列如下：
ξ0 1 2 3
p
∴．
19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．
（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG 为平行四边形，
即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD
（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角
在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：，；，根据余弦定理
=，即可．
【解答】解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，
连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线
所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，
所以AG∥EF
由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF?面BDE，
故平面BDE⊥平面BCD
（2）由AB=2，AE=1可知，，同理
又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，