2020届山东省齐鲁名校高三第六次调研考试数学试卷

2020届山东省齐鲁名校高三第六次调研考试

数学试卷

★祝考试顺利★ 注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|lg 0},{|21}x A x x B x =≤=≤则A B =（ ） A.(,1)-∞ B.(,1]-∞ C.(1,)+∞ D.[1,)+∞

2. =-+a i i

ai

则实数是虚数单位）为纯虚数（已知

,11（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-

3.△ABC 中，AB =2，AC=3，∠B =60°，则cos C =（ ）

A.

B. C. D.

64. 已知平面向量a =（2，-1），b =（1，1），c =（-5，1），若()a kb +∥c ，则实数k 的值为（ ） A ．2 B.

12 C.114 D.114

- 5.已知13

241,log 3,log 72a b c ??

=== ???

， 则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c

B ．b ＜a ＜c

C ．c ＜a ＜b

D ．a ＜c ＜b

6.

若

22cos()

4

θθπ

θ=+，则sin 2θ=（ ）

A ．

13 B ．23 C. 23- D ．13

- 7.“a ≤－1”是“函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1

x

在[1，＋∞)上为单调函数”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.已知函数()4f x x =+，x x x g 2)(2

-=，(),

()()()(),

()()

f x f x

g x F x g x f x g x ≥??=?

最值是（ ）

A ．最大值为8，最小值为3；

B ．最小值为-1，无最大值；

C ．最小值为3，无最大值；

D ．最小值为8，无最大值．

9.已知△ABC 的边AB ，AC 的长分别为2，3，∠BAC =120°，则△ABC 的角平分线AD 的长为（ ）

A.

B.

35

C.

D.

65

10.已知函数)2

||,0,0)(sin()(π

?ω?ω<>>+=A x A x f 的最大值为2，其图象相邻两条对

称轴之间的距离为

2

π且f (x )的图象关于点)0,12(π

-对称，则下列判断正确的是（ ）

A ．要得到函数f (x )的图象，只需将x y 2cos 2=的图象向右平移6

π

个单位

B ．函数f (x )的图象关于直线π12

5

=x 对称

C ．当]6

,6[π

π-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2-

D ．函数)(x f 在]3

,6[π

π上单调递增

11.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

212

152–lg E m m E =

，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A. 1010.1

B. 10.1

C. lg10.1

D. 10–10.1

12.已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()e 23x f x x f x '=++，

()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）

A ．()

4,1-

B ．(1,4)-

C ．(,4)(1,)-∞-+∞U

D ．(,1)

(4,)-∞-+∞

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量a ，b 满足22a b ==，，且()

2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为

14.函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(2)f x +关于2x =-对称，若(2)1f -=，则

(2)1f x -≤的x 的取值范围是

15.已知函数y =log a （x +3）﹣1（a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0

上，其中mn ＞0，则

的最小值为

16.函数ln 1y x =-的图象与函数()2cos ,24y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于 .

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题10分)已知等差数列{a n }中，17a =-，315S =-． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．

18.(本题12分)将函数3sin 2y x =的图像向左平移

6

π

个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图像. （1）求()f x 的单调递增区间；

（2）若对于任意的,22x ππ??

∈-????

，不等式()3f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.

19.(本题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知满足

(2)cos cos a c B b C -=.

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若2b =，求△ABC 的面积的取值范围．

20.(本题12分)已知a R ∈，设函数()3ln 1f x x a x =-+ （1）若3a e =，求函数f (x )在[0,2]e 上的最小值； （2）讨论函数f (x )的单调性.

21.(本题12分)已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x 千件能全部销售完，每千件的销售收入

为g （x ）万元，且g （x ）= ???

????>-≤<-)10x (x 32000x 168)10x 0(x 30

15.1322

（Ⅰ）写出月利润y （万元）关于月产量x （千件）的函数解析式；

（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．

22.(本题12分)已知3

2

()ln ,()2f x x x g x x ax x ==-++．

(1).如果函数()g x 的单调递减区间为1(,1)3

-，求函数()g x 的解析式； (2).在(1)的条件下，求函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程； (3).若不等式2()()2f x g x ≤'+恒成立，求实数a 的取值范围．

数学试题答案

一、BADBD CACDA AA 二、13. -1 14. [0,4] 15.8 16.6 三、

17.（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，

因为32315S a ==-，所以25a =-，又17a =-，所以公差2d =， 所以(1)n n a a n d =+-=72(1)29n n -+-=-． （2）由（1）知17a =-，2d =， 所以1(1)2n n n S na d -=+

=(1)

72(8)2

n n n n n --+?=- 18.（1）函数3sin 2y x =的图像向左平移

6π

个单位长度可得3sin 2+3y x π??= ??

?， 然后将3sin 2+

3y x π??

= ??

?

上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得()3sin 3f x x π?

?

=+

??

?

令22,2

3

2k x k k π

π

π

ππ-

≤+

≤+

∈Z ，即52,2,66x k k k ππππ?

?∈-+∈???

?Z ， 故()f x 的单调递增区间为52,2,66k k k ππππ??

-

+∈???

?

Z . （2）因为,22x ππ??

∈-

????

，所以5636x πππ-≤+≤，

所以函数()f x 在,22ππ??

-????

上的最大值为3，此时32x ππ+=，即6x π=，

最小值为32-

，此时36x ππ+=-，即2

x π

=-. 对于任意的,22x ππ??

∈-

???

?，不等式()3f x m -<恒成立， 即3()3m f x m -<<+恒成立，()()max min 3

3f x m f x m ?<+??>-??

，

所以33

332m m <+???->-??

，302m <<，故实数m 的取值范围为30,2??

???。

19.（Ⅰ）

()2cos cos a c B b C -=

由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=

()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A ∴=+=+=

()0,πA ∈ s i n 0A ∴≠ 1

c o s 2

B ∴= ()0,B π∈ 3

B π

∴=

（Ⅱ）由正弦定理得：sin sin b A a B

=

a A

∴=

=

同理：c C =

1s 1s in sin 233in 223

ABC A C A ac C S B ?=??=∴=

?

21sin cos sin sin 33322C C C C C π???

=-=+? ??????

1112cos 2sin 24462C C C π??

??=

-+=-+? ????????? 203C π<< 72666

C πππ

∴-

<-< 1sin 2126C π?

?∴-

<-≤ ???

10s i n 23

62C π?

??∴<-+≤ ???

???

ABC ?∴

的面积的取值范围为：(

20.（1）若3a e =，则()33ln 1f x x e x =-+,所以，33()

()3e x e f x x x

-'=-= 所以，()f x 在(0,)e 上单调递减，在(, 2]e e 上单递增. 故当x e =时，函数f (x )取得最小值，最小值是()1f e =

（2）由题意可知，函数f (x )的定义域是(0,)+∞，又3()3a x a f x x x

-'=-= 当0a ≤时，()0f x '>，函数f (x )在(0,)+∞上单调递增； 当0a >时，

令3()0x a f x x -'=

>解得，3a

x >，此时函数f (x )是单调递增的 令3()0x a f x x -'=<解得，03

a

x <<，此时函数f (x )是单调递减的 综上所述，当0a ≤时，函数f (x )的单调递增区间是(0,)+∞

21.（Ⅰ）当0＜x≤10时，y=x （13.5﹣x 2）﹣20﹣5.4x=8.1x ﹣x 3﹣20，

当x ＞10时，y=（

﹣﹣

）x ﹣20﹣5.4x=148﹣2（

+2.7x ），

∴y=，

（Ⅱ）①当0＜x≤10时，y′=8.1﹣

x 2，令y′=0可得x =9，

x ∈（0，9）时，y′＞0；x ∈（9，10]时，y′＜0， ∴x=9时，y max =28.6万元；

②当x ＞10时，y=148﹣2（+2.7x ）≤148﹣120=22（万元）

（当且仅当x=

时取等号）…

综合①②知：当x=9时，y 取最大值…

故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大。

22.(1).2

()321g x x ax '=+-由题意2

3210x ax +-=的解集是:1(,1)3

-

即2

3210x ax +-=的两根分别是1,13

-．

将1x =或13

-代入方程2

3210x ax +-=得1a =-．∴32

()2g x x x x --=+．

(2).由1知：2

()321g x x x -'=-，∴(1)4g '-=，

∴点(1,1)P -处的切线斜率(1)4k g ='-=，

∴函数()y g x =的图象在点(1,1)P -处的切线方程为：14(1)y x -=+，即450x y -+=． (3).∵2()()2f x g x ≤'+, 即：22ln 321x x x ax ≤++对(0,)x ∈+∞上恒成立 可得31

ln 22a x x x

≥-

-

对(0,)x ∈+∞上恒成立 设31()ln 22h x x x x =-

-，则22

131(1)(31)

'()222x x h x x x x --=--=-

令'()0h x =，得1x =或1

3

x =-（舍）

当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<

∴当1x =时，()h x 取得最大值﹣2 ∴2a ≥-．a ∴的取值范围是[2,)-+∞．