常微分方程第二版答案第三章教学总结
常微分方程第二版答
案第三章
习题3—1
1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一.
1）y x y sin '+=； 2）31
'-=x y ； 3）y y ='.
解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一.
2）因为3
1),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f =),(，则???????<-->=??,0,21,0,21),(y y
y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及y
y x f ??),(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题
?????=--=,
0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.
解 设22),(y x y x f -=，则4),(max ),(==∈y x f M R
y x ，1,1==b a ，所以
4
1)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤
+x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则
0)1()(0=-=y x ?，3
131)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 4211931863])3131([0)(3471232
2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4
11≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 32
2)!12()()(h ML x x +≤-??.
取22),(max max ),(),(=-=??=∈∈y y y x f L R
y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤-x x ??. 3． 讨论方程31
23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件.并求通过点)0,0(O 的一切解.
解 设3123),(y y x f =，则32
21-=??y y f )0(≠y .故在0≠y 的任何有界闭区域上),(y x f 及y
y x f ??),(都是连续的，因而方程在这种区域中满足解的存在唯一性定理的条件.显然，0=y 是过)0,0(O 的一个解.又由312
3y dx dy =解得23
)(C x y -±=.其中0≥-C x . 所以通过点)0,0(O 的一切解为0=y 及,,,)(,023C x C x C x y >≤?????-=.,,)(,023C x C x C x y >≤?????--=如图. 4． 试求初值问题
1++=y x dx
dy ，0)0(=y ， 的毕卡序列，并由此取极限求解.
解 按初值问题取零次近似为0)(0=x y ，
一次近似为 2012
1)10()(x x ds s x y x
+=++=?， 二次近似为 322026
1]1)21([)(x x x ds s s s x y x ++=+++=?, 三次近似为 432320324131]1)61([)(x x x x ds s s s s x y x
+++=++++=?, 四次近似为
!5)!5!4!3!2(2!5134131)(5
54325432
4x x x x x x x x x x x x x y --++++=+?+++=， 五次近似为 !
6)!6!5!4!3!2(2)(6
654325x x x x x x x x x y --+++++=，
一般地，利用数学归纳法可得n 次近似为 )!1()!1(!4!3!22)(11432+--??
????++++++=++n x x n x x x x x x y n n n 2)!1()!1(!4!3!21211432-+--?????
?+++++++=++n x x n x x x x x n n ， 所以取极限得原方程的解为
22)()(lim --==+∞
→x e x y x y x n n .
5． 设连续函数),(y x f 对y 是递减的，则初值问题
),(y x f dx
dy =，00)(y x y =的右侧解是唯一的. 证 设)(1x y ?=，)(2x y ?=是初值问题的两个解，令)()()(21x x x ???-=，则有0)(000=-=y y x ?.下面要证明的是当0x x ≥时，有0)(≡x ?.
用反证法.假设当0x x ≥时，)(x ?不恒等于0，即存在01x x ≥，使得0)(1≠x ?，不妨设0)(1>x ?，由)(x ?的连续性及0)(0=x ?，必有100x x x <≤，使得0)(0=x ?，0)(>x ?，10x x x ≤<. 又对于],[10x x x ∈，有00201)()(y x x ==??，?+=x x dx x x f y x 0)](,[)(101??，?+=x
x dx x x f y x 0)](,[)(202??，则有 )()()(21x x x ???-=?-=x
x dx x x f x x f 0)]}(,[)](,[{21??，10x x x ≤<. 由0)()()(21>-=x x x ???（10x x x ≤<）以及),(y x f 对y 是递减的，可以知道：上式左端大于零，而右端小于零.这一矛盾结果，说明假设不成立，即当0x x ≥时，有0)(≡x ?.从而证明方程的右侧解是唯一的.
习题3—3
1． 利用定理5证明：线性微分方程 )()(x b y x a dx
dy += （I x ∈） )1(
常微分方程第三版答案2.2[1]1
习题2.2 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = d x d y =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
常微分习题解答第6章6-1习题答案
习 题 6 —— 1 1．求出齐次线性微分方程组 y t A dt dy )(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）???? ??=1011)(t A ；（2）???? ??-=0110)(t A ；（3）???? ? ??=000010100)(t A 。 解 （1）方程组的分量形式为： 211y y dt dy += ，22y dt dy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为 ()0t t t e te t e ??Φ= ??? 又 2det ()0t t e Φ=≠ 。因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为 ??? ? ??+???? ??=???? ??t t t e te c e c y y 21210 （2）方程的分量形式为 ?????-==1221y dt dy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。这样就求得方 程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ??Φ= ?-?? 又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此)(t Φ中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为 1122cos int int cos y t s c c y s t ??????=+ ? ? ?-???? ?? （3）程组的分量形式为：?????='='='13 2231y y y y y y ① ② ① ② ③
3.1 常微分方程 课后答案
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
常微分方程试卷及答案
常微分方程试卷及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 填空题（每题4分，共20分） 1. 形如)()('x Q y x P y += （)(),(x Q x P 连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为?? ? ???+?-? =c dx dx x P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=. 3. 形如1 11 111 0n n n n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++=的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程. 4. 2 (1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件：x =0, y =1的特解1 1ln 1y x = ++ 5．5.微分方程0000(,),(),:,dy f x y y x y R x x a y y b dx ==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件 一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1． dx dy =2 )(1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dx du -1 (3) dx du -1=21 u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5) 2．()()053243 =+++xdy ydx y xdy ydx x 解：两边同乘以y x 2得： ()() 0532******* =+++ydy x dx y x ydy x dx y x (3)
常微分方程第二版答案第6章6-1
习 题 6-1 1． 求出齐次线性微分方程组 y t A dt dy )(=的通解，其中A （t ）分别为： （1）???? ??=1011)(t A ；（2）???? ??-=0110)(t A ；（3）???? ? ??=000010100)(t A 。 （1）方程组的分量形式为： 211y y dt dy += ，22y dt dy = 从后一式容易求出2y 的通解为 t ke y =2 ，其中K 为任意常数，可分别取02=y 和 t e y =2，代入前一式得到两个相应的特解，t e y =1和 t te y =2这样就求得方程组的一个解矩阵为 ()0t t t e te t e ??Φ= ??? 又 2det ()0t t e Φ=≠ 。因此，)(t Φ是方程组的一个基解矩阵，根据定理6.1 ,方程的通解为 ??? ? ??+???? ??=???? ??t t t e te c e c y y 21210 （2）方程的分量形式为 ?????-==1221y dt dy y dt dy 由①、②可和 21120d y y dt += 由观察法知，t y cos 1=，t y sin 1=为此方程的两个特解，将其代入②式可得两个相应的特解，将其代入②式可得两个相应的特解：2sin y t =-，2cos y t =。这样就 求得方程组的一个解矩阵为 cos int ()int cos t s t s t ??Φ= ?-?? 又 []01)(det ≠=Φ=t ，因此 )(t Φ中方程组的一个基解矩阵。故方程组的通解为1122cos int int cos y t s c c y s t ??????=+ ? ? ?-???? ?? ① ②
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( X ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( X ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( O ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( X ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21 (C 为任意常数)。( O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( X ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( O ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( O ) 9．221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( O ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。 ③x y y dx dy x ln ?=是齐次方程。 ④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。 ⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是21241 C x C e x ++-。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41 C x C x x +++-。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。 6．微分方程()06='-''?y y y 是 2 阶微分方程。
常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答_5
习 题 6—3 1．证明函数组 ，???<≥=000)(21x x x x 当当?220 0 ()0x x x x ?≥?=?
常微分方程试卷及标准答案
2010-2011 学年第 二 学期常微分方程考试 AB 卷答案 理学 院 年级 信息与计算科学 专业 填空题（每题4分，共20分） 1. 形如)()('x Q y x P y += （)(),(x Q x P 连续）的方程是 一阶线性微分 方程，它的通解为?? ? ???+?-? =c dx dx x P e x Q dx x P e y )()()( . 2. 形如0y y '''-=的方程是 3 阶__齐次__(“齐次”还是”非齐次”)___常__系数的微分方程,它的特征方程为310λ-=. 3. 形如1 111110n n n n n n n n d y d y dy x a x a x a y dx dx dx ----++++=L L 的方程为 欧拉 方程, 可通过变换t x e =把它转化成常系数方程. 4. 2 (1)0,y dx x dy ++= 满足初始条件：x =0, y =1的特解1 1ln 1y x = ++ 5．5.微分方程0000(,),(),:,dy f x y y x y R x x a y y b dx ==-≤-≤满足的解存在且唯一的条件是: (,)f x y 在R 上连续且满足利普希茨条件 一、下列微分方程的解（每题5分，共30分） 1． dx dy =2) (1y x + 解：令x+y=u ,则dx dy =dx du -1 ……………………….3 dx du -1=21 u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. (5) 2．()()053243 =+++xdy ydx y xdy ydx x 解：两边同乘以y x 2得：
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习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin '+=； 2）31'?=x y ； 3）y y ='. 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上 满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为31 ),(?=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),(' =y x f y 在在整个xOy 平面上有界，所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f =),(，则???????=??,0,21,0,21),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及y y x f ??),(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=??=, 0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设22),(y x y x f ?=，则4),(max ),(==∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(?的解的存在区间为：411≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=?=y x ?，3131)0(0)(3121?=?+=??x dx x x x ?， 4211931863])3131([0)(3471232 2+?+??=??+=??x x x x dx x x x x ?. 在区间4 11≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 32 2)!12()()(h ML x x +≤???. 取22),(max max ),(),(=?=??=∈∈y y y x f L R y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤?x x ??.
第3章习题答案 常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习
习 题 3-1 1. (1) 解: ,||),(αy y x f = 有α|||)0,(),(|y x f y x f =-， 令 ,||)(αr r F =有 ??--==111 00 10||11||)(r r r r r dr r F dr α αα， 当 01<-α, 即 1>α 时, ∞=--→αα10||11lim r r , 所以 0)0(=y 的解唯一。 当 01=-α 时， 1 1 00 |||ln ) (r r r r F dr =? ，而 ∞=→||ln lim 0r r ， 所以 0)0(=y 的解唯一。 当 10<<α 时， 可解方程知其解不唯一。 所以当10<<α， 其解不唯一； 1≥α， 其解唯一。 （2）. 解: 因为 0|l n |l i m 0 =→y y y , 所以 dx dy 在 ),(+∞-∞ 连续. 设 |||ln |)(r r r F =, 有 ∞=? 1 ) (r r F dr (01>r 为常数), 所以方程的解唯一. 2. 解: 构造毕卡序列, 令 1),(++=y x y x f , dx x y x f x y x n n ? = +0 1))(,()(, 因为 0)0(=y , 所以 x x dx x f x y x +==?20121)0,()(, x x x dx x x x f x y x ++=+=?2302261 )21,()(, x x x x dx y x f x y x +++==?2 340233 1!41),()(, …………………………………………… x x x n x n dx y x f x y n n x n n +++++== +-? ! 22!2)!1(1),()(21 1 , 2 2)! 22!2)!1(1(lim )(lim 21 --=+++++=+∞→∞→x e x x x n x n x y x n n n n n , 所以 22--=x e y x 为方程的解. 3. 证明: 反证法 设初始问题(E)有两个解, )(x y 和)(1x y , 且 0010)()(y x y x y ==, 01x x >?, 使 )()(111x y x y >, 令 )()(,sup{110x y x y x x x =<≤=μ