一对一家教教案(二次函数)

1对1辅导教案

学生学校年级九年级

教师授课日期12月1日授课时段9:00~11:0

课题二次函数

重点难点重点：⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；

⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；

⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；

⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.

难点：⑴二次函数图象的平移；

⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.

教学步骤及教学内容一. 教学内容：

二次函数小结与复习

二. 重点、难点：

1. 重点：

⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；

⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值；

⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；

⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.

2. 难点：

⑴二次函数图象的平移；

⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策.

三. 知识梳理：

1. 二次函数的概念及图象特征

二次函数：如果，那么y叫做x的二次函数．

通过配方可写成，它的图象是以直线

为对称轴，以为顶点的一条抛物线．

2. 二次函数的性质

值

函数的图象及性质

＞0 ⑴开口向上，并且向上无限伸展；

⑵当x＝时，函数有最小值

；

当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大．

＜0 ⑴开口向下，并且向下无限伸展；

⑵当x＝时，函数有最大值

；

当x＜时，y随x的增大而增大；当x＞时，y随x的增大而减小．

3. 二次函数图象的平移规律

抛物线可由抛物线平移得到. 由于平移时，抛物线上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式来讨论．

4. 、、及的符号与图象的关系

⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下．

⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：

a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；

a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.

⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置：

c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；

c＝0，抛物线经过原点；

c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．

⑷b2－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：

①当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；

②当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；

③当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

5. 二次函数解析式的确定

用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）；⑶设交点式：（a≠0）.

6. 二次函数的应用问题

解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.

【典型例题】

例1. 二次函数y=－x2+2x－1通过向（左、右）平移个单位，再向

___________（上、下）平移个单位，便可得到二次函数y=－x2的图象.

分析：y=－x2+2x－1的顶点为（3，2），y=－x2的顶点为（0，0），因此可以根据顶点坐标确定平移的方向和距离.

解：y=－x2+2x－1=－（x－3）2+2，∴把二次函数y=－x2+2x－1向左平移3个单

位，再向下平移2个单位，便得到y=－x2的图象．

例2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b2－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（）

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.

∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号.

又a＞0，∴b＞0.

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c﹤O. ∴ab＞0，ac﹤0.

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0.

∵对称轴x=－=－1，

∴b=2a. ∴2a+b﹥0

当x=－1时，y=a－b+c﹤0. ∴选C.

例3. 如图，抛物线y=－x2+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（）

A. －

B. 0

C. －或0

D. 1

分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，x A=OA；当点A在原点左侧时，x A+OA=0（注：点A在x轴上）.

解：设OB=x，则OA=3x（x﹥0），则B（－x，0），A（3x，0）.

∵－x，3x是方程－x2+2（m+1）x+m+3=0的根，

∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.

解得m1=0，m2=－.

又∵x﹥0，∴m=－不合题意.

∴m=0，因此选B.

例4. 已知二次函数y=mx2+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值.

分析：二次函数y=ax2+bx+c有最大（小）值a﹤0（a＞0）.

解：∵二次函数y=mx2+（m－1）x+m+1有最小值为0，

∴

即

解得m=1.

例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x2+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.

分析：这个函数是二次函数，应注意m+6≠0这个条件.

解：∵二次函数y=（m+6）x2+2（m－l）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，

∴∴m≤－且m≠－6.

例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.

问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）

分析：由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4. 9－2. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4－2. 4=1. 6时，求出x的值.

解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为4. 9－2. 4=2. 5，C点坐标为（0，0），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x－5）2+2. 5.

把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得a=－.

∴y=－（x－5）2+2. 5.

当y=4－2. 4=1. 6时，1. 6=－（x－5）2+2. 5.

解得x1=8，x2=2（不合题意，舍去）.

∴x=8，∴OC－x=10－8=2（米）.

故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部.

点拨：将实际问题转化成数学问题时，要注意（1）顶点纵坐标是（4. 9－2. 4）而不是4. 9；（2）求出的x=2是汽车的右侧离开隧道右壁的距离（因为该隧道是双向的，因此会出现两种情况），若改为“汽车离开隧道壁多少米才不至于碰隧道顶部”，则x1=2，x2=8都合题意.

例7. 今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A处，如图.

⑴如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离为BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高空进行空投，物资恰好准确落在P处，飞机距P 处的水平距离OP为多少米？

⑵如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水平距离为400米，要使飞机仍在⑴中O点的正上方空投，且使空投物资准确地落在P处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？

分析：⑴中由题意可知抛物线的顶点坐标为（0，1000），点C的坐标为（200，840），因此可设抛物线关系式为y=ax2+1000，再把点C的坐标代入即可；⑵由题意知C（400，h－160），再由P点坐标即可求出关系式.

解：⑴由题意知，A（0，1000），C（200，840）.

设抛物线的关系式为y=ax2+1000，把x=200，y=840代入上式，得

840=a·40000+1000. 解得a=－. ∴y=－x2+1000.

当y=0时，－x2+1000=0. 解得x1=500，x2=－500（舍去）.

∴飞机应在距P处的水平距离OP=500米的上空空投物资.

⑵设飞机空投时离地面的高度应调整为h米，则设抛物线的关系式为y=ax2+h. 把点C （400，h－160）代入上式，得h－160=a·4002+h. 解得a=－.

∴y=－x2+h. 把x=500，y=0代入上式，得0=－×5002+h.

∴h＝250.

∴飞机空投时离地面的高度应调整为250米.

点拨：已知抛物线的顶点时，可先列出二次函数的顶点式，然后根据条件用待定系数法求函数关系式.

例8. 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3.

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数关系式 .

分析：本题主要考查二次函数的性质、待定系数法、数形结合思想及抛物线与x轴、y 轴交点坐标、分类讨论思想.

解：如图，设抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于C，则AB·OC=3. ∴AB·OC=6.

分类讨论：⑴若AB＝2，则OC＝3.

∴A（3，0），B（5，0），C（0，3）或（0，－3）.

⑵若AB=4，则OC=1. 5. ∴A、B、C三点的坐标都为整数，故不合题意.

⑶若AB=6，则OC=1. ∴A（1，0），B（7，0），C（0，1）或（0，－1）.

用待定系数法求得y=x2－x+1或y=－x2+x－1或y=x2－x+3或y=－x2+x －3.

点拨：只需填写一个答案即可.

例9. 阅读下面材料，再回答问题.

一般地，如果函数y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）=－f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果函数f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫偶函数.

例如f（x）=x3+x，当x取任意实数时，f（－x）=（－x）3+（－x）=－x3－x=－（x3+x），

即f（－x）=－f（x），所以f（x）=x3+x是奇函数.

又如f（x）=|x|，当x取任意实数时，f（－x）=|－x|=|x|，即f（－x）=f（x），所以f（x）=|x|是偶函数.

问题：⑴下列函数中：①y=x4；②y=x2+1；③y=；④y=；⑤y=x+. 所有奇函数是，所有偶函数是 .

⑵请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.

分析：本题综合运用函数及一次函数、二次函数等知识，通过阅读理解奇函数、偶函数的定义，分析理解所给例子，灵活解决问题，因此要认真理解奇函数，偶函数定义，仔细比较所给的两个例子.

解：⑴∵（－x）4=x4，∴y=x4是偶函数.

∵（－x）2+l=x2+1，∴y=x2+l是偶函数.

∵，∴y=是奇函数.

∵和－不一定相等，

∴y=即不是奇函数，也不是偶函数.

∵（－x）+，∴y=x+是奇函数.

∴①②是偶函数，③⑤是奇函数.

⑵如y=x是奇函数，y=2x2－1是偶函数.

例10. 已知：在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）任作一条与抛物线y=ax2（a＞0）交于两点的直线，设交点分别为A、B，且∠AOB=90°.

⑴判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；

⑵确定抛物线y=ax2（a＞0）的关系式；

⑶当△AOB的面积为4时，求直线AB的关系式.

分析：⑴中A、B两点是抛物线与直线的交点，因此可列方程组并结合一元二次方程根与系数的关系来求解，在此基础上，再求⑵⑶.

解：⑴直线AB过P（0，2），∴设直线AB的关系式为y=kx+2.

由y=kx+2 ①，y=ax2②，得ax2－kx－2=0. ③

设A（x1，y1），B（x2，y2）且x1＜x2，则x1，x2是方程ax2－kx－2=0的两根，

∴x1+x2=，x1x2=－. ∴y1·y2=ax12·ax22=a2·=4.

∴A、B两点的纵坐标的乘积为常数4，是一个确定的值.

⑵如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N.

∵∠AOB=90°，∴∠1+∠2=90°.

又∵∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1.

∴Rt△AOM∽Rt△OBN.

∴. ∴.

∴y1y2=－x1x2，即4=，∴a=.

∴y=x2.

⑶S△AOB=4，即S梯形AMNB－S△AOM－S△BON=4.

∴（y1+y2）（x2－x1）－（－x1）y1－x2y2=4，（x2y1－x1y2）=4.

∵y1=x12，y2=x22，∴x1x2（x1－x2）=4.

又∵x1·x2=－4.

∴x1－x2=－4，（x1－x2）2=32.

∴（x1+x2）2－4x1x2=32. 解得k1=2，k2=－2. ∴y=2x+2或y=－2x+2

点拨：二次函数与一元二次方程、相似形等有着密切的联系，解答综合题时要充分展开联想，弄清它们之间的密切联系.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一. 选择题：

1. 下列各式中，是二次函数的有（）

（1）y=2x2－3xz+5；（2）y=3－2x+5x2；（3）y=+2x－3；（4）y=（2x－3）（3x－2）－6x2；（5）y=ax2+bx+c；（6）y=（m2+1）x2+3x－4；（7）y=m2x2+4x－3.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2. 如图，函数y=ax2和y=－ax+b在同一坐标系中的图象可能为（）

3. 下列抛物线中，开口向上且开口最小的抛物线为（）

A. y=x2+1

B. y=x2－2x+3

C. y=2x2

D. y=－3x2－4x+7

4. 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（）

A. k﹥－

B. k≥－且k≠0

C. k﹤－

D. k﹥－且k≠0

5. 二次函数图象y=2x2向上平移1个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的关系式为（）

A. y=2（x+3）2+1

B. y=2（x－3）2+1

C. y=2（x+3）2－1

D. y=2（x－3）2－1

6. 二次函数y=2（x－1）2－5的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标为（）

A. 开口向上，对称轴为直线x=－1，顶点（－1，－5）

B. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，5）

C. 开口向下，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5）

D. 开口向上，对称轴为直线x=1，顶点（1，－5）

7. 如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，点P（a+b，ac）是坐标平面内的点，则点P在（）

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

8. 二次函数y=－x2+bx+c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值为（）

A. b=2，c=4

B. b=2，c=－4

C. b=－2，c=4

D. b=－2，c=－4

9. 如果二次函数y=ax2+bx+c中，a：b：c=2：3：4，且这个函数的最小值为，则这个二次函数为（）

A. y=2x2+3x+4

B. y=4x2+6x+8

C. y=4x2+3x+2

D. y=8x2+6x+4

10. 抛物线的顶点坐标为P（1，3），且开口向下，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围为（）

A. x﹥3

B. x﹤3

C. x﹥1

D. x﹤1

二. 填空题：

11. 请你任写一个顶点在x轴上（不在原点）的抛物线的关系式 .

12. 已知二次函数y=x2－4x－3，若－1≤x≤6，则y的取值范围为 .

13. 抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标为（2，3），则a= ，c= .

14. 二次函数y=2x2－4x－1的图象是由y=2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ，c= .

15. 不论x取何值，二次函数y=－x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为 .

16. 抛物线y=2x2+bx+8的顶点在x轴上，则b= .

17. 直线y=2x+2与抛物线y=x2+3x的交点坐标为 .

18. 开口向上的抛物线y=a（x+2）（x－8）与x轴交于A、B，与y轴交于点C，且∠ACB=90°，则a= .

19. 若二次函数y=（m+8）x2+2x+m2－64的图象经过原点，则m= .

20. 将抛物y=2x2+16x－1绕顶点旋转180°后所得抛物线为 .

三. 解答题：

21. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y=2x2开口方向相反，形状相同，顶点坐标为（3，5）.

（1）求抛物线的关系式；

（2）求抛物线与x轴、y轴交点.

22. 用图象法求一元二次方程x2+x－1=0的解（两种方法）.

23. 如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B，与y轴交于点C，且∠ACB=90°，AC=12，BC=16，求这个二次函数的关系式.

24. 直线y=x－2与抛物线y=ax2+bx+c相交于（2，m），（n，3）两点，抛物线的对称轴是直线x=3，求抛物线的关系式.

25. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边为xm，面积为Sm2.

（1）求出S与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；

（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用；

（3）为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少？（精确到元）

参考资料：

①当矩形的长是宽与（长+宽）的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形；

②≈2. 236.

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