余数性质及同余定理(B级)

一、 带余除法的定义及性质

1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r ,

0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商

(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商

一个完美的带余除法讲解模型:如图

这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

2. 余数的性质

⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数；

⑵ 余数小于除数．

一、 余数定理：

1.余数的加法定理

a 与

b 的和除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为

2

2.余数的加法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝

2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

余数性质及定理 知识框架

例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4

3.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．

二、同余定理

1、定义

整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）

2、同余的重要性质及举例。

〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；

〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）

〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；

〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）

〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；

〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）

其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"

注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：

〈1〉用2来将整数分类，分为两类：

1，3，5，7，9，……（奇数）；

0，2，4，6，8，……（偶数）

〈2〉用3来将整数分类，分为三类：

0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）

1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）

2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：

0（mod6）：0，6，12，18，24，……

1（mod6）：1，7，13，19，25，……

2（mod6）：2，8，14，20，26，……

3（mod6）：3，9，15，21，27，……

4（mod6）：4，10，16，22，29，……

5（mod6）：5，11，17，23，29，……

一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相同。

同余在解答竞赛题中有着广泛的应用．在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法．

【例 1】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．

【巩固】 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求

这2个自然数各是多少？

【例 2】 有一个整数，用它去除73，112，165所得到的3个余数之和是60，那么这个整数是______。

【巩固】 用自然数n 去除65，94，129得到的三个余数之和为30，那么n =________．

例题精讲

重难点

【例 3】 求89

143除以7的余数．

【巩固】 2013"2"2222 个除以13所得余数是？

【例 4】 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都

是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?

【巩固】 有三所学校，高中A 校比B 校多10人，B 校比C 校多10人．三校共有高中生2196人．有一所

学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的1.5倍；还有一所学校高中、初中人数相等．三所学校总人数是5480人，那么A 校总人数是________人．

【例5】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

【巩固】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2

a+，则这个自然数是多少？

a+，5

【例6】有这样一类2009位数，它们不含有数字0，任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都有一个约数和20相差1，这样的2009位数共有________个．

【巩固】在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变．问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?

【例7】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？

【巩固】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是1

a-，求该自然数的值．

a-，2a，31

【例8】已知n是正整数，规定!12

，

n n

=???

令1!12!23!32007!2007

m=?+?+?++?

，则整数m除以2008的余数为多少？

【巩固】已知n是正整数，规定!12

，

=???

n n

令3!34!45!52012!2012

，则整数Q除以2013的余数为多少？

Q=?+?+?++?

【例 9】 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余

数，则这个自然数是多少？

【巩固】 两位自然数ab 与ba 除以7都余1，并且a b >，求ab ba ?．

【例 10】 设n 为正整数，2004n k =，k 被7除余数为2，k 被11除余数为3，求n 的最小值．

【巩固】 试求不大于100，且使374n n ++能被11整除的所有自然数n 的和．

课堂检测

【随练1】 2024除以一个两位数，余数是22．求出符合条件的所有的两位数．

【随练2】 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？

【随练3】

20032与22003的和除以7的余数是________．

【随练4】 从1，2，3，4，…，2007中取N 个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除．N 最大

为多少？

【随练5】

M 、N 为非零自然数，且20072008M N +被7整除。M N +的最小值为 。

【随练6】 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这

三个数是_______，_______，_______。

【作业1】 一个两位奇数除1477，余数是49，那么，这个两位奇数是多少？

【作业2】 大于35的所有数中，有多少个数除以7的余数和商相等？

【作业3】 一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【作业4】 三个数：23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是 。

【作业5】 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

家庭作业

【作业6】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？

【作业7】有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第2013个数被3除所得的余数是多少？

【作业8】一个七位整数，其中任何3 个连续的数码都构成1 个三位数，且构成的三位数能被13 或11 整除，这个七位数最大是？

学习心得