不等式的基本性质与证明
第二章
不等式的性质与证明
引入：
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构等等都表现出不等关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。
一、不等式的相关概念：不等式相关概念1
1.不等式的定义：
用不等号表示不等关系的式子
“
比较两数大小的方法、依据及步骤?2、两数在数轴上的表示：
在数轴上右边的点比左边的点表示的数大
(2)比较两式大小的方法：作差比较法
作商比较法理论根据步骤理论根据
步骤
3、(1)比较两式大小的
方法：
赋值法（代入法）
例1：已知，那么在这三个数中，最小的数是____，最大的数是
_______01,0<<-
三、例题分析：
解法1：特殊值法用于简单判断或填空题解法2：作差比较法
例2:(1)已知，则从小到
大的顺序是______________________0,1a b a b <<+=22
1
,,,2,2a b ab a b +三、例题分析：
特殊值法: 取b
b a ab a <+<<<2
221243
,41==b a
作差比较两数大小的依据b a b a a b a b a b a ?>-0)3(
0201）（）（
书本：第40页18题
的大小与（比较（
)4)(2)5)(3-+-+a a a a 解：)
5)3-+a a （（15
215
3522--=-+-=a a a a a )
4)(2-+a a （8
28
2422--=-+-=a a a a a
的大小
与（比较（)4)(2)5)(3-+-+a a a a )
4)2()5)(3-+--+a a a a （（)82(1522
2-----=a a a a 821522
2++---=a a a a 0
7<-=)
4)2()5)(3-+<-+a a a a （所以（
书本：第40页
19题的大小与，比较（
已知1)102422+++≠x x x x 解：2
2)1+x （)
1)122++=x x （（1
224+++=x x x 1
224++=x x
的大小
与，比较（已知1)102422+++≠x x x x ）
（（1-)12422+++x x x 1
12x 2424---++=x x x )
0(02≠>=x x ）
（所以（1)12422++>+x x x
小结：小结1
作差比较两数大小的步骤
(1)作差；
(2)变形；(3)定号；
(4)下结论；
常用手段:配方法，因式分
解法
2
22)(2b a b ab a ±=+±完成填空：1、x 2-4x+___=(x-__)
2 2、x 2+12x+___=(x+__)
23、y 2-8y+___=(y-__)24、x 2+1/2x+___ =(x+___)
24236 61641/161/4知识准备
-4x=2xb 12x=2xb
思考：你所填写的b 、b 2与一次项
的系数有怎样的关系？
X(x+6)=1601662=-+x x 即怎样解?
?的流程怎样想一想解方程01662
=-+x x 01662=-+x x 移项
16
62=+x x 两边加上32
,使左边配成的形式
222b bx x ++2
2231636+=++x x 左边写成完全平方形式
25
32=+)(x 降次
5
3±=+x 5
353-=+=+x x ,8
221-==x x ,:得
小结：
作差比较大小（变形是关键）变形
常见形式:变形为常数；
一个常数与几
个平方和；
几个因式的积
常用手段:配方法，因式分
解法注：平方差，完全平方，立方和、差等公式的应用
判断两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a-b 的符号，从而归结为实数运算的符号法则，分三步进行：
作差比较两数大小的步骤
(1)作差；(2)变形；
(3)定号；
(4)下结论；常用手段:配方法，因式分
解法。常见形式:变形为常数；
一个常数与几个平方和；几个因式的积。
不等式典型例题之基本不等式的证明
5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新????
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
不等式的性质和证明
不等式的性质和证明 一、基础知识 1．性质 对称性a＞b?b＜a 传递性a＞b，b＞c T a＞c 加法单调性a＞b T a+c＞b+c 乘法单调性a＞b，c＞0 T ac＞bc；a＞b，c＜0 T ac＜bc开方法则a＞b＞0 T移项法则a+b ＞c T a＞c－b 同向不等式相加a＞b，c＞d T a+c＞b+d 同向不等式相乘a＞b＞0，c ＞d＞0 T ac＞bd 乘方法则a＞b＞0 T a n＞b n倒数法则a＞b，ab＞0 T 2．证明方法：比较法，综合法，分析法，反证法，换元法 证明技巧：逆代，判别式，放缩，拆项，单调性 3．主要公式及解题思路 公式：a2+b2≥2ab（a，b∈R） a3+b3+c3≥3abc（a，b，c∈R+） 思路：① ② ③ ④正数x，y且x+y=1，求证：≥ 二、例题解析 1．（1）a，b∈R+且a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．B． C．D． （2）若0＜x＜1，0＜y＜1且x≠y，则x2+y2，x+y，2xy，中最大的一个是（） A．x2+y2B．x+y C．2xy D．
（3）若a，b为非零实数，则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为（） A．4B．3C．2D．1 （4）下列函数中，y的最小值是4的是（） A．B．C．y= D．y=lgx+4log x10 （5）若a2+b2+c2=1，则下列不等式成立的是（） A. a2+b2+c2＞1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2．（1）已知x，y∈R+且2x+y=1，则的最小值为 （2）已知x，y∈R 且x2+y2=1，则3x+4y的最大值为 （3）在等比数列{a n}和等差数列{b n}中，a1=b1＞0，a3=b3＞0，a1≠a3，试比较大小：a5b5 （4）已知a＞0，b＞0，a + b=1，则的最小值为 （5）已知：x+2y=1，则的最小值为 （6）已知：x＞0，y＞0且x+2y=4，则lg x + lg y的最大值为 （7）若x＞0，则，若x＜0，则 （8）建造一个容积为8 m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁造价分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元。 （9）某工厂生产机器的产量，第二年比第一年增长的百分率为a，第三年比第二年增长的百分率为b，第四年比第三年增长的百分率为c，设年平均增长的百分率为P，且a+b+c 为定值，则P的最大值为 3．求证：a2+b2≥ab+a+b－1 4．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥ 5．已知：a，b，c∈R+且a+b+c=1，求证：
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
高中数学基本不等式证明
不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
高中数学知识点总结不等式的性质与证明
要点重温之不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由 x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜：比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧：：1；与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立，探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 ［知识梳理］ 1. 证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理：如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰，当且仅当a = b = c 时，等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—，当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时，等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数，则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2，当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数，贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时，约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式：设 a B 为平面上的两个向量，则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ； 4、基本不等式的证明（1） 目标： (,0)2 a b a b +≥的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程： 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计） ，那么a 并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢？ 把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗？ 设天平的两臂长分别为12,l l ，物体实际质量为M ，据力学原理有1221,l M l a l M l b == ，有2,M ab M == ,0a b >时，2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般，判断两数的大小可采用“比较法”： 02a b +-=≥ 2 a b +≤（当且仅当a b =时取等号） 说明：当0a =或0b =时，以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥（称之“基本不等式” ）当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释： 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数，证明：1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意：基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ??? 例2 证明： 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=，求证：123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3 不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一： 高中数学知识要点重温（11）不等式的性质与证明 1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ?an>bn ； 当a<0,b<0时，a>b ?a2 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a, b为实数，则Ia + b$|a|+|b|,当且仅当abMO时，等号成立。 几何说明：(1)当ab〉O时，它们落在原点的同一边，此时a与一b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a, b分别落在原点两边，a与一b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a—b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 b 0 a _b | ---- I b I -- H" lol十I 定理2 设a, b, C为实数，则Ia-c|<|a-b|4-|b-c|,等号成立 ^(a-b)(b-c)>O f即b 落在a, c 之间。 推论1 II ad - I b |国a + b | 推论2 Ha|-|b||<|a-b| ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“U”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述淸楚，也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证ANB,可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得5 第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 本科毕业论文 不等式的几种证明方法及简单应用 姓名 院系数学与计算机科学学院 专业数学与应用数学 班级 学号 指导教师 答辩日期 成绩 及简单应用 不等式的几种证明方法 摘要 我们在数学的学习过程中,不等式很重要. 其中不等式的证明方法在不等式基础理论中非常重要.文中总结了部分证明不等式的常用方法：作差法、分析法、作商法、综合法、反证法、数学归纳法、放缩法等，和不等式的证明经常会利用函数极值、拉格朗日中值定理等，以及部分著名不等式，比如：均值不等式、柯西不等式等.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索不等式的证明使不等式证明更加完善. 【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式 Method and application of several simple proof of inequality Abstract We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect. 【Key Words】:inequality, the commonly used method, function, famous inequaliti es 课 题：2.1-不等式的基本性质(2课时) 教学目标： 1. 掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。 2. 掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。 3. 提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。 教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。 教学难点：不等式的性质的运用 教学过程： 第1课时： 问题情境：现有A 、B 、C 、D 四个长方体容器，A 、B 容器的底面积为a 2，高分别为a 、b ， C 、 D 容器的底面积为b 2，高分别为a 、b ，其中a ≠b 。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？ 分析：依题意可知：A 、B 、C 、D 四个容器的容积分别为a 3、a 2b 、ab 2、b 3，甲有6种取 法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。 研究比较大小的依据： 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。 在右图中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b ， 点A 在点B 右边，那么a ＞b 。 而a －b 表示a 减去b 所得的差，由于a ＞b ，则差是一个正数，即a －b ＞0。 命题：“若a ＞b ，则a －b ＞0”成立；逆命题“若a －b ＞0，则a ＞b ”也正确。 类似地：若a ＜b ，则a －b ＜0；若a ＝b ，则a －b ＝0。逆命题也都正确。 结论：(1)“a ＞b ”?“a －b ＞0” (2)“a ＝b ”?“a －b ＝0” (3)“a ＜b ”?“a －b ＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。 正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数； (4) 负数乘负数是正数。 研究不等式的性质： 性质1：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c (不等式的传递性) 证明：∵a ＞b ∴a －b ＞0 ∵b ＞c ∴b －c ＞0 ∴(a －b)＋(b －c)＝a －c ＞0 (正负数运算性质) 则a ＞c 反思：证明要求步步有据。 x证明不等式的几种常用方法
证明不等式的种方法
证明不等式的基本方法(20200920095256)
4 基本不等式的证明(1)
不等式证明的基本方法
高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析
不等式证明的基本方法
证明不等式的基本方法-比较法
不等式的几种证明方法及简单应用
不等式的基本性质