高三数列综合专题复习

高三数列综合专题复习 班级 姓名 探究点3 数列与函数、不等式的综合问题

1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *.

(1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？

(2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列????

??1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值．

2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝a n a n ＋1

，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．

3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列；

(2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；

(3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围．

[思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1

4.已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N ，都有0n a >，且()2

3331212n n a a a a a a +++=+++． （1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +??????

的前n 项和为n S ，不等式()1log 13

n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．

5.已知曲线C ：440xy x -+=，数列{}n a 的首项14a =，且当2n ≥时,点1(,)n n a a -恒在曲线C 上，数列{}n b 满足12n n

b a =-.

（1）试判断数列{}n b 是否是等差数列？并说明理由；（2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（3）设数列{}n c 满足21n n n a b c =，试比较数列{}n c 的前n 项和n S 与2的大小.

6.已知函数)(x f 满足：对任意的0,≠∈x R x ，恒有x x

f =)1

(成立，数列}{}{n n b a 、满足1,111==b a ，且对任意+∈N n ，均有.1,2)()(11n n n n n n n a b b a f a f a a =-+=++ ( I )求函数)(x f 的解析式; ( II )求数列}{}{n n b a 、的通项公式; (III)对于]1,0[∈λ，是否存在+∈N k ，使得当k n ≥时，)()1(n n a f b λ-≥恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由.