2021山东菏泽中考数学解析
菏泽市二〇一八年初中学业水平考试
数 学 试 题
选择题（共24分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应位置.）
1．(2018山东菏泽，1，3分)下列各数：-2，0，1
3
，0.020020002…，π数的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 【答案】C
【解析】，则-2，0，13
0.020020002…，π是无理数，故选C ． 【知识点】无理数
2．(2018山东菏泽，2，3分)习近平主席在2018年新年贺词中指出，“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！”2017年，340万贫困人口实现异地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各类棚户区改造开工提前完成600万套目标任务.将340万用科学记数法表示为（ ） A ．7
0.3410? B ．5
3410? C ．5
3.410? D ．6
3.410?
【答案】D 【解析】340万=3400 000，有7位整数，用科学记数法表示时，a=3.4，n=6，即表示为3.4×106．故选D ．
【知识点】科学记数法
3．(2018山东菏泽，3，3分)如图，直线//a b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、
b 上，若130∠=，则2∠的度数是（ ）
A ．45
B ．30
C ．15
D ．10
【答案】C
【解析】如图，作c ∥a ，则c ∥b ，∴∠4=∠2，∠3=∠1，∵∠4+∠3=45°，∠1=30°，∴∠2=45°－30°=15°．故选C ．
【知识点】平行线的性质；平行公理
4．(2018山东菏泽，4，3分)下图是两个等直径圆柱构成的“T ”形管道，其左视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】上面圆柱的左视图为矩形，下面圆柱的左视图为圆，它们组合为选项B 中图形．故选B ．
【知识点】三视图
5．(2018山东菏泽，5，3分)关于x 的一元二次方程2
(1)210k x x +-+=有两个实数根，则
k 的取值范围是（ ）
A ．0k ≥
B ．0k ≤
C ．0k <且1k ≠-
D ．0k ≤且1k ≠- 【答案】D 【解析】△=b 2－4ac=(－2)2－4(k+1)≥0，解得k≤0，又∵k+1≠0，即k≠－1，∴k≤0且k≠－1．故选D ．
【知识点】一元二次方程根的判别式
6．(2018山东菏泽，6，3分)如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC=32°，则∠OBA 的度数是（ ）
A ．64°
B ．58°
C ．32°
D ．26° 【答案】D
【解析】∵OC ⊥AB ，∴AC =BC ．∠ADC 是AC 所对的圆周角，∠BOC 是BC 所对的圆心角，∴∠BOC=2∠ADC=64°，∴∠OBA=90°－∠BOC=90°－64°=26°．故选D ． 【知识点】垂径定理；圆周角定理及推论；
7．(2018山东菏泽，7，3分)规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(m ，n)，向量
OP 可以用点P 的坐标表示为：OP =(m ，n)．已知：11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，如果12120x x y y ?+?=，那么OA 与OB 互相垂直．
下列四组向量，互相垂直的是（ ）
A ．(3,2)OC =，(2,3)OD =-
B ．(211)OE =，，(21,1)OF =
C ．0
(3,2018)OG =，1(,1)3OH =-- D ．31(8,)2
OM =-，2
((2),4)ON = 【答案】A
【解析】A 项，3×(－2)+2×3=0，则OC 与OD 互相垂直；B 项，－+1)+1×1=2≠0，
则OE 与OF 不垂直；C 项，3×(－
1
3
)+20180×(－1)=－2≠0，则OG 与OH 不垂直；D
×2
+(－
1
2
)×4=2×2－2=2≠0，则OM 与ON 不垂直．故选A ． 【知识点】阅读理解；有理数混合运算；二次根式的运算；0次幂；立方根；
8．(2018山东菏泽，8，3分)已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数
y bx a =+与反比例函数a b c
y x
++=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0；∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴b ＜0；∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0；再由二次函数的图象看出，当x=1时，y=a+b+c ＜0；∵b ＜0，a ＞0，∴一次函数y bx a =+的图象经过第一、二、四象限；∵a+b+c ＜0，∴反比例函数
a b c
y x
++=
的图象位于第二、第四象限，两个函数图象都满足的是选项B ．故选B ． 【知识点】二次函数的图象与系数的关系；一次函数的图象与系数的关系；反比例函数的图象与系数的关系；
非选择题（共96分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
9．(2018山东菏泽，9，3分)不等式组101102
x x +>??
?-≥??的最小整数解是 ．
【答案】0
【解析】10
1102
x x +>??
?-≥??①②解不等式①，得x ＞－1；解不等式②，得x≤2；∴不等式组的解集
是－1＜x≤2．满足－1＜x≤2的最小整数是0，所以不等式组的最小整数解是0．
【知识点】不等式组的特殊解
10．(2018山东菏泽，10，3分)若2a b +=，3ab =-，则代数式3
22
3
2a b a b ab ++
的值
为 ． 【答案】－12
【解析】∵3
22
3
2a b a b ab ++=ab(a 2+2ab+b 2)=ab(a+b)2=－3×22=－12．
【知识点】因式分解；求代数式的值；
11．(2018山东菏泽，11，3分)若正多边形的每一个内角为135°，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】8
【解析】∵每一个内角为135°，∴每一个外角是45°，360°÷45°=8，∴这个正多边形的边数是8．
【知识点】正多边形的内角和、外角和；
12．(2018山东菏泽，12，3分)据资料表明：中国已成为全球机器人第二大专利来源国和目标国.机器人几大关键技术领域包括：谐波减速器、RV 减速器、电焊钳、3D 视觉控制、焊缝跟踪、涂装轨迹规划等，其中涂装轨迹规划的来源国结构（仅计算了中、日、德、美）如图所示，在该扇形统计图中，美国所对应的扇形圆心角是 度．
【答案】57.6
【解析】360°×(1－21%－32%－31%)=57.6°，即美国所对应的扇形圆心角是57.6°． 【知识点】扇形统计图；
13．(2018山东菏泽，13，3分)如图，OAB ?与OCD ?是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3:4，90OCD ∠=，60AOB ∠=，若点B 的坐标是(6,0)，则点C 的坐标是 ．
【答案】(2，
【解析】如图，作AE ⊥x 轴于E ，∵90OCD ∠=，60AOB ∠=，∴∠ABO=∠OAE=30°．∵
点B 的坐标是(6,0)，∴AO=
12OB=3，∴OE=12OA=32
，∴
A(32
．∵OAB ?与OCD ?是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为
3:4，∴点C 的坐标为(
32×43，2×4
3
)，即(2，．
【知识点】位似；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质；
14．(2018山东菏泽，14，3分)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是 ．
【答案】15
【解析】由题意，得3x －2=127，解得x=43．若43不是第一次输入的数，则3x －2=43，解得x=15．若15并不是第一次输入的数，则3x －2=15，解得x=173．∵173
不是正整数，不合题意，故输入的最小正整数是15．
【知识点】程序计算；一元一次方程的应用
三、解答题（本大题共10个小题，共78分.请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）
15．(2018山东菏泽，15，6分)计算：2
20181122sin 602-??
-+- ???
.
【思路分析】分别求出有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，代入原算式，然后按照原算式指明的运算顺序计算．
【解题过程】解：原式=－1+4－(2－=－1+4－． 【知识点】实数的混合运算；负整数指数幂；绝对值的化简；特殊角的三角函数值；
16．(2018山东菏泽，16，6分)先化简，再求值：222
(2)()y x y
y x y x y x y x y
??--÷--+ ?+-??，其中1x =-，2y =.
【思路分析】先通分和整式的乘法，再进行分式的乘除运算，最后合并同类项，化简后代
入x 、y 的值计算即可．
【解题过程】解：原式=2222
22(2)y xy y x y x xy y x y
x y x y ??+----- ?
++-?? =
2222()()
(2)y xy y x y x y x xy y x y x y
---+---+- =
22()()
(2)xy x y x y x xy y x y x y
--+---+-
=－xy －x 2+xy+2y 2 =－x 2+2y 2．
当x=－1，y=2时， 原式=－(－1)2+2×22=7． 【知识点】分式的化简求值
17．(2018山东菏泽，17，6分)如图，AB ∥CD ，AB=CD ，CE=BF ．请写出DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论.
【思路分析】先由AB ∥CD ，得出∠B=∠C ；再由CE=BF ，得出CF=BE ；由“SAS”判定△ABE ≌△DCF 即可得证．
【解题过程】解：DF=AE ．
证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠C ．
∵CE=BF ，∴CE －EF=BF －EF ， 即CF=BE ．
在△ABE 和△DCF 中，
AB CD B C BE CF ??
???
，∠∠，
， ∴△ABE ≌△DCF ． ∴DF=AE ．
【知识点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；
18．(2018山东菏泽，18，6分)2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A 处的俯角为30°，
B 处的俯角为45°，如果此时直升机镜头
C 处的高度C
D 为200米，点A 、B 、D 在同一
条直线上，则A 、B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
【思路分析】在Rt △ACD 中，求出BD 的长，在Rt △ACD 中，用tanA 求出AD 的长，相减即可得解．
【解题过程】解：由题意得∠A=30°，∠CBD=45°，∠CDB=90°． 在Rt △CBD 中，∠CBD=45°，CD=200米，∴BD=200米． 在Rt △ACD 中，∠A=30°，∵tanA=tan30°=
CD AD
=， ∴
米)． ∴AB=AD －
200(米)．
答：A 、B 两点间的距离为
－200)米． 【知识点】解直角三角形的应用——仰角俯角问题
19．(2018山东菏泽，19，7分)列方程（组）解应用题：
为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24
万元，已
知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？ 【思路分析】设台式电脑的单价为x 元，则笔记本电脑的单价为1.5x 元，由“购买了笔记本电脑和台式电脑共120台”列出分式方程求解．
【解题过程】解：设台式电脑的单价为x 元，则笔记本电脑的单价为1.5x 元，由题意得
720001.5x +240000
x
=120， 解得x=2400，
经检验x=2400是原分式方程的解． ∴1.5x=3600．
答：笔记本电脑的单价为3600元，台式电脑的单价为2400元． 【知识点】分式方程的应用
20．(2018山东菏泽，20，7分)如图，已知点D 在反比例函数a
y x
=
的图象上，过点D 作DB y ⊥轴，垂足为(0,3)B ，直线y kx b =+经过点(5,0)A ，与y 轴交于点C ，且BD OC =，
:2:5OC OA =．
（1）求反比例函数a
y x
=
和一次函数y kx b =+的表达式； （2）直接写出关于x 的不等式a
kx b x
>+的解集.
【思路分析】（1）求出点C 和D 的坐标，代入点D 的坐标求出反比例函数的表达式，代入点A 和点C 的坐标求出一次函数的表达式；（2）先求出反比例函数与一次函数的图象无交点，再根据图象得出不等式的解集． 【解题过程】解：（1）∵(5,0)A ，∴OA=5． ∵:2:5OC OA =，∴OC=2，∴C(0，－2)． ∵(0,3)B ，BD OC =， ∴D(－2,3)． 由D(－2,3)在a
y x
=上，得 3=
2
a
-，∴a=－6，
∴反比例函数的表达式为y=－
6x
． 由(5,0)A ，C(0，－2)在直线y kx b =+上，得
502k b b +??
-?，，解得2
52k
b
?
???-?，. ∴一次函数的表达式为y=2
5
x －2． （2）x ＜0．
理由：两函数组成方程组6
2
25
y x
y x ?-??
?
?-??，，
整理得x 2－5x+15=0，
∵△=b 2－4ac=(－5)2－4×15=25－60=－35＜0， ∴一元二次方程x 2－5x+15=0无实数根，
即反比例函数y=－
6x 与一次函数y=2
5
x －2无交点， ∴当x ＜0时，反比例函数y=－6x 的图象在一次函数y=2
5x －2的图象的上方；
当x ＞0时，反比例函数y=－6x 的图象在一次函数y=2
5
x －2的图象的下方；
∴不等式a
kx b x
>+的解集是x ＜0．
【知识点】反比例函数与一次函数的综合应用
21．(2018山东菏泽，21，
10分)为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用右面的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）
（1）依据折线统计图，得到下面的表格：
其中a =________，b =________；
（2）甲成绩的众数是________环，乙成绩的中位数是________环； （3）请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
（4）该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率.
【思路分析】（1）观察统计图得出；（2）观察表格，根据众数和中位数定义得出；（3）先计算甲、乙的平均数，然后代入方差公式求出方差，比较即可得出；（4）列表或画树状图解答． 【解题过程】解：（1）8；7． （2）8；7.5． （3）x 甲=
110(8+9+7+9+8+6+7+8+10+8)=8，x 乙=110(6+7+9+7+9+10+8+7+7+10)=8， 2
S 甲=110[(8－8)2×4+(9－8)2×2+(7－8)2×2+(6－8)2+(10－8)2]=65，
2
S 乙=110[(7－8)2×4+(9－8)2×2+(10－8)2×2+(6－8)2+(8－8)2]=95
，
∵2
S 甲＜2
S 乙，∴甲的成绩更为稳定．
（4）设2名男同学和2名女同学分别为男a ，男b ，女a ，女b ，列表如下：
由表格看出共12种等可能的结果，其中1男1女的结果为8个， ∴恰好选到1男1女的概率：P=
812=2
3
． 【知识点】统计综合题；统计图表；众数；中位数；方差；概率；
22．(2018山东菏泽，22，10分)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，∠BAC=36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F.
（1）求DAF ∠的度数； （2）求证：2AE EF ED =?； （3）求证：AD 是⊙O 的切线.
【思路分析】（1）由等腰三角形的性质求出∠ACB 和∠ABC 的度数，由角平分线的定义和平行线的性质求出∠D 的度数，再由圆周角定理求出∠AFB 的度数，由外角的性质得出∠DAF 的度数；（2）由平行线的性质求出∠DAE=72°，从而求出∠EAF=∠D ，再由公共角，得出△AEF ∽△DEA ，得出比例式，从而得解；（3）连接OA ，OB ，由圆周角定理得出∠AOB 的度数，从而得出∠OAB 的度数，再得出∠OAD=90°，即AD 是⊙O 的切线． 【解题过程】解：（1）∵AB=AC ，∠BAC=36°， ∴∠ACB=∠ABC=72°． ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠CBD=36°． ∵AD ∥BC ，
∴∠D=∠CBD=36°．
∵∠AFB 和∠ACB 都是AB 所对的圆周角， ∴∠AFB=∠ACB=72°，
∴∠DAF=∠AFB －∠D=72°－36°=36°． （2）∵AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠C=72°， ∴∠EAF=36°=∠D ． 又∵∠AEF=∠DEA ， ∴△AEF ∽△DEA ， ∴
AE DE =EF
AE
，∴AE 2=EF·DE ． （3）连接OA ，OB ，
∵∠ACB=72°，∴∠AOB=144°． ∵OA=OB ， ∴∠OAB=
1
2
(180°－144°)=18°． ∵∠ABD=∠D=36°，
∴∠BAD=180°－2×36°=108°，
∴∠OAD=∠BAD －∠OAB=108°－18°=90°，
∴AD 是⊙O 的切线．
【知识点】平行线的性质；圆周角定理及推论；相似三角形的判定与性质；切线的判定；
23．(2018山东菏泽，23，10分)问题情境：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 剪开，得到ABC ?和ACD ?.并且量得AB=2cm ，AC=4cm. 操作发现：
（1）将图1中的ACD ?以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转α∠，使BAC α∠=∠，得到如图2所示的'AC D ?，过点C 作'AC 的平行线，与'DC 的延长线交于点E ，则四边形'ACEC 的形状是________.
（2）创新小组将图1中的ACD ?以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B 、A 、D 三点在同一条直线上，得到如图3所示的'AC D ?，连接'CC ，取'CC 的中点F ，连接AF 并延长至点G ，使FG AF =，连接CG 、'C G ，得到四边形'ACGC ，发现它是正方形，请你证明这个结论. 实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将ABC ?沿着BD 方向平移，使点B 与点A 重合，此时A 点平移至'A 点，'A C 与'BC 相交于点H ，如图4所示，连接
'CC ，试求tan 'C CH ∠的值．
【思路分析】（1）先证明四边形ACEC′是平行四边形，在由一组邻边相等得出是菱形；（2）由对角线互相平分，得出四边形'ACGC 是平行四边形，再由一组邻边相等得出平行四边形
'ACGC 是菱形，最后证明∠CAC′=90°，即可得出菱形'ACGC 是正方形；
（3）得出∠ACB=30°，∠CHC′=90°，再由含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出HC 和HC′的长，
进而求出tan 'C CH ∠的值． 【解题过程】解：（1）菱形．
理由：由题意得∠CAC′=∠BAC=∠DC′A=∠α， ∴C′E ∥AC ． ∵CE ∥AC′，
∴四边形ACEC′是平行四边形． ∵AC=AC′，
∴平行四边形ACEC′是菱形．
（2）由题意得CF=C′F ，FG AF =， ∴四边形'ACGC 是平行四边形． ∵AC=AC′，
∴平行四边形'ACGC 是菱形． ∵B 、A 、D 三点在同一条直线上， 又∵∠BAC+∠DAC′=90°， ∴∠CAC′=90°，
∴菱形'ACGC 是正方形． （3）∵AB=2cm ，AC=4cm ， ∴sin ∠ACB=
AB AC =24=1
2
， ∴∠ACB=30°．
∴∠ACB=∠DBC′=30°，∠BAC=60°， ∴∠AHB=∠BHC=∠CHC′=90°． ∵AB=2cm ，AC=4cm ，
∴．
在Rt △BHC 中，∠BCH=30°，
∴BH=
1
2
，HC=3cm ，
∴HC′=BC′－BH=(4，
∴tan ∠C′CH=
HC HC
′
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；含30°
角的直角三角形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理；
24．(2018山东菏泽，24，10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线2
5y ax bx =+-交y 轴于点A ，交x 轴于点(5,0)B -和点(1,0)C ，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D.
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求EAD ?的面积； （3）若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，ABP ?的面积最大，求出此时点P 的坐标和ABP ?的最大面积．
【思路分析】（1）方法1：代入(5,0)B -和(1,0)C ，得出关于a ，b 的方程组，解方程即可得出抛物线的解析式；方法2：设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x －1)，代入A(0，－5)，得出a 的值，从而得出抛物线的表达式；（2）由轴对称的性质得出点E 到AD 的距离，把y=－5代入抛物线的表达式，得出AD 的长，利用三角形面积公式求出△EAD 的面积；（3）作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，先求出直线AB 的表达式，设点P 的横坐标为m ，则P(m ，m 2+4m －5)，Q(m ，－m －5)，然后表示出PQ 的长；再设ABP ?的面积为S ，求出S 关于m 的二次函数，利用配方法求出S 的最大值及点P 的坐标．
【解题过程】（1）方法1：把(5,0)B -和(1,0)C 代入2
5y ax bx =+-，得
0255505a b a b =--??
=+-?，，解得14.a b =??=?
，
∴抛物线的表达式为y=x 2+4x －5．
方法2：∵抛物线与x 轴交于(5,0)B -和(1,0)C ，
∴设抛物线的表达式为y=a(x+5)(x －1)， 又∵抛物线与y 轴交于A 点，∴A(0，－5)， 把A(0，－5)代入y=a(x+5)(x －1)，得 －5=－5a ， ∴a=1，
∴抛物线的表达式为y=(x+5)(x －1)=x 2+4x －5．
（2）∵A(0，－5)，AD ∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上， ∴点E 的纵坐标为5，∴点E 到直线AD 的距离为10． 把y=－5代入y=x 2+4x －5，得 －5=x 2+4x －5，
解得x 1=－4，x 2=0， ∴D(－4，－5)，AD=5． ∴S △EAD =
1
2
×4×10=20． （3）设直线AB 的表达式为y=kx+b ， 把(5,0)B -和A(0，－5)代入，得
505k b b -+=??
=-?，，解得15k b =-??=-?
，
. ∴直线AB 的表达式为y=－x －5． 设点P 的坐标为(m ，m 2+4m －5)，
作PQ ∥y 轴，交直线AB 于点Q ，∴Q(m ，－m －5)． ∵点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点， ∴PQ=－m －5－(m 2+4m －5)=－m 2－5m ． 设ABP ?的面积为S ， ∴S=S △APQ +S △BPQ =12×(－m 2－5m)×(－m)+12×(－m 2－5m)×(m+5)=－52(m+52)2+1258
， ∴当m=－
5
2时，S 最大， 即当点P(－52，－35
4
)时，ABP ?面积最大，最大面积为1258．
【知识点】二次函数的综合题；动点问题；轴对称；