2017年高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

参考公式：

柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．

球的体积3

4π3

R V =，其中R 是球的半径．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．

【答案】1

【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ ．

【答案】10

【解析】(1i)(12i)1i 12i 2510z =++=++=?=，故答案为10．

3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18

【解析】应从丙种型号的产品中抽取300

60181000

?=件，故答案为18． 4．右图是一个算法流程图，若输入x 的值为

1

16

，则输出y 的值是 ▲ ．

【答案】2-

【解析】由题意得

2

1

2log2

16

y=+=-，故答案为2-．

5．若

π1 tan(),

46

α

-=则tanα=▲ ．

【答案】

7

5

【解析】

1

1

tan()tan7

6

44

tan tan[()]

1

445

1tan()tan1

446

α

αα

α

ππ

+

-+

ππ

=-+===

ππ

---

．故答案为

7

5

．

6．如图，在圆柱12

O O内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱

12

O O的体积为

1

V，

球O的体积为2V，则1

2

V

V

的值是▲ ．

【答案】

3

2

【解析】设球半径为r，则

2

1

3

2

23

42

3

V r r

V r

π?

==

π

．故答案为

3

2

．

7．记函数2

()6

f x x x

=+-的定义域为D．在区间[4,5]

-上随机取一个数x，则x D

∈的概率是▲ ．【答案】

5

9

8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线

2

21

3

x

y

-=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是12

,

F F，则四边形

12

F PF Q的面积是▲ ．

【答案】23

【解析】右准线方程为

310

10

x=，渐近线方程为3

y=，设

31030

(P，则

31030

(

Q

-

，

1(10,0)F -，2(10,0)F ，则30

2102310

S =?

=． 9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知36763

44

S S ==,，则8a = ▲ ．

【答案】32

10．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ．

【答案】30

【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +

?=+≥?=，当且仅当900

x x

=，即30x =时等号成立． 11．已知函数31

()2e e

x x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值

范围是 ▲ ． 【答案】1

[1,]2

-

【解析】因为3

1()2e ()e

x

x f x x f x x -=-++

-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+?≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2

1)02()(f f a a +-≤，即2

())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤

，故实数a 的取值范围为1[1,]2

-． 12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，

OB 与OC 的夹角为45°

．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．

【答案】3

【解析】由tan 7α=可得72

sin α=

，2cos

α=，根据向量的分解，

易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα??+=???-=??，即22

2

210

2720210

n m n m ?

+=??

?

?

-=??

，即510570

n m n m +=??-=?，即得57,44m n ==，

所以3m n +=．

13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ?≤则点P 的横

坐标的取值范围是 ▲ ． 【答案】[52,1]-

14．设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ?∈?=????

其中集合1

{n D x x n -==，

*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．

【答案】8

【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2q

x p q p p

=

∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2n

x m n m m

=

∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n m

q p

=

，则10()n

m q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ?Q ，

因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ?的部分的交点，

画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ?的部分，

且1x =处11

(lg )1ln10ln10

x x '=

=<，则在1x =附近仅有一个交点，

因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)

分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．

求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．

16．（本小题满分14分）

已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；

（2）记()f x =?a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．

（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6

f x x x x x x =?=?-=-=+

a b ． 因为

，所以ππ7π[,]666x +

∈，从而π31cos()62

x -≤+≤． 于是，当ππ

66x +

=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6

x =时，

取到最小值23-．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为

1

2

，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．

【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．

因为椭圆E 的离心率为1

2，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c

=，

解得2,1a c ==，于是223b a c =-=E 的标准方程是22

143

x y

+=．

（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ．

设00(,)P x y ，因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>． 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符．

由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2000

1

(,

)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得

2

0001x y y -=±，即22

001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200

143

x y +=．

由220022001143x y x y ?-=??+=??，解得004737x y ==22

002

20

0114

3x y x y ?+=??+

=??，无解． 因此点P 的坐标为4737

． 18．（本小题满分16分）

如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角

线AC 的长为7，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）

（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．

【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107,40AC AM ==，所以2240(107)30MC =

-=，从而3

sin 4

MAC =

∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=11

16sin P MAC

Q =∠．

答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)

过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62， 所以KG 1=

6214

242

-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=．

设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25

KGG KGG απ=+==∠∠． 因为

2απ<<π，所以3cos 5

α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7

sin 25

β=． 因为02βπ<<

，所以24

cos 25

β=． 于是42473

sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555

NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=

?+-?=∠．

记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=

22

20sin P NEG

Q =∠．

答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．

(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm) 19．（本小题满分16分）

对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++

++2n ka =对任意正

整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”． （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；

（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．

【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-

122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =

所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．

n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④

将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,

a a a 是等差数列，设其公差为d'．

在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列． 20．（本小题满分16分）

已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点

是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >；

（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7

2

-，求a 的取值范围．

当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；

当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213a a b x ---2

23a a b x -+-

列表如下：

x

1(,)x -∞

1x

12(,)x x

2x

2(,)x +∞

()f x '

+

–

+

()f x

极大值 极小值

故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此223

9a b a =+，定义域为(3,)+∞．

（2）由（1）知，2=a a a a a

+．设23()=9t g t t +，则222

23227

()=99t g t t t -'-=． 当36(

,)2t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在36

(,)2

+∞上单调递增． 因为3a >，所以33a a >，故()>(33)=3g a a g ，即>3a

．因此2>3b a ．

记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，

因为()f x '的极值为2

213

39a b a a

-=-+，所以213()=9h a a a -+，3a >．

因为223

()=09h a a a '-

-<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7

(6)=2

h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，

． 数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．

，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =?．

【解析】（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以PCA CBA =∠∠， 因为AB 为半圆O 的直径，所以90ACB =?∠．

因为AP ⊥PC ，所以90APC =?∠，所以PAC CAB ∠=∠． （2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP AC

AC AB

=，即2·AC AP AB =． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002????

==????????

A B （1）求AB ；

（2）若曲线22

1:182

x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ，求2C 的方程．

C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82

x t

t

y =-+??

?=??(t 为参数)，曲线C 的参数方程为 2

222x s

y s

?=??

=??(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ，

从而点P 到直线l 的的距离2222|2428|

2(2)451(2)s s s d -+-+=

=+-，当2s =时，min 455

d =．

因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值45

5

． D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=?． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．

【解析】在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．

如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 13，120BAD ∠=?．

则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),3),(3,1

3)A B D E A C -．

（1）11(3,1,3),(3,1,3)A B AC =--=， 则111111(3,1,3)(3,1,3)1

cos ,77||||

A B AC A B AC A B AC ?--?=

==-．

因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为

17

．

设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4

θ=． 因为[0,]θ∈π，所以27sin 1cos θθ=-=．因此二面角B -A 1D -A 7． 23．（本小题满分10分）

已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球

随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k

的抽屉(1,2,3,

,)k m n =+．

1 2 3

m n +

（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；

（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：

()()(1)

n

E X m n n <

+-．

【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n m

n n m n n p m n

-+-+==+． （2）随机变量X 的概率分布为

随机变量X 的期望为1

1

C 111(1)!

()C C (1)!()!n m n

m n k n n

k n k n

m n

m n k E X k k n k n -++-==++-=?=?--∑∑．

所以1(2)!1(2)!

()C (1)!()!(1)C (2)!()!m n

m n

n n k n k n

m n

m n

k k E X n k n n n k n ++==++--<

=-----∑∑ 22

2

121(1C C C )(1)C n n n n n m n n

m n

n ----+-+=

++++-122

2

1121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n n

m n

n ------+-+=

++++-

12

2

21(C C C )(1)C n n n n n m n n

m n

n ---+-+=

+++-12

221(C C )(1)C n n m n m n n

m n

n --+-+-+=

=

+- 1

1

C (1)C ()(1)

n m n n

m n n n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)

n

E X m n n <

+-．