2020高考数学第二轮通用(文)板块二专题五 第2讲

第2讲圆锥曲线的方程与性质(小题)

热点一圆锥曲线的定义与标准方程

1．圆锥曲线的定义

(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．

(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)．

(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M.

2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”

所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．

例1(1)(2019·梅州质检)已知双曲线C：x2

a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)一个焦点为F(2,0)，且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为________．

答案x2

3－y

2＝1

解析根据题意，双曲线C的中心为原点，点F(2,0)是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c＝2，

双曲线C：x2

a2－y2

b2

＝1(a>0，b>0)，

其渐近线方程为y＝±b

a x，即ay±bx＝0，

又点F 到渐近线的距离为1，则有|－b ×2|a 2

＋b

2

＝1，

解得b ＝1，则a 2＝c 2－b 2＝3， 所以双曲线的方程为x 23

－y 2

＝1.

(2)(2019·南充模拟)P 是双曲线x 23－y 2

4＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，

则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A

解析 如图所示F 1(－7，0)，F 2(7，0)，

设内切圆与x 轴的切点是点H ，与PF 1，PF 2的切点分别为M ，N ， 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，

由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，|F 1M |＝|F 1H |，|F 2N |＝|F 2H |， 故|MF 1|－|NF 2|＝23， 即|HF 1|－|HF 2|＝23，

设内切圆的圆心横坐标为x ，即点H 的横坐标为x ， 故(x ＋7)－(7－x )＝23， ∴x ＝ 3.

跟踪演练1 (1)(2019·银川质检)已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，定点A (0,22)，过点P 作

PQ⊥y轴于点Q，则|P A|＋|PQ|的最小值是________．

答案 2

解析由抛物线y2＝4x可知，其焦点坐标为F(1,0)，准线x＝－1，

设点P到其准线的距离为d，根据抛物线的定义，

可得d＝|PF|，

则点P到y轴的距离为|PQ|＝|PF|－1，

且|F A|＝12＋(22)2＝3，

则|P A|＋|PQ|＝|P A|＋|PF|－1≥|F A|－1＝2(当且仅当A，P，F三点共线时取等号)，

所以|P A|＋|PQ|的最小值为2.

(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为()

A．y2＝9x B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝3x

答案 C

解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.

设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，

由抛物线定义，得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°， 在Rt △ACE 中，

∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，|AC |＝2|AE |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1，|FC |＝3a ＝3. ∴p ＝|FG |＝12|FC |＝3

2，∴抛物线方程为y 2＝3x .

热点二 圆锥曲线的几何性质

1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c

a ＝

1－????b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c

a

＝

1＋????b a 2.

2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b

a x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．

例2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E

于A ，B 两点，若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的三倍，cos ∠AF 2B ＝3

5，则椭圆E 的离心率

为( )

A.12

B.23

C.32

D.22 答案 D

解析 设|F 1B |＝k ()k >0， 依题意可得|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， ∴|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .

∵cos ∠AF 2B ＝3

5，在△ABF 2中，由余弦定理可得

|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2||BF 2|cos ∠AF 2B ， ∴(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－6

5(2a －3k )(2a －k )，

化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0， 而a ＋k >0，故a －3k ＝0，a ＝3k ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＝3k ，|BF 2|＝5k ， ∴|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，

∴AF 1⊥AF 2，∴△AF 1F 2是等腰直角三角形． ∴c ＝

22a ，椭圆的离心率e ＝c a ＝22

. (2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2

c .若双曲线M

的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3c

sin ∠PF 2F 1

，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )

A.?

????1，2＋73 B.?

????1，2＋73

C ．(1,2) D.(]1，2

答案 A

解析 根据正弦定理可知sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2|

|PF 1|，

所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c

|PF 1|，

||PF 1

||－PF 2

＝2a ，

所以????1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a

>a ＋c ，

整理得3e 2

－4e －1<0，解得2－73

3

.

又因为离心率e >1，所以1

3

.

跟踪演练2 (1)(2019·北京市海淀区模拟)椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心

率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为( ) A.π6，－π6 B.π3，－π3 C.π6，5π6 D.π3，2π

3 答案 C

解析 椭圆中a ＝2，b ＝1，所以c ＝3， 所以其离心率为

3

2

， 设双曲线的离心率为e ，则e ×3

2

＝1， 得e ＝233

，

双曲线中e ＝c a ＝233，即c 2＝4

3a 2，又c 2＝a 2＋b 2，

所以4

3

a 2＝a 2＋

b 2，得a ＝3b ，

双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，即y ＝±3

3x ，

所以两条渐近线的斜率为k ＝±3

3，

倾斜角分别为π6，5π

6

.

(2)(2019·六安模拟)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为e ，过点F 且斜率为1的

直线交双曲线的渐近线于A ，B 两点，AB 中点为M ，若|FM |等于半焦距，则e 2等于( ) A. 3 B. 2 C.3或 2 D ．3－ 3 答案 B

解析 设双曲线的左焦点F (－c ,0)， 则过F 点且斜率为1的直线方程为y ＝x ＋c ，

与渐近线方程y ＝±b a x 联立可得A ? ??

??ac b －a ，bc b －a ，B ? ??

??ac

－b －a ，－bc －b －a ，

故AB 中点坐标为M ? ??

??

a 2c

b 2－a 2，b 2

c b 2－a 2，

则有|FM |＝

? ????a 2c b 2－a 2＋c 2＋? ????b 2

c b 2－a 22＝2b 2c

a 2－b

2＝c ， 即a 2＝(1＋2)b 2，b 2＝(2－1)a 2， c 2＝a 2＋b 2＝

2a 2，e 2＝

c 2

a 2

＝ 2. 热点三 圆锥曲线与圆、直线的综合问题 圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点： (1)注意使用圆锥曲线的定义；

(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组； (3)注意用好平面几何性质；

(4)涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．

例3 (1)(2019·六安联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

右顶点为A ，以A 为圆心，OA (O 为坐标原点)为半径的圆与双曲线C 在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥P A ，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线C 的离心率为( ) A ．1＋ 5 B ．1＋ 3 C. 5 D. 3 答案 A

解析 由题意可得|OA |＝a ，|AF 2|＝c －a ， 因为PF 2⊥P A ， 所以|PF 2|＝

(c －a )2－a 2＝

c 2－2ac ，

又因点P 在双曲线的右支上， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 因为|PF 1|＝2|PF 2|， 所以|PF 2|＝2a ； 因此

c 2－2ac ＝2a ，即c 2－2ac ＝4a 2，

所以e 2－2e －4＝0，解得e ＝1±5， 因为e >1，所以e ＝1＋ 5.

(2)(2019·南充模拟)已知直线x ＋y ＝1与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其

中O 为坐标原点)，若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2

2

，则椭圆长轴的取值范围是( ) A ．[5，6] B.????

52

，62 C.????54，32 D.????52，3 答案 A

解析 联立?????

x ＋y ＝1，

x 2a 2＋y 2b 2＝1，

得

(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)(a 2－a 2b 2)>0，化为a 2＋b 2>1. x 1＋x 2＝2a 2

a 2＋

b 2，x 1x 2＝a 2－a 2b 2a 2＋b 2.

∵OP ⊥OQ ，

∴OP →·OQ →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－1)(x 2－1) ＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0， ∴2×a 2－a 2b 2a 2＋b 2－2a 2a 2＋b 2＋1＝0.

化为

a 2＋

b 2＝2a 2b 2.∴b 2＝

a 2

2a 2－1

. ∵椭圆的离心率e 满足33≤e ≤2

2

， ∴13≤e 2≤12

， ∴13≤a 2－b 2

a 2≤12，13≤1－12a 2－1≤12

， 化为5≤4a 2≤6， 解得 5 ≤2a ≤ 6. 满足Δ>0.

∴椭圆长轴的取值范围是[5，6]．

跟踪演练3(1)(2019·合肥质检)已知椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是()

A.

3

3 B.

2

3 C.

3

2 D.

2

2

答案 D

解析因为点P在以线段F1A为直径的圆上，

所以AP⊥PF1，

又因为F2B∥AP，

所以F2B⊥BF1，

又因为|F2B|＝|BF1|，

所以△F1F2B是等腰直角三角形，

因为|OB|＝b，|OF2|＝c，

所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，

所以该椭圆的离心率e＝c

a ＝2

2.

(2)(2019·内江、眉山等六市模拟)设点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，Q是C的准线上的动点，直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直，则点P到l的距离的最小值的取值范围是() A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1]D．(0,2]

答案 B

解析 抛物线C 的准线方程是x ＝－1，

若点Q 的坐标为(－1,0)，此时直线l 的方程为x ＝－1， 显然点P 到直线l 的距离的最小值是1， 若点Q 的坐标为(－1，t )，其中t ≠0， 则直线OQ 的斜率为k OQ ＝t －0

－1－0＝－t ，

直线l 的斜率为k l ＝－1k OQ ＝1

t ，

直线l 的方程为y －t ＝1

t (x ＋1)，

即x －ty ＋t 2＋1＝0，

设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋m ＝0，

代入抛物线方程，得y 2－4ty ＋4m ＝0， 所以Δ＝16t 2－16m ＝0，解得m ＝t 2，

所以与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为 x －ty ＋t 2＝0，

所以点P 到直线l 的距离的最小值为直线x －ty ＋t 2＋1＝0与直线x －ty ＋t 2＝0的距离， 即d ＝|t 2＋1－t 2|12＋t

2＝

1

1＋t 2

， 因为t 2>0，所以0

综合两种情况可知点P 到直线l 的距离的最小值的取值范围是(0,1].

真题体验

1．(2018·全国Ⅱ，文，6)双曲线x2

a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±3x

C ．y ＝±2

2x

D ．y ＝±3

2

x

答案 A

解析 双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.

又∵离心率c

a

＝

a 2＋

b 2

a

＝3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a (a >0，b >0)． ∴渐近线方程为2ax ±ay ＝0，即y ＝±2x .

2．(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－

3

2 B ．2－

3 C.3－12

D.3－1 答案 D

解析 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，且焦距|F 1F 2|＝

2c ，

则|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，

由椭圆的定义，可知2a ＝(1＋3)c ， 所以离心率e ＝c a ＝2

1＋3

＝3－1.

3．(2019·全国Ⅱ，文，12)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，

以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 A

解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为????x －c 22＋y 2＝c

2

4

①，将x 2＋y 2＝a 2记为②式，

①－②得x ＝a 2c ，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2

c ，

所以|PQ |＝2

a 2－

???

?a 2

c 2.

由|PQ |＝|OF |，得2a 2－

???

?a 2

c 2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A.

押题预测

1．双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行，则双曲线的离心率为

( ) A. 5 B.52 C.3

2

D. 3 答案 B

解析 由双曲线的渐近线与直线x －2y ＋1＝0平行， 可得双曲线的渐近线的方程为y ＝1

2x ，

即b a ＝12

， 所以双曲线的离心率为 e ＝c a

＝a 2＋b 2

a 2

＝1＋????b a 2＝

1＋14＝5

2

. 2．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 距离的最大值为( ) A ．2 B ．3 C.3

2 D ．4

答案 C

解析 设A (2t 21，2t 1)，B (2t 2

2，2t 2)．

由OA ⊥OB ，得2t 12t 21·2t 2

2t 22＝－1，得出t 1t 2＝－1.

当直线AB 的斜率不存在时，2t 1＋2t 2＝0， 此时t 1＝－t 2，

则AB 的方程为x ＝2，焦点F 到直线AB 的距离为2－12＝3

2，

∵k AB ＝2t 1－2t 22t 21－2t 22＝1

t 1＋t 2，

得直线AB 的方程为y －2t 1＝1

t 1＋t 2

(x －2t 21)． 即x －(t 1＋t 2)y －2＝0. 令y ＝0，解得x ＝2. ∴直线AB 恒过定点D (2,0)．

∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离小于3

2，

综上，焦点F 到直线AB 距离的最大值为3

2

.

3．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为直径

的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若△ABC 的面积为2a 2，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2

2x

B ．y ＝±2x

C ．y ＝±3

3x

D ．y ＝±3x

答案 B

解析 ∵以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点C ， ∴以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，

设B 点在第一象限，坐标为(x ，y )，且到x 轴的距离为h ， 由对称性知△ABC 的面积 S ＝2S △OBC ＝2×1

2ch ＝ch ＝2a 2，

即h ＝2a 2c ，即B 点的纵坐标为y ＝2a 2

c ，

则由

x 2＋

????2a 2c 2＝c 2，得x 2＝c 2－????2a 2

c 2＝c 2－4a 4

c 2

， 因为点B 在双曲线上，则

c 2－

4a 4c 2a 2－4a 4

c 2

b

2＝1，

即c 2a 2－4a 2c 2－4a 4

c 2(c 2－a 2)

＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2? ??

??1＋a 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2·c 2c 2－a 2＝1， 即c 2a 2－4a 2c 2－a 2

＝1， 即c 2a 2－1＝4a 2

c 2－a 2＝c 2－a 2a 2， 得4a 4＝(c 2－a 2)2，

即2a 2＝c 2－a 2，得3a 2＝c 2，得c ＝3a ，b ＝2a . 则双曲线的渐近线方程为y ＝±b

a

x ＝±2x .

A 组 专题通关

1．(2019·岳阳模拟)已知抛物线y 2

＝－45x 的准线l 经过双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一个

焦点F ，且该双曲线的一条渐近线经过点P (1，－2)，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 2

＝1 B ．x 2－

y 2

4

＝1 C.x 24－y 2

2＝1 D.x 22－y 2

4

＝1 答案 B

解析 抛物线y 2＝－45x 的准线为x ＝5，

所以，双曲线的焦点F (5，0)，即c ＝5， 双曲线的一条渐近线经过点P (1，－2)， 则－b

a

＝－2，

再由c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝1，b 2＝4，c 2＝5， 因此所求的双曲线的标准方程为

x 2－

y 2

4

＝1. 2．(2019·北京市海淀区模拟)抛物线W ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线x ＝－3的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B

解析 依题意，得F (1,0)，抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离， 因为点A 到直线x ＝－3的距离是线段AF 长度的2倍，

所以点A 到直线x ＝－3的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍， 设A 点横坐标为x 0，则有x 0＋3＝2(x 0＋1)，解得x 0＝1， 所以|AF |＝1－(－1)＝2.

3．(2019·江西九校联考)两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是26，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝

1(b >a >0)的离心率等于( ) A.

133 B.132 C.32

D ．2 答案 B

解析 由题设知????

?

a ＋

b ＝10，

ab ＝24，

a >0，

b >0，b >a ，

解得a ＝4，b ＝6，

∴c ＝213，∴e ＝c a ＝13

2

.

4．(2019·邯郸模拟)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它

的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m ，跨径为12 m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )

A.2512 m

B.256 m

C.95 m

D.185 m 答案 D

解析 以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线x 2＝－2py (p >0)经过点(6，－5)，则36＝10p ，解得p ＝18

5，故桥形对应的抛物线的焦点

到准线的距离为p ＝18

5

.

5．(2019·天津市和平区质检)设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝1

8x 2的焦点相同，

离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( ) A ．2 B. 3 C ．2 2 D ．2 3 答案 B

解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2＝1n ，b 2＝－1

m

，c ＝2.

根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m ，

又离心率为2，即4

1n

＝4，

解得n ＝1，m ＝－1

3

，

∴此双曲线的渐近线方程为y 2

－x 2

3

＝0，

则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，

则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝

|23|1＋3

＝ 3.

6．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π

3，若△F 1PF 2

的外接圆和内切圆的半径分别为R ，r ，当R ＝4r 时，椭圆的离心率为( ) A.45 B.23 C.12 D.2

5 答案 B

解析 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2＝π3，

|F 1F 2|＝2c ，根据正弦定理，得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2

＝2c

sin π3＝2R ，

∴R ＝233c ，

∵R ＝4r ，∴r ＝

36

c ， 由余弦定理，得

()2c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2，

由|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∠F 1PF 2＝π

3，

可得|PF 1||PF 2|＝

43

()

a 2－c 2

， 则由三角形面积公式12()

|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|·r ＝1

2

|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2，

可得()

2a ＋2c ·36c ＝43()

a 2－c 2·3

2

，

整理得3c 2＋ac －2a 2＝0， 即3e 2＋e －2＝0， ∵0

3

.

7．(2019·六安联考)已知直线l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点P 在椭圆x 22＋y

2

＝1上运动，则△P AB 面积的最大值为( ) A ．6 B.3(3＋2)

2

C.3(3－3)2

D.3(3＋3)2

答案 D

解析 因为l ：x ＋y ＝3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ， 所以A (3,0)，B (0,3)，因此|AB |＝32， 又点P 在椭圆x 22＋y 2

＝1上运动，

所以可设P (2cos θ，sin θ)， 所以点P 到直线l 的距离为

d ＝|2cos θ＋sin θ－3|2＝|3sin (θ＋φ)－3|2

≤

|－3－3|2＝3＋32

(其中tan φ＝2)， 所以S △P AB ＝1

2|AB |d ≤3(3＋3)2

.

8．(2019·泸州模拟)双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直

线与圆x 2＋y 2＝a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A ，B ，若|AB |＝|BF 2|，则C 的离心率为( ) A.5＋2 3 B ．5＋2 3 C. 3 D. 5

答案 A

解析 由双曲线的定义可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，