2021届湖南省长郡中学高三入学摸底考试 数学 Word版含答案

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长郡中学2021届高三开学摸底考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只需上交答题卡

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{x ∈N|12

<2x ＋1<16}，B ＝{x|x 2－4x ＋m ＝0}，若1∈A ∩B ，则A ∪B ＝ A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}

2.已知复数z 满足z(1＋2i)＝|4－3i|(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为

A.－2

B.－2i

C.1

D.i

3.f(x)＝1cosx

x 的部分图象大致是

4.饕餮(t āo ti è)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期。有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为

A.1

2

B.

1

4

C.

1

16

D.

1

8

5.已知椭圆C：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的右焦点F，点P在椭圆C上，点Q在圆E：(x＋3)2

＋(y－4)2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|－|PF|的最小值为56，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为

A.

2

21

2

x

y

+= B.

2

21

4

x

y

+= C.

22

1

43

x y

+= D.

22

1

42

x y

+=

6.命题p：f(x)＝x＋alnx(a∈R)在区间[1，2]上单调递增；命题q：存在x∈[2，e]，使得

1 ln

x

x

-

－

e＋4＋2a≥0成立(e为自然对数的底数)，若p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是

A.(－2，－3

2

) B.(－2，－

3

2

)∪[－1，＋∞) C.[－

3

2

，－1) D.(2，－

3

2

)∪[1，＋∞)

7.已知A(2，1)B(2

3

，0)，C，D四点均在函数f(x)＝log2

ax

x b

+

的图象上，若四边形ABCD为

平行四边形，则四边形ABCD的面积是

A.26

5

B.

26

3

C.

52

5

D.

52

3

8.设数列{a n}的前n项和为S n，当n∈N*时，a n，n＋1

2

，a n＋1成等差数列，若S n＝2020，且a2<3，

则n的最大值为

A.63

B.64

C.65

D.66

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，右图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图。则

A.2022年我国5G 用户规模年增长率最高

B.2022年我国5G 用户规模年增长户数最多

C.从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降

D.这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差

10.如图已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤2

π)的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，BC 2BD =，∠OCB ＝3

π，|OA|＝2，|AD|＝2213。则下列说法正确的有

A.f(x)的最小正周期为12

B.φ＝－

6π C.f(x)的最大值为163

D.f(x)在区间(14，17)上单调递增 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在直线l 上，则

A.B 1C//l

B.B 1C ⊥l

C.点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度

D.直线BM 与直线CD 所成角的余弦值的最大值是53

12.若存在实常数k 和b ，使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F(x)≥kx ＋b 和G(x)≤kx ＋b 恒成立，则称此直线y ＝kx ＋b 为F(x)和G(x)的“隔离直线”，已知函数f(x)＝x 2(x ∈R)，g(x)＝1x

(x<0)，h(x)＝2elnx(e 为自然对数的底数)，则 A.m(x)＝f(x)－g(x)在x ∈(

0)内单调递增 B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为－4

C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[－4，1]

D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y ＝－e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n 种方法，则(2x ＋

1x

)n 展开式的常数项为 。(用数字作答)

14.设a ，b ，c 为单位向量，向量a 与b 的夹角为120°，则(a －c)·(b －c)的取值范围是 。

15.已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB|＝2，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线y ＝1相切。若存在定点P ，使得当A 运动时，|MA|－|MP|为定值，则点P 的坐标为 。

16.在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC(∠BPC<

4

)，M ，N 分别为侧棱PA ，PC 上的动点，设直线MN 与平面PAB 所成的角为α。当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为 。 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分10分)

在①数列{a n }为等差数列，且a 3＋a 7＝18；②数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＝64，a 2a 3<0；③S n －1＝a n －1(n ≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答。

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1， 。

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)是否存在正整数k ∈{8，9，10}，使S k >512，若存在，求出相应的正整数k 的值；若不存在，请说明理由。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18.(本小题满分12分)

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，若sin 2A

＋sin2C－sin2B＝2

3

sinAsinC，c＝2。

(I)求sinB的值；

(II)设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC的面积为22

3

，求

sin

sin

α

β

的值。

19.(本小题满分12分)

据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题(注：每组数据取区间的中点值)：

(1)由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ近似为样本的标准差s，并已求得s≈10.03。记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54，80.63]之外的包装胶带个数，求P(X ＝1)及X的数学期望(精确到0.001)；

(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位：元)的关系如下表所示：(t∈(1，4))

假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内)，问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?试说明理由。

参考数据：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

20.(本小题满分12分)

已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是棱A1B1，AB的中点，点A1

在底面投影为AC 边的中点O ，A 1C ∩AC 1＝P ，A 1F ∩AE ＝G 。

(1)证明：PG//平面A 1B 1C 1；

(2)若AB ＝6，AA 1＝5，点M 为棱A 1B 1上的动点，当直线AM 与平面A 1FC 所成角的正弦值2117

M 的位置。 21.(本小题满分12分)

已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于D ，E 两点，且|DE|＝4。

(1)求抛物线C 的方程；

(2)设直线l 过点A(2，0)且与抛物线C 交于P ，Q 两点，点R 在抛物线C 上，点N 在x 轴上，NP NQ NR 0++=，直线PR 交x 轴于点B ，且点B 在点A 的右侧，记△APN 的面积为S 1，△RNB 的面积为S 2，求

12

S S 的最小值。 22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数。

(1)若关于x 的不等式mf(x)≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)已知正数a 满足：存在x ∈[1，＋∞)，使得f(x 0)