命题与量词、基本逻辑联结词

教学过程

一、课堂导入

问题：怎样区分全称性量词与存在性量词？逻辑联结词表示的含义是什么？

二、复习预习

“或”作为逻辑联结词，与生活用语中“或者”相近，但二者有区别。生活语言中“或者”是指从联结的几部分中选一，而逻辑联结词“或”都是指联结的几部分中至少选一。

“且”作为逻辑联结词，与生活用语中“既……”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替。

“非”作为逻辑联结词的意义就是日常生活用语中的“否定”，而且是“全盘否定”。

“或（∨）”、“且（∧）”、“非（￢）”这些词叫逻辑联结词。

存在量词与存在性命题。短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号“?“表示，读作“p且q”。

三、知识讲解

考点1 命题

能够判断真假的语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

考点2 量词

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．

(2)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做

存在量词，并用符号“?”表示．

考点3 逻辑联结词

(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词．

(2)命题真值表：

四、例题精析

考点一含有逻辑联结词命题的真假判断

例1命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数y ＝sin ? ????2x －π3的图象；命题q ：函数y ＝sin ? ????x ＋π6cos ? ??

?

?

π3－x 的最小正周期为π，则命题“p ∨q ”“p ∧q ”“￢p ”为真命题的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

【规范解答】函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位后，所得函数为y ＝sin ??????2? ????x －π3＝sin ? ?

???2x －2π3，

∴命题p 是假命题．

又y ＝sin ? ????x ＋π6cos ? ????π3－x ＝sin ? ????x ＋π6cos ??????π2－? ????x ＋π6＝sin 2? ????x ＋π6＝12－12cos ? ????2x ＋π3， ∴其最小正周期为T ＝2π

2＝π，∴命题q 是真命题． 由此，可判断命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“￢p ”为真． 【总结与反思】“p ∨q ”“p ∧q ”“￢p ”形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；

(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假．

考点二含有一个量词的命题的否定

例2 写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：?x∈R，x2－x＋1

4≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：?x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.

【规范解答】否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．

(1)￢p：?x0∈R，x20－x0＋1

4<0，假命题．

(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(3)￢r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．

(4)￢s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．

【总结与反思】(1)含一个量词的命题的否定方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．

②对原命题的结论进行否定．

(2)判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

考点三逻辑联结词与命题真假的应用

例3 已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围。

【规范解答】依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2

－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得???

m ≥0

m ≤－2或m ≥2

，即m ≥2.

【总结与反思】以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可．

五、课堂运用

【基础】

1、命题“?x∈R，?m∈Z，m2－m

规范解答】 由于?x ∈R ，x 2＋x ＋1＝? ????x ＋122＋34≥3

4，因此只需m 2－m <34，即－12

所以当m ＝0或m ＝1时，?x ∈R ，m 2－m

2、下列四个命题：

①?x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0；②?x ∈Q ，12x 2＋x －1

3是有理数；

③?α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；④?x ，y ∈Z ，使3x －2y ＝10. 所有真命题的序号是________．

【规范解答】①②显然正确；③中，若α＝π

，β＝0，则sin(α＋β)＝1，sin α＋sin β＝1＋0＝1，

2

等式成立，∴③正确；④中，x＝4，y＝1时，3x－2y＝10成立，∴④正确，故填①②③④.

【巩固】

1、已知命题p：若a>1，则a x>log a x恒成立；命题q：在等差数列{a n}中(其中公差d≠0)，m＋n＝p＋q是a n＋a m＝a p＋a q

的充分不必要条件(m，n，p，q∈N＋)．则下面选项中真命题是()

A．￢p∧￢q B．￢p∨￢q C．￢p∨q D．p∧q

【规范解答】对于命题p，如图所示，作出函数y＝a x(a>1)与y＝log a x(a>1)在(0，＋∞)上的图象，显然当a>1时，函数y＝a x的图象在函数y＝log a x图象的上方，即当a>1时，a x>log a x恒成立，故命题p为真命题．

对于命题q，可知当公差不为0时，m＋n＝p＋q是a n＋a m＝a p＋a q的充要条件，故命题q为假命题．

∴命题￢p为假，￢q为真，故￢p∨￢q为真．

2、下列命题中，真命题是( )

A ．?x 0∈??????0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2

B ．?x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1

C ．?x 0∈R ，x 20＋x 0

＝－1 D ．?x ∈? ??

??

π2，π，tan x >sin x

【规范解答】对于选项A ，?x ∈??????0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ? ????

x ＋π4≤2，∴此命题为假命题；

对于选项B ，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题； 对于选项C ，?x ∈R ，x 2＋x ＋1＝? ????x ＋122＋3

4>0，∴此命题为假命题；

对于选项D ，当x ∈? ????

π2，π时，tan x <0

【拔高】

1、设有两个命题，p：不等式e x

4

＋1

e x>a的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3a)

x在R上是减函数，如果这两个命题中有且

只有一个真命题，求实数a的取值范围。