2015年北京高考数学(文)试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{}

52,A x x =-<<{}

33,B x x =-<<则A

B =（ ）

( A ) {}

32x x -<< ( B ) {}52x x -<< ( C ) {}33x x -<< ( D ) {}

53x x -<< （2）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） （A ）()()22111x y -+-= （B ）()()22

111x y ++-=

（C ）()()2

2

112x y +++= （D ）()()2

2

112x y -+-=

（3）下列函数中为偶函数的是（ ）

（A ）2

sin y x x = （B ）2

cos y x x =

（C ）ln y x = （D ）2x

y -=

（4）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年人数为（ ）

（A ）90 （B ）100 （C ）180 （D ）300

类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计

4300

（5） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）

（A ）3 （B ） 4 (C) 5 (D) 6

（6）设,a b 是非零向量，“a b a b ?=”是“a //b ”的（ ）

（A ） 充分而不必要条件

（B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件

（D ） 既不充分也不必要条件

（7）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）

(A) 1 （B ）

（B ）

(D) 2

（8）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况。在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）

加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）

2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日

48

35600

注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程

（A ）6升 （B ）8升 （C ）10升 （D ）12升

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）复数()1i i +的实部为

．

（10）13

2

22,3,log 5-三个数中最大数的是

．

（11）在ABC ?中，23,6,,3

a b A π

==

∠=

则B ∠=

．

（12）已知()2,0是双曲线()2

2

210y x b b

-=>的一个焦点，则b =

．

（13）如图，ABC ?及其内部的点组成的集合记为D ，(),P x y 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为 ．

（14）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ． ②在语文和数学两个科目中，两同学的成绩名次更靠前的科目是 ．

三、解答题（共6题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）已知函数()2

sin 2

x f x x =-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π??

????

上的最小值。

（16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 满足124310, 2.a a a a +=-= （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==；问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？

（17）（本小题13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，商品 顾客人数

甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98

×

√

×

×

（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

（18）（本小题14分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ?为等边三角形，

AC BC ⊥,且2AC BC ==,,O M 分别为,AB VA 的中点。

（Ⅰ）求证: VB //平面MOC ;

（Ⅱ）求证：平面MOC ⊥平面VAB ; （Ⅲ）求三棱锥V ABC -的体积。

（19）（本小题13分）设函数()2

ln ,02

x f x k x k =->。 （I ）求()f x 的单调区间和极值；

（II ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(

1,e ??

上仅有一个零点。

(20)(本小题14分)已知椭圆2

2

:33C x y +=,过点

且不过点的直线与椭圆交于两点，

直线与直线.

（1）求椭圆的离心率；

（II ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；

（III ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由。

2015年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）1- （10）2log 5 （11）4

π

（12 （13）7 （14）乙 数学 三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（13分）解：（Ⅰ）

()sin f x x x =

2sin 3x π??

=+

- ??

?

∴()f x 的最小正周期为2π.

（Ⅱ）

20,3x π≤≤

.33

x ππ

π∴≤+≤ 当 3x ππ+= 时，即23

x π=时，()f x 取得最小值.

所以()f x 在20,

3π??

????上的最小值为

23

f π

??

= ???

(16)(共13分)解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 432, 2.a a d -=∴=

又

121110,210, 4.a a a d a +=∴+=∴=

()()421221,2,.n a n n n ∴=+-=+=

（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .

23328,16,b a b a ====

12, 4.q b ∴==

61

642128.b -∴=?=

由12822,63.n n =+∴= ∴6b 与数列{}n a 的第63项相等.

（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为

200

0.21000

= （Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100200

0.31000

+=

（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为

200

0.21000

=， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100200300

0.61000++=，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为100

0.11000

=，

所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为,O M 分别为,AB VA 的中点， 所以OM VB 又因为VB ?平面MOC , OM ?平面MOC 所以VB

平面MOC

（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点， 所以OC AB ⊥.

又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ?平面ABC ， 平面VAB 平面ABC AB =

所以OC ⊥平面VAB ，又因为OC ?平面MOC 所以平面MOC ⊥平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角ABC ?中，AC BC ==

所以2, 1.AB OC ==

所以正VAB ?的面积VAB S ?= 又因为OC ⊥平面VAB ，

所以133

C VAB VAB V OC S -?=

?=,

又因为V V =, 所以V =

.

解：（Ⅰ）由()()2

ln 02

x f x k x k =-> 所以()f x 的定义域为()0,+∞

()2'.k x k

f x x x x

-=-=

令()'0,f x = 解得x =

()f x 与()'f x 在区间()0,+∞上的情况如下：

所以，()f x 的单调减区间为(，单调增区间为)

+∞；

()f x 在x =f

=()1ln 2

k k -.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间()0,+∞上的最小值为f

=

()

1ln 2

k k -. 因为()f x 存在零点，所以()

1ln 2

k k -0≤，所以k e ≥.

① 当k e =时，()f x 在区间(

上单调递减，且0f

=.

所以x =

()f x 在区间(

上的唯一的零点.

② 当k e >时，()f x 在区间(

上单调递减，且()1

10,0.2

2

e k

f f -=

>=

<

所以()f x 在区间(

上仅有一个零点.

综上可知：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(

上仅有一个零点。

解：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2

2 1.3

x y +=

所以a =

1,b =

c =

所以椭圆C

的离心率3

c e a =

= （Ⅱ）因为直线AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴， 所有可设()()111,,1,.A y B y - 直线AE 的方程为()()1112y y x -=--.

令3x =， 得()13,2M y -.

所以直线BM 的斜率11

2131

BM y y k -+=

=-.

（Ⅲ）直线BM 与直线DE 平行，证明如下：

①当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.

又因为DE 的斜率10

1.21

DE k -=

=- 所以BM DE ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为()()11.y k x k =-≠

设()()1122,,,,A x y B x y 则直线AE 的方程为()111

12.2

y y x x --=

-- 令3x =， 得点11133,

2x y M x ??

+- ?-??

.

由()

22331x y y k x ?+=??=-?? 得()2222316330.k x k x k +-+-=

所以 21222

122631

3331k x x k k x x k ?+=??+?-?=?+?

直线BM 的斜率112

12

3

2

3BM

x y y x k x +---=

-. 因为()()()()()

()()

11212121131232132BM x k x k x x x x k x x +---------=

--

()()()()

12122112332k x x x x x x --++-????=

--

()()()

2222213312133131032k k k k k x x ??-+-+- ?

++??==-- 所以1BM DE k k ==， 所以BM DE 综上所述，直线BM 与直线DE 平行.