电磁学习题答案1-3章
第一章 习题一
1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。
2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。
3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C )
(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小
4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离R 。 解法一：2
2
02
02141
41
a
R q
πεr
q
πεE E +=
=
=
21E E E
+=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+= 2
2
2
2
042
a
R R a
R q
πε++=
(
)
2
/322
02a
R R
πεq +=
E 有极值的条件是：
()
0222
/52
2220=+-=
a R R
a πεq dR
dE
即 022
2=-R a ，解得极值点的位置为：a R 2
2=
∵ (
)
2
/722
2
202
2
3223a
R a
R πεqR dR
E
d +-=
，而
03984
02
/222
<-
==
a
πεq dR
E d a R
∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 2
2=
且 ()
2
02
/3220m a x 332/2
/
2a
πεq a
a a πεq
E =
+=
解法二：θa q
πεr
q
πεE E 2
2
02
021sin 4141=
=
=，21E E E
+=
+q
+q
θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=θθa q
πεcos sin 212
2
0=
)cos (cos 213
2
0θθa q
πε-=
E 有极值的条件是：0)sin 3sin 2(23
2
0=-=
θθa
πεq θ
d dE
E 有极值时的θ满足：3
1cos 3
2sin 1cos 0sin 2211=
=
==θ，θ；θ，θ
)cos 7cos 9(2)cos sin 9cos 2(23
2
02
2
02
2
θθa
πεq θθθa
πεq θ
d E d -=
-=
0)cos 7cos
9(22
0113
2
022
1
>=
-=
=a
πεq θθa
πεq
θ
d E d θθ
032)cos 7cos
9(22
0223
2
0222
<-
=-=
=a
πεq θθa
πεq θ
d E d θθ
可见 θ = θ2时，E 有极大值。由 θ
θa
R θsin cos cot =
=
得a θ
θR sin cos =
∴ E 有极大值时a a θθR 2
2sin cos 2
2=
=
而2
023
22
0max 33)cos (cos 21
a
πεq θθa
q
πεE =
-=
5、内半径为R 1，外半径为R 2的环形薄板均匀带电，电荷面密度为σ，求：中垂线上任一P 点的场强及环心处O 点的场强。
解：利用圆环在其轴线上任一点产生场强的结果
2
/32
2
0)
(4R x Qx
E +=
πε
任取半径为r ，宽为dr 的圆环，其电量为 dq = σds = 2πr σdr
圆环在P 点产生的场强为：2
/32
2
02
/32
2
0)
(2)
(4r x εxrdr σr x πεxdq
dE +=
+=
环形薄板在P 点产生的总场强为：)11(
22
2
2
2
1
2
21
R x R x εx σdE E R R
+-
+==?
若σ > 0，则E 背离环面；若σ < 0，则E
指向环面。
在环心处x = 0，该处的场强为 E 0=0
6、一无限大平面，开有一个半径为R 的圆洞，设平面均匀带电，电荷面密度为σ，求这洞的轴线上离洞心为r 处的场强。 解：在上题中，令R 1=R ，R 2→∞，x = r 则得结果
2
2
2R
r εr σE +=
第一章 习题二
1、均匀电场的场强E
与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强
度通量Φ= πR 2
E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q 不改变E 分布，则通
过半球面的电场强度通量Φ= πR 2E ±q /2ε0。 2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑??=
?0/εq s d E i S
；
其物理意义是 静电场是有源场 。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E
的通量是q /6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在
顶角的三个面E
的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E 的通量是q /8ε0。 4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )
(A) (B) (C) (D) 5、应用高斯定理求场强E 时，要求E
的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )
(A)正确 (B)错误 (C)无法判断
6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )
(A) 均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子
(D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )
(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零； (B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零； (C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零； (D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
()0212/εσσ+()0
21/ε
σσ+()0
212/εσσ-()021/εσσ-
8、一球体半径为R ，均匀带正电量为Q ，求球体内外的场强分布。
解：3
/43
R πQ ρ=
，电场分布具有球对称性。
在球体内外作以O 为心的高斯球面S ，其半径 为r ，则有：
∑????=
==?S
i S
S
εq E r πds E s d E 02
/4
∴ ∑=
S
i q r
πεE 2
041
(1) r < R ，
Q R
r R πQ r πρr πq S i
3
33
3
3
3/43
43
41
=
=
=∑， ∴ r e R
πεrQ E
3
014=
(2) r > R ， Q q S i =∑2
， ∴ r e r
πεQ E
2
024=
∴
,电荷面密度为σ，半径为R ，求圆柱面内外的场强分布。
r ，高为h 的同轴圆柱面为高斯面,根据
?????????+
?+
?=
?侧面
下底
上底S d E S d E S d E S d E S
rhE
πdS E EdS 2===
??
??侧面
侧面
(1) r < R 时,
∑=0i
q
由高斯定理 0/20
===∑εq rhE πΦi
得 0=E
σi ，由高斯定理 00/2/2εσRh πεq rhE πΦi ===∑
得r εσR E 0/=
)
( 420R r ，e r
πεQ r > )( 43
0R r ，e R πεrQ r < =
E )
( 0R r ，r
εσR >)
( 0R r ，<=
E ∴
第一章 习题三
1、三个相同的点电荷q ，分别放在边长为L 的等边三角形的三个顶点处，则三角形中心的电势)4/(330L q U πε=，电场强度大小0=E ，将单位正电荷从中心移到无限远时，电场力作功)4/(330L q A πε=。
2、半径为R 的均匀带电细圆环，电荷线密度为λ，则环心处的电势02/ελ=U ，场强大小0=E 。
3、静电场中某点的电势，其数值等于单位正电荷在该处的电势能，或把单位正电荷从该点移到电势零点过程中电场力所作的功。
4、下列各种说法中正确的是( B )
(A)电场强度相等的地方电势一定相等；(B)电势梯度较大的地方场强较大； (C)带正电的导体电势一定为正； (D)电势为零的导体一定不带电。 5、在静电场中下面叙述正确的是( B )
(A)电场强度沿电场线方向逐点减弱； (B)电势沿电场线方向逐点降低。 (C)电荷在电场力作用下定沿电场线运动；(D)电势能定沿电场线方向逐点降低。 6、真空中产生电场的电荷分布确定以后，则( B )
(A)电场中各点的电势具有确定值; (B)电场中任意两点的电势差具有确定值； (C)电荷在电场中各点的电势能具有确定值。
8、球壳的内半径为R 1，外半径为R 2，壳体内均匀带电，电荷体密度为ρ，A 、B 两点分别与球心0相距r 1和r 2，(r 1＞R 2，r 2＜R 1 ，求A 、B 两点的电势。 解：利用均匀带电球壳产生电势的结果和电势叠加原理计算作一半径为r ， 厚度为dr 的球壳，其电量为
dr
r dq ρπ2
4=
(1) A 点处，r 1>R 2时，)4/(101
r dq dU πε=
(
)1
03
1
322
1
01132
1
2
1
r εR R ρdr r r ερdU U R R
R R
-=
=
=
??
(2) B 点处，r 2 ( )0 2 1 220 2 222 1 2 1 εR R ρrdr ερdU U R R R R -= = = ?? 9、一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为ρ=Ar(r ＜R)，式中A 为常数，试求： (1)圆柱体内，外各点场强大小分布； (2)选距离轴线的距离为R 0(R 0＞R)处为电势零点，计算圆柱体内，外各点的电势分布。 解：作一半径为r ，高为h 的同轴圆柱面为高斯面 ?????????+ ?+ ?= ?= 侧面 下底 上底 S d E S d E S d E S d E ΦS rhE πdS E EdS 200==+ +=?? ??侧面 侧面 由高斯定理：∑?? = ?=S i S q εS d E Φ0 1 (1) r < R ，r d r Ah πr hd r πAr τd ρdq ''=''==22)2)(( 3 2 3 22Ahr πr d r Ah πdq q r S i = ''== ??∑ 3 322Ahr πεrhE πΦ= =， ∴ )( ，30 2 R r εAr E <= r > R ，3 23 22AhR πr d r Ah πdq q R S i = ''==??∑ 3 322AhR πεrhE πΦ= =， ∴ )( ，303 R r r εAR E >= (2) r < R ， ?????+ = + = ?= 3 2 33R R R r R R R r R r r dr εAR dr r εA Edr Edr l d E U R R εAR r R εA 00 3 3 30 ln 3)(9+ -= r > R ， r R εAR r dr εAR Edr l d E U R r R r R r 00 3 3 ln 330 = = = ?= ??? S 第一章 习题四 1、真空中 半径为R 的球体均匀带电，总电量为q ，则球面上一点的电势U =R πεq 04/；球心处的电势U 0=R πεq 08/3。 2、点电荷Q 被闭合曲面S 所包围，从无穷远处引入另一点电荷q 至曲面外一点，如图所示。则引入q 前后：( B ) (A)曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强不变； (B)曲面S 的电通量不变，曲面上各点场强变化； (C)曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强不变； (D)曲面S 的电通量变化，曲面上各点场强变化。 3、选择正确答案：( B ) (A)高斯定理只在电荷对称分布时才成立。 (B)高斯定理是普遍适用的,但用来计算场强时,要求电荷分布有一定的对称性。 (C)用高斯定理计算高斯面上各点场强时，该场强是高斯面内电荷激发的。 (D)高斯面内电荷为零，则高斯面上的场强必为零。 4、一“无限长”均匀带电直线沿Z 轴放置，线外某区域的电势表达式为U ＝A ln(x 2+y 2) ，式中A 为常数，该区域电场强度的两个分量为： )/(22 2 y x Ax E x +-=，)/(22 2y x Ay E y +-= 。 5、如图，在真空中A 点与B 点间距离为2R ，OCD 是以B 点为中心，以R 为半径的半圆路径。AB 两处各放有一点电荷，带电量分别为+q 和-q ，求把另一带电量为Q(Q< 0)的点电荷从D 点沿路径DCO 移到O 点的过程中，电场力所做的功为 。 解：D 点的电势q R πεq R πεq V D 00434- =- = O 点的电势04400=- = R πεq R πεq V O Q 在D 点和O 点的电势能分别为 R πεW D 06=∴= -=O D W W A R πεQq 06/- 6、真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电量为q ，(1)试求在直杆延长线上距杆的一端距离为a 的p 点的电场强度和电势。(2)从电势的表示式，由电势梯度算出p 点的场强。 解：（1）L q /=λ，任取一小段x~x+dx dx dq λ=，2 02 044x dx x dq dE πελπε= = )(4/0L a a q dE E L a a +== ?+πε x dq dU 04πε= ，a L a L πεq a L a πελx πεdx λdU U L a a L a a += += = =?? ++ln 4ln 4400 (2) 设轴线上任一点到棒的右端的距离为x ，则x L x L πεq x U += ln 4)(0 而) (4)(0L x x πεq x U x E += ??- =，在P 点x=a ，) (40L a a πεq E += 7、如图所示，一均匀带电细棒弯成半径为R 的半圆，已知棒上的总电量为q ，试求(1)半圆圆心O 点的电势；(2)O 点的电场强度。 解：电荷线密度R πq λ/=，任取一小段圆弧dl ，其电量为 θd πq θRd R πq dl λdq = = = (1)dq 在O 点产生的电势R επθqd R πεdq dU 02 044= = 半圆在O 点产生的电势R πεq θd R επq dU U ππ02 /2 /02 44= = =??- (2) dq 在O 点产生的电场的大小2 02 2 044R επθqd R πεdq dE = = ，E d 的方向如图 2 024cos cos R επθd θq θdE dE x = =，2 02 4sin sin R επθd θq θdE dE y = = 2 02 2/2 /2 02 2cos 4R επq θd θR επq dE E ππx x = = = ??-, 0sin 42 /2 /2 02 == = ??-ππy y θd θR επq dE E ， i R επq j E i E E 2 02 2=+= P a q 第二章 习题一 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 2 04/r Q E πε=，球壳的电势R Q U 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 的高斯球面S,由高斯定理0 1 εq q dS E S +=??? ，根据导体静电平衡条件, 当a 。则0=???S dS E ，即01=+q q ,得q q -=1 根据电荷守恒定律,金属球壳上的电量为21q q Q += q Q q Q q +=-=∴12 (2)在内表面上任取一面元,其电量为dq ,在O 点产生的电势a dq dU o πε411= q 1在O 点产生的电势a q a q a dq dU U o o o πεπεπε4441111- ==== ? ? 内 内 (3) 同理，外球面上的电荷q 2在O 点产生的电势b q Q b q U o o πεπε4422+= = 点电荷q 在O 点产生的电势r q U o q πε4= ∴ O 点的总点势o q U U U U πε 41 210= ++=( b q Q a q r q ++ - ) 8、点电荷Q 放在导体球壳的中心，球的内、外半径分别为a 和b ，求场强和电势分布。 解：根据静电平衡条件，球壳内、外球面分别带 电量-Q 、Q 。其场强分布为: 2 014/ , r πεQ E a r =< , 2=< 2 034/ , r πεQ E b r => 电场中的电势分布： )111(4 ,03211b a r πεQ dr E dr E dr E U a r b b a a r +-= ++ = b πεQ dr E U b r a b 0324 ,= = < r πεQ dr E U b r r 0334 ,= = >?∞ 第二章 习题二 1、分子的正负电荷中心重合的电介质叫 无极分子 电介质，在外电场的作用下，分子正负电荷中心发生相对位移，形成 电偶极子 。 2、一平板电容器始终与端电压一定的电源相联，当电容器两极板间为真空时，电场强度为 0E ，电位移为0D ，而当极板间充满相对电容率为r ε的各向同性均匀电介质时，电场强度为E ，电位移为D ，则( B ) (A)00 , /D D E E r ==ε (B)00 , D D E E r ε== (C)000/ , /εεD D E E r == (D)00 , D D E E == 3、两个完全相同的电容器，把一个电容器充电，然后与另一个未充电的电容器并联，那么总电场能量将( C ) (A)增加 (B)不变 (C)减少 (D)无法确定 4、一空气平行板电容器，接电源充电后电容器中储存的能量为W 0，在保持电源接通的条件下，在两极板间充满相对电容率为r ε的各向同性均匀电介质，则该电容器中储存的能量W 为( A ) (A) 0W W r ε= (B) r W W ε/0= (C) 0)1(W W r ε+= (D) 0W W = 5、一平行板电容器，其极板面积为S ，间距为d ，中间有两层厚度各为d 1和d 2，相对电容率分别为εr 1和εr 2的电介质层（且d 1＋d 2 = d ）。两极板上自由电荷面密度分别为±σ，求： (1)两介质层中的电位移和电场强度； (2)极板间的电势差； (3)电容 解：(1) 电荷分布有平面对称性，可知极板间D 是均匀的，方向由A 指向B 。 1111 S ΔσS ΔD S d D S =?=??? ∴σD =1 012212 =+?-=???S ΔD S ΔD S d D S ∴σD D ==21 由222111 ， E εD σE εD === 得 2 02 221 01 11 r r εεσεD E εεσεD E = = = =， B 且有 1 21 22 1 r r εεεεE E == (2) 121120 12 11 1 d E d E l d E l d E V V d d d d B A +=?+ ?= -??+ ???? ??+=2211εd εd σ210211222 110)(r r r r r r εεεσ d εd εεd εd εσ+=???? ??+= (3) B A V V q C -= B A V V S σ-= 2 112210d εd εS εεεr r r r += 02 11221C d εd εd εεr r r r += 6、如图，在半径为a 的金属球外有一层外半径为b 的均匀电介质球壳，电介质的相对电容率为εr ，金属球带电Q ，求： (1)介质层内外的场强大小； (2)介质层内外的电势； (3)金属球的电势； (4)电场的总能量； (5)金属球的电容。 解：(1)电量Q 均匀分布在半径为a 的球面上，作一半径为r 的球面为高斯面，利用高斯定理可求得场强分布 r < a : E 1 = 0; a < r < b : 2 024r Q E r επε=; r > b : r Q E 034πε= (2) r < a : b Q b a Q dr E dr E dr E U r b b a a r 0032114)11 (4πεεπε+ - = + + = ???∞ a < r < b : b Q b r Q dr E dr E U r b b r 003224)11 ( 4πεεπε+ - = +=??∞ r > b : r Q dr E U r 03 34πε==?∞ (3)金属球的电势等于b πεQ b a επεQ U U r 0014)11(4+ -= =ab επεεa b Q r r 04)] 1([-+= (4) ab επεεa b Q dV E εdV E εεW r r b r b a 02 2 302208)] 1([2 12 1 -+= + = ??∞ 或 ab επεεa b Q ab επεεa b Q Q QU W r r r r 02 08)] 1([4)] 1([2 12 1-+= -+= = (5) b a a ab U Q C r r +-= = εεπε01 4 7、一球形电容器，内球壳半径为R 1外球壳半径为R 2，两球壳间充满了相对电容率为r ε的各向同性均匀电介质，设两球壳间电势差为U 12，求：(1)电容器的电容；(2)电容器储存的能量。 解：(1) 设内外极板带电量为±Q ，作与球壳同心的任意半径r 的高斯球面 由= = ?=?∑??q r πD S d D S 2 4 得 =D ∴ ∵ 2 1012124)(2 1 R R R R Q dr E U r R R επε-= ?= ? ∴ 1 22 1012 4R R R R U Q C r -==επε (2) 1 22 12 2102 1222 1R R U R R CU W r -= =επε Q ， ( R 1< r < R 2 ) 0， ( r > R 2 ) 0， ( r < R 1 ) r πQ 4， (R 1< r < R 2) 0， ( r > R 2 ) 0， ( r < R 1 ) r επεQ r 04， ( R 1< r < R 2 ) 0， ( r > R 2 ) 0， ( r < R 1 ) ==r εεD E 0 - 第二章 习题三 1、一个平行板电容器的电容值C ＝100Pf ，面积S ＝100cm 2，两板间充以相对电容率为εr ＝6的云母片，当把它接到50V 的电源上时，云母中电场强度大小E ＝9.42×103v/m ，金属板上的自由电荷量q ＝5.00×10-9C 。 2、一空气平行板电容器，电容为C ，两极板间距离为d ，充电后，两极板间相互作用力为F ，则两极板间的电势差为C Fd 2，极板上的电荷量大小为 FCd 2。 3、一平行板电容器，两极板间电压为U 12，其间充满相对电容率为εr 的各向同性均匀电介质，电介质厚度为d ，则电介质中的电场能量密度为 2 2 1202d U w r εε=。 4、如图在与电源连接的平行板电容器中，填入两种不同的均匀的电介质，则两种电介质中的场强相等,电位移不相等。(填相等或不相等) 5、平行板电容器在接入电源后,把两板间距拉大,则电容器( D ) (A)电容增大； (B)电场强度增大； (C)所带电量增大 (D)电容、电量及两板内场强都减小。 6、一真空平行板电容器的两板间距为d ，(1)若平行地插入一块厚度为d/2的金属大平板，则电容变为原来的几倍？(2)如果插入的是厚度为d/2的相对电容率为 εr =4的大介质平板，则电容变为原来的几倍？ 解:原电容器的电容d S εC 00= (1)电容器由两个电容器串联而成 1 01d S εC = ，2 02d S εC = ，(d 1+d 2=d /2) ??? ? ??+= += 2 0102 12 2 02 121d S εd S εd d S εC C C C C ) (2102 1212 2 0d d S εd d d d S ε+= 2 d /2 002 1022 C d S εd d S ε==+= (2) 由电荷分布的平面对称性可知电位移垂直极板从A 到B 在两极板间的三个区域分别作三个高斯柱面S 1、S 2、S 3。由D 的高斯定 理： 1111 S ΔσS ΔD S d D S =?=??? ， 012212 =+?-=???S ΔD S ΔD S d D S 033323 =+?-=???S ΔD S ΔD S d D S 得 σD D D ===321 0 11εσεD E == ，r r εεσεεD E 0022==，0 33εσεD E == 2/)(2/2211232110 d E d d E d E d E d E l d E U U d B A ++=++=?= -? S εεd εq εεd εσd εεσd εσr r r r r 00002)1(2)1(2 2+= += + = 00006.15 81 2)1(2C C C εεd εS εεU U q C r r r r B A == += += -= 7、两同心导体薄球面组成一球形电容器，内外半径分别为R 1和R 2，在两球面之间充满两种相对电容率分别为εr1和εr2的均匀电介质，它们的交界面半径为R （R 1 (1)两介质层中的电位移和电场强度； (2)两导体极板间的电势差； (3)该球形电容器的电容。 解：(1)由介质中的高斯定理得 两介质层中的电位移 )( , 4212 R r R r πq D <<= 由r εεD E 0=得两介质层中的电场强度 )( , 412 101R r R r επεq E r <<= ， )( , 422 202R r R r επεq E r <<= (2) 两导体极板间的电势差 - ?????+= + = ?= 2 1 2 1 2 1 2 2 02 1 0214 4R R r R R r R R R R R R r dr επεq r dr επεq dr E dr E l d E V ??? ? ??-+???? ??-= 220110114114R R επεq R R επεq r r ? ? ? ??????? ??-+???? ??-= 22 110 111111 4R R εR R επεq r r (3) 该球形电容器的电容 ?? ? ??????? ??-+???? ??-= = 22 11 111111 4R R εR R επεq q V q C r r ??? ? ??-+???? ??-= 22 110 111 1114R R εR R επεr r 021********) ()() (C R R R εR R R εR R R εεr r r r -+--= 8、求图中所示组合的等值电容，并求各电容器上的电荷。 解: F C C C μ6513223=+=+= 12 511123 1 123 =+ =C C C ，F C μ4.2123= F C C C μ4.51234=+= 22311U C U C =， )(100 21V U U =+ V U 601=， V U 402= )(10 4.24 111c U C Q -?== )(10 4.04 222c U C Q -?== )(10 0.24 233c U C Q -?== )(100.3444c U C Q -?== 。 。 C 2=1μF C 1=4μF C 3=5μF C 4=3μF ＋ － 100V 第三章 习题 1、把横截面积相同的铜丝和钨丝串联后与一电源联接成闭合电路，设铜丝和钨丝中的电场强度的大小分别为E 1和E 2；电流密度的大小分别为j 1和j 2；则有： E 1 ≠ E 2；j 1 = j 2(填= 或≠)。 2、把一根金属导线拉长为均匀细丝，其长度为原来的n 倍，则拉长的金属丝的电阻与原来金属导线的电阻之比是 n 2 。 3、在通电流的铜导线中，某点的电流密度矢量的方向是：（ B ） (A )该点自由电子的运动方向； (B )该点电场强度的方向； (C )该点电势梯度的方向 4、一横截面为S 的均匀铜线，表面镀有环形截面积亦为S 的均匀银层，在两端加上电压后，设铜线中的场强、电流密度和电流强度分别为E 1、j 1和I 1，而银层中相应的量为E 2、j 2和I 2，则( A ) (A )E 1=E 2，j 1≠j 2，I 1≠I 2 (B )E 1=E 2，j 1≠j 2，I 1=I 2 (C )E 1≠E 2，j 1=j 2，I 1≠I 2 (D) E 1≠E 2，j 1≠j 2，I 1≠I 2 5、电动势为ε，内电阻为r 的电源,与一可变电阻R 连接成闭合电路,则电源的端电压与外电阻的关系是V = R ε/(R +r ) ,当R = r 时,电源的输出功率为最大。 6、如图为复杂电路中的一段电路的情况， 则电路中BC 之间的电势差 U BC = 22 14 1εIr IR -+ 7、一电路如图，已知ε1=1V ，ε2=2V ，ε3=3V ，R 01=R 02=R 03=1Ω，R 1=1Ω，R 2=3Ω， 求：(1)通过各个电源的电流；(2)每个电源的输出功率。 解；根据基尔霍夫第一、二定律列方程 213I I I += 0)(202230323=-+-+εR I εR R I 0)(202210111=+--+εR I εR R I 代入数据得： R /2 ε2 R r r I C 0321=+--I I I (1) 解方程得 05432=-+I I (2) 01=I ，A I 12=，A I 13= 01221=+-I I (3) (2) 01=P ， )(12 022222W R I εI P =-=， )(22033333W R I I P =-=ε 8、如图所示，已知ε1=12V ，ε2=ε3=6V ，电源内阻不计，R 1=R 2=R 3=3Ω，电容C =5μF ，求： (1)通过电阻R 2的电流； (2)B 、D 两点的电势差； (3)电容器极板上的电量。 解：(1)A 3εR 3R 2BCA 回路中有电容C ，稳恒 电流不能通过。所以由闭合电路欧姆定律，通过R 2的电流为： )(1 3 36122 121A R R εεI =+-=+-= ，方向如图所示 (2)选DR 1ε1B 为电路顺序，由一段含源电路的欧姆定律： )(9123111V εIR U U D B -=-?=-=- (3)选A ε3R 3R 2B 为电路顺序，由一段含源电路的欧姆定律 ) (331623V IR εU U A B =?-=-=-)(10 5.1310 5)(5 6 库--?=??=-=A B U U C q ，C 的下极板带正电，上为负。 2 R 一、单选题 1、 如果通过闭合面S 的电通量e Φ为零，则可以肯定 A 、面S 没有电荷 B 、面S 没有净电荷 C 、面S 上每一点的场强都等于零 D 、面S 上每一点的场强都不等于零 2、 下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低 B 、沿电场线方向电势逐渐升高 C 、沿电场线方向场强逐渐减小 D 、沿电场线方向场强逐渐增大 3、 载流直导线和闭合线圈在同一平面，如图所示，当导线以速度v 向 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B 、有逆时针方向的感应电 C 、没有感应电流 D 、条件不足，无法判断 4、 两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+和σ-， 则P 点处的场强为 A 、02εσ B 、0εσ C 、0 2εσ D 、0 5、 一束α粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 A 、曲线1 B 、曲线2 C 、曲线3 D 、无法判断 6、 一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止 B 、顺时针转动 C 、逆时针转动 D 、条件不足，无法判断 7、 点电荷q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 A 、0 B 、0εq C 、04εq D 、0 6εq 8、 长直导线通有电流A 3=I ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动 B 、线圈向右运动 C 、线圈向上运动 D 、线圈向下运动 9、 关于真空中静电场的高斯定理0 εi S q S d E ∑=?? ，下述说确的是： A. 该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B. i q ∑是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的E 一定是电荷i q ∑激发的； σ- P 3 I 大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1、如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势 为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小与电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ=. (C) 204r Q E επ=,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ=,R Q U 04επ=. ［ ］ 2、一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O + 2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. ［ ］ 3、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面 向外为正)为 (A) πr 2B . 、 (B) 2 πr 2B . (C) -πr 2B sin α. (D) -πr 2B cos α. ［ ］ 4、一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的 霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . ［ ］ 5、两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以 自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势就是 (A) 绕x 轴转动. (B) 沿x 方向平动. (C) 绕y 轴转动. (D) 无法判断. ［ ］ y z x I 1 I 2 第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-?米时，相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少 解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ： （1） 根据库仑定律：r r q q K F ?22 1 =? 得：21 2221r r F F = （牛顿）） （） （4.01010560.12 12 2222112=??==--r r F F (2) 21 2 24r q K F = ∴ 21 9 4221 211109410560.14）（）（????±=± =-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑） 1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大 解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为 Q-q 。 根据库仑定律知，相互作用力的大小： 2 ) (r q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F 即：0)2(=-q Q r K ∴ Q q 2 1 =。 1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零 解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。 图 1．2．3 即： 41πε 2 0x q q = 041 πε )(220x L q q - =2 1x 2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得： )()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。时，0)12(<--=x L x 1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米） 解：根据库仑定律知： 121 1?r r Q q K F =? )?sin ?(cos 1121 1j i r Q q K αα-= 2 28 1092.01.010 10109+???= --???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i =j i ?100.8?1061.187--?-? 如图所示，其中 2 1 21211 1) (cos y x x += α 2121 211 1) (sin y x y += α 同理：)?sin ?(cos 2222 12j i r Q q K F αα+?= ? 2281092.01.01010109+???=--×???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为η，则离这带电线的距离分别为1r 和2r 的两点之间的电势差是（ ）。 2、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的 空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷， 如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的 场强（ ）。 3、在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势（ ）。 4、有三个一段含源电路如图所示， 在图（a ）中 AB U =( )。 在图（b ）中 AB U =( )。 在图（C ）中 AB U =( )。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、在磁感应强度为B 的水平方向均匀磁场中，一段质量为ｍ，长为Ｌ的载流直导线沿 竖直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与B 正交，且保持水平。则导线 下落的速度是（ ） 7、一金属细棒OA 长为L ，与竖直轴OZ 的夹角为θ，放在磁感 应强度为B 的均匀磁场中，磁场方向如图所示，细棒以角速度ω 绕OZ 轴转动（与OZ 轴的夹角不变 ），O 、A 两端间的电势差 （ ）。 8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S 为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。 9、 B H r μμ= 01 只适用于（ ）介质。 10、三种理想元件电压电流关系的复数形式为（ ）， （ ）， （ ）。 一、选择题（每小题2分，共20分） 1、在用试探电荷检测电场时，电场强度的定义为：0q F E = 则（ ） （A ）E 与q o 成反比 B ) (a A 2 R R r B ) (c A B r ()b R I O A 《电磁学》练习题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ 2. 一带有电荷q ＝3×10- 9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10- 5 J ，粒子动能的增量为4.5×10- 5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E 300200+= .试求穿过各面的电通量． E q L q P 程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题 1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律： 由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有： 算得 1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ： 这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T： 解得 1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消： 解得： （2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消： 解得： 1-4 设向上位移为x，则有： 结合牛顿第二定律以及略去高次项有： 1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间： 先由库仑定律写出静电力标量式： 有几何关系： 联立解得 由库仑定律矢量式得： 解得 1-6（1）对一个正电荷，受力平衡： 解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力： 解得 1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势 能： 对势能求导得到受力： 小量近似，略去高阶量： 当q＞0时，；当q＜0时， （2）由上知 1-8设q位移x，势能： 对势能求导得到受力： 小量展开有：，知 1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得 设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 小量展开化简有： 受力指向平衡位置，微小谐振周期 （2） 1-10 1-11 先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ. 有： 显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等. 利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0. 1-12（1） 一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的； P r λ2 λ1 R 1 R 2 1．坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点(x =+1,y =0)产生的电场强 度为E ρ 。现在，另外有一个负电荷-2Q ，试问应将它放在什么 位置才能使P 点的电场强度等于零？ (A) x 轴上x >1。 (B) x 轴上0 大学物理电磁学练习题 球壳，内半径为R 。在腔内离球心的距离为d 处（d R <），固定一点电荷q +，如图所示。用导线把球壳接地后，再把地线撤 去。选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为[ D ] (A) 0 (B) 04πq d ε (C) 04πq R ε- (D) 01 1 () 4πq d R ε- 2. 一个平行板电容器, 充电后与电源断开, 当用绝缘手柄将电容器两极板的距离拉大, 则两极板间的电势差12U 、电场强度的大小E 、电场能量W 将发生如下变化：[ C ] (A) 12U 减小，E 减小，W 减小； (B) 12U 增大，E 增大，W 增大； (C) 12U 增大，E 不变，W 增大； (D) 12U 减小，E 不变，W 不变. 3．如图，在一圆形电流I 所在的平面内， 选一个同心圆形闭合回路L (A) ?=?L l B 0d ，且环路上任意一点0B = (B) ?=?L l B 0d ，且环路上 任意一点0B ≠ (C) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点0B ≠ (D) ?≠?L l B 0d ，且环路上任意一点B = 常量. [ B ] 4．一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示。现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于[ C ] (A) IB V D S (B) B V S ID (C) V D IB (D) IV S B D 5．如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B 平行于ab 边，bc 的长度为 l 。当金属框架绕ab 边以匀角速度ω转动时，abc 回路中的感应电动势ε和a 、 c 两点间的电势差a c U U -为 [ B ] (A)2 0,a c U U B l εω=-= (B) 2 0,/2a c U U B l εω=-=- (C)22 ,/2a c B l U U B l εωω=-= (D)2 2 ,a c B l U U B l εωω=-= 6. 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确 [ A ] (A) 位移电流是由变化的电场产生的； (B) 位移电流是由线性变化的磁场产生的； (C) 位移电流的热效应服从焦耳——楞次定律； (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理. 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 第一章 静 电 场 §1.1 静电的基本现象和基本规律 计 算 题 ： 1、 真空中两个点电荷q 1=1.0×10-10C ，q 2=1.0×10-11C ，相距100mm ，求q 1受的力。 解：)(100.941 10 2 210排斥力N r q q F -?== πε 2、 真空中两个点电荷q 与Q ，相距5.0mm,吸引力为40达因。已知q=1.2×10-6C,求Q 。 解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿 C q F r Q r qQ F 13202 01093441 -?-==?=πεπε 3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时 的相互作用力和相距一千米时的相互作用力。 解：? ??=?=?==物体的重量相当于当万吨物体的重量 相当于当kg m r N m r N r q q F 900)1000(100.990)1(100.941 3 92210πε 4、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电 子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m 。已知质子质量M=1.67×10-27kg ，电子质量m=9.11×10-31kg 。电荷分别为e=±1.6×10-19 C,万有引力常数G=6.67×10-11N ·m 2/kg 2。（1）求电子所受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电子的速度。 解： 不计 万有引力完全可以略去与库仑力相比在原子范围内由此可知吸引力吸引力,,,/1019.241 41)3(1026.2/)(1063.3)2() (1022.841 )1(62 02 2 02394722 18 2 20s m mr e v r e r v m F F N r m m G F N r e F g e g e ?==?=?=??==?==--πεπεπε 5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10-15米时，它们之间的排斥力仍遵守 库仑定律。金的原子核中有79个质子，氦的原子核（即α粒子）中有2个质子。已知每个质子带电e=1.6×10-19 C ，α粒子的质量为6.68×10-27 kg.。当α粒子与金核相距为6.9×10-15m 时（设这时它们仍都可当作点电荷）。求（1）α粒子所受的力；（2）α粒子的加速度。 第一章习题解答 给定三个矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）； （7）和；（8）和。 解（1） （2） （3）－11 （4）由，得 （5）在上的分量 （6） （7）由于 所以 （8） 三角形的三个顶点为、和。 （1）判断是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 解（1）三个顶点、和的位置矢量分别为 ，， 则，， 由此可见 故为一直角三角形。 （2）三角形的面积 求点到点的距离矢量及的方向。 解，， 则 且与、、轴的夹角分别为 给定两矢量和，求它们之间的夹角和在上的分量。 解与之间的夹角为 在上的分量为 给定两矢量和，求在上的分量。 解 所以在上的分量为 证明：如果和，则； 解由，则有，即 由于，于是得到 故 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一已知矢量，而，和已知，试求。 解由，有 故得 在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。 解（1）在直角坐标系中、、 故该点的直角坐标为。 （2）在球坐标系中、、 故该点的球坐标为 用球坐标表示的场， （1）求在直角坐标中点处的和； （2）求在直角坐标中点处与矢量构成的夹角。 解（1）在直角坐标中点处，，故 （2）在直角坐标中点处，，所以 故与构成的夹角为 球坐标中两个点和定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为 解由 得到 一球面的半径为，球心在原点上，计算：的值。 解 在由、和围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。 解在圆柱坐标系中 所以 又 故有 求（1）矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。 解（1） （2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为 （3）对此立方体表面的积分 故有 计算矢量对一个球心在原点、半径为的球表面的积分，并求对球体积的积分。 解 又在球坐标系中，，所以 求矢量沿平面上的一个边长为的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 解 又 第五章静电场 5 －9若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为 2 2 4 π 1 L r Q ε E - = (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为 2 2 04 π2 1 L r r Q ε E + = 若棒为无限长(即L→∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x，其电荷为d q＝Q d x/L，它在点P 的电场强度为 r r q ε e E 2 d π4 1 d ' = 整个带电体在点P的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A)所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是 ??= = L y E α E j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?'=L r πεE 202 ，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变 量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，2 2 x r r +=' 统一积分变量，则 () 2 2 03 /2222 2041π2d π41L r r εQ r x L x rQ εE L/-L/+= +=? 当棒长L →∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P 点电场强度 r ελL r L Q r εE l 02 20π2 /41/π21lim = +=∞ → 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图(B)］.这说明只要满足r 2/L 2 ＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线. 5 －14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即? ?=S S d s E Φ 方法2：作半径为R 的平面S ′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 一、选择题：（每题3分） 1、均匀磁场的磁感强度B 垂直于半径为r 的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为 (A) 2 r 2B ． (B) r 2B ． (C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］ 2、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) r 2B ． (B) 2 r 2B ． (C) - r 2B sin ． (D) - r 2B cos ． ［ D ］ 3、有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径和正方形的边长相等，二者中通有大小相等的电流，它们在各自中心产生的磁感强度的大小之比B 1 / B 2为 (A) 0.90． (B) 1.00． (C) 1.11． (D) 1.22． ［ C ］ 4、如图所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向，则在环形分路的环心处的磁感强度 (A) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸内． (B) 方向垂直环形分路所在平面且指向纸外． (C) 方向在环形分路所在平面，且指向b ． (D) 方向在环形分路所在平面内，且指向a ． (E) 为零． ［ E ］ 5、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状， 则P ，Q ，O 各点磁感强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为： (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． (C) B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． ［ D ］ 6、边长为l 的正方形线圈，分别用图示两种方式通以电流I (其中ab 、cd 与正方 形共面)，在这两种情况下，线圈在其中心产生的磁感强度的大小分别为 (A) 01 B ，02 B ． (B) 01 B ，l I B 0222 ． (C) l I B 0122 ，02 B ． a 大学电磁学习题1 一．选择题（每题3分） 1.如图所示，半径为R 的均匀带电球面，总电荷为Q ，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小和电势为： (A) E =0，R Q U 04επ= ． (B) E =0，r Q U 04επ= ． (C) 204r Q E επ= ，r Q U 04επ= ． (D) 204r Q E επ= ，R Q U 04επ=． ［ ］ 2.一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O +2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的： (A) 2倍． (B) 22倍． (C) 4倍． (D) 42倍． ［ ］ 3.在磁感强度为B ?的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在 平面的法线方向单位矢量n ?与B ? 的夹角为? ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 (A) ?r 2B ． . (B) 2??r 2B ． (C) -?r 2B sin ?． (D) -?r 2B cos ?． ［ ］ 4.一个通有电流I 的导体，厚度为D ，横截面积为S ，放置在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导体的侧表面，如图所示．现测得导体上下两面电势差为V ，则此导体的霍尔系数等于 (A) IB VDS ． (B) DS IBV ． (C) IBD VS ． (D) BD IVS ． (E) IB VD ． ［ ］ 5.两根无限长载流直导线相互正交放置，如图所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，载流I 2的导线可以自由运动，则载流I 2的导线开始运动的趋势 ? y z x I 1 I 2 长沙理工大学考试试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： （Ａ）如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷。 （Ｂ）如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零。 （Ｃ）如果高斯面上E 处处不为零，则该面内必有电荷。 （Ｄ）如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零 （E ）高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场。 [ ] 2. 在已知静电场分布的条件下，任意两点1P 和2P 之间的电势差决定于： （Ａ）1P 和2P 两点的位置。 （Ｂ）1P 和2P 两点处的电场强度的大小和方向。 （Ｃ）试验电荷所带电荷的正负。 （Ｄ）试验电荷的电荷量。 [ ] 3. 图中实线为某电场中的电力线，虚线表示等势面，由图可看出： （Ａ）C B A E E E >>，C B A U U U >> （Ｂ）C B A E E E <<，C B A U U U << （Ｃ）C B A E E E >>，C B A U U U << （Ｄ）C B A E E E <<，C B A U U U >> [ ] 4. 如图，平行板电容器带电，左、右分别充满相对介电常数为ε1与ε2的介质， 则两种介质内： （Ａ）场强不等，电位移相等。 （Ｂ）场强相等，电位移相等。 （Ｃ）场强相等，电位移不等。 （Ｄ）场强、电位移均不等。 [ ] 5. 图中，Ua-Ub 为： （Ａ）IR -ε （Ｂ）ε+IR （Ｃ）IR +-ε （Ｄ）ε--IR [ ] 6. 边长为a 的正三角形线圈通电流为I ，放在均匀磁场B 中，其平面与磁场平行，它所受磁力矩L 等于： （Ａ） BI a 221 （Ｂ）BI a 234 1 （Ｃ）BI a 2 （Ｄ）0 [ ] . 电磁学试题库 试题3 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、带电粒子受到加速电压作用后速度增大，把静止状态下的电子加速到光速需要电压是（ ）。 2、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为λ）与另一长为L ，线电荷密度为η的均匀带电直线AB 共面，且互相垂直，设A 端到无限长均匀带电线的距离为a ，带电线AB 所受的静电力为（ ）。 3、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势（ 4、两个同心的导体薄球壳，半径分别为b a r r 和,其间充满电阻率为ρ的均匀介质（1）两球壳之间的电阻（ ）。（2）若两球壳之间的电压是U ，其电流密度（ ）。 5、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O 处的磁感应强度的大小为（ ） 6、一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中，磁场方向与回路平 面垂直，如图所示，回路的一条边ab 可以在另外的两条边上滑 动，在滑动过程中，保持良好的电接触，若可动边的长度为L ， 滑动速度为V ，则回路中的感应电动势大小（ ），方向（ ）。 7、一个同轴圆柱形电容器，半径为a 和b ，长度为L ，假定两板间的电压 t U u m ω=sin ,且电场随半径的变化与静电的情况相同，则通过半径为r （a 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ?B ⑷A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； ⑸A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：⑴A a =A A （x a +2y a -3z a ） ⑵cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o ⑶A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 ⑸A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c 1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解：⑴??s d A = A d S ?? 曲+A dS ?? xoz +A d S ?? yoz +A d S ?? 上+A d S ?? 下 A d S ?? 曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz =(3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =-23x dydz ?yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 ⑵dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2y 高中物理电磁学练习题 一、在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选 项正确. 1 ?如图3-1所示，有一金属箔验电器，起初金属箔闭合，当带正电的棒靠近 验电器上部的金属板时，金属箔张开.在这个状态下，用手指接触验电器的金属板，金属箔闭合，问当手指从金属板上离开，然后使棒也远离验电器，金属箔的状态如何变化？从图3-1的①?④四个选项中选取一个正确的答案. [ ] 图3-1 A.图① E.图② C.图③ D.图④ 2.下列关于静电场的说法中正确的是[ ] A.在点电荷形成的电场中没有场强相等的两点，但有电势相等的两点 E.正电荷只在电场力作用下，一定从高电势向低电势运动 C.场强为零处，电势不一定为零；电势为零处，场强不一定为零 D.初速为零的正电荷在电场力作用下不一定沿电场线运动 3 .在静电场中，带电量大小为q的带电粒子（不计重力），仅在电场力的作用下，先后飞过相距为d的a、b两点，动能增加了ΔE,则 [ ] A.a点的电势一定高于b点的电势 E.带电粒子的电势能一定减少 C.电场强度一定等于ΔE∕dq D.a、b两点间的电势差大小一定等于ΔE∕q 4. 将原来相距较近的两个带同种电荷的小球同时由静止释放（小球放在光 滑绝缘的水平面上），它们仅在相互间库仑力作用下运动的过程中[ ] A.它们的相互作用力不断减少 E.它们的加速度之比不断减小 C.它们的动量之和不断增加 D.它们的动能之和不断增加 5. 如图3-2所示，两个正、负点电荷，在库仑力作用下，它们以两者连线上 的某点为圆心做匀速圆周运动，以下说法正确的是[ ] 图3-2 A.它们所需要的向心力不相等 E.它们做圆周运动的角速度相等 C.它们的线速度与其质量成反比 D.它们的运动半径与电荷量成反比 6 ?如图3-3所示，水平固定的小圆盘A,带电量为Q,电势为零，从盘心处O由静止释放一质量为m,带电量为+q的小球，由于电场的作用，小球竖直上升的高度可达盘中心竖直线上的C点，Oc = h ,又知道过竖直线上的b点时，小球速度最大，由此可知在Q所形成的电场中，可以确定的物理量是[ ] A.b点场强 B.c点场强 C.b点电势 D.c点电势 7. 如图3-4所示，带电体Q固定，带电体P的带电量为q,质量为m, 与绝缘的水平桌面间的动摩擦因数为μ,将P在A点由静止放开，贝U在Q的排斥下运动到B点停下，A、B相距为s,下列说法正确的是[ ] Q尸 宀鱼舖. ... R A H 图3-4 A.将P从B点由静止拉到A点，水平拉力最少做功2μmgs B.将P从B点由静止拉到A点，水平拉力做功μmgs C.P从A点运动到B点，电势能增加μmgs D.P从A点运动到B点，电势能减少μmgs 8. 如图3-5所示，悬线下挂着一个带正电的小球，它的质量为m、电量为q, 整个装置处于水平向右的匀强电场中，电场强度为E. [ ] 图3-5 A.小球平衡时，悬线与竖直方向夹角的正切为Eq/mg B.若剪断悬线，则小球做曲线运动 C.若剪断悬线，则小球做匀速运动电磁学试题(含答案)
大学物理电磁学考试试题及答案
电磁学答案第1章
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