|{<>∈x a
x x x 或 当a>2时，}12
|{><∈x a
x x x 或
4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (
2
1
)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (
xy
y
x ++1) ⑴证明：f (x )在(－1，1)上为奇函数； ⑵对数列x 1＝
21
，x n ＋1＝212n
n x x +，求f (x n ); ⑶求证
25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0 令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数 (Ⅱ)解：f (x 1)＝f (
21
)＝－1，f (x n ＋1)＝f (212n n x x +)＝f (n
n n n x x x x ?++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )
∴
)
()
(1n n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列
∴f (x n )＝－2n －1
(Ⅲ)解：
)21
21211()(1)(1)(11
221-++++=+++n n
x f x f x f 221
2)212(2
112111
1->+-=--=---=--n n n
而2
2
1
2)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴25
2)(1)(1)(121++-
>+++n n x f x f x f n
5.已知函数N x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意,,,2121x x N x x ≠∈都有
)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；
（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ?∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；
（3）若(0)1f =，对任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，
证明：∑
=<-n
i i f 1
4
1
)13(12. 证明：（1）由①知，对任意*
,,a b a b ∈--b f a f b a ，
由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*N 上的单调增函数. （2）由（1）可知n N ?∈都有f(n+1)>f(n),则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥ ??? ∴ f(2)-f(1)1≥
∴f(1)-f(0)1≥由此可得f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证
（3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f
得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1
21
)311(21311)
31
1(313
13131)13(121
<-=--=+???++=-∑
=n
n n n
i i f
6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：
(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.
(I)求(0)f 的值； (II)求()f x 的最大值；
(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*
12(3),n n S a n N =--∈.
求证：1231
12332
()()()()2n n f a f a f a f a n -?+++
+≤+-.
解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤
由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥
22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥
max ()(1)3f x f ∴==
(III)
*12(3)()n n S a n N =--∈1
112(3)(2)n n S a n --∴=--≥
1111133(2),10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= 11
1112113333333()(
)()()()23()4n n n n n n n
n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1
111
43
333()()n n f f -∴≤+，即11433
())(n n f a f a +≤+。 2211221
14144
144441
12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故1
13
()2n n f a -≤+ 1213
13
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴++
+
≤+即原式成立。
7. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有
()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成
立，则称函数()f x 为理想函数．
(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
(2)判断函数()21x
g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；
(3) 若函数()f x 为理想函数，
假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且
00(())f f x x =，求证00()f x x =．
解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．
又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．
（2）显然12)(-=x
x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；-
也满足条件②1)1(=g ． 若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则
)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g 0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，
故)(x g 理想函数．
（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]，
)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴
若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾； 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾． 故)(00x f x =
8.已知定义在R 上的单调函数()f x ,存在实数0x ,使得对于任意实数12,x x ,总有
0102012()()()()f x x x x f x f x f x +=++恒成立。
(Ⅰ)求0x 的值；
(Ⅱ)若0()1f x =,且对任意正整数n ,有1
(
)12n n
a f =+, ,求数列{a n }的通项公式； (Ⅲ)若数列{
b n }满足12
21n n b og a =+，将数列{b n }的项重新组合成新数列{}n c ，具体法则
如下：112233456,,,c b c b b c b b b ==+=++478910,c b b b b =+++……，求证：
123
11112924
n c c c c ++++
<。 解：(Ⅰ)令120x x ==，得0()(0)f x f =-，①
令121,0x x ==，得00()()(1)(0)f x f x f f =++，(1)(0)f f ∴=-，② 由①、②得0()(1)f x f =，又因为()f x 为单调函数，01x ∴= (Ⅱ)由（1）得121212()()()(1)()()1f x x f x f x f f x f x +=++=++，
1111
(1)()()()(1),2222f f f f f =+=++
111
()0,()1122f a f ==+= 11111111111
()()()()(1)2()1222222n n n n n n f f f f f f +++++=+=++=+， 1111
()1[()1],222
n n f f ++=+ 112n n a a +=，1
12n n a -??= ?
??
，
1
112212121212n n n b og a og n -??=+=+=+ ?
??
(Ⅲ)由{C n }的构成法则可知，C n 应等于{b n }中的n 项之和，其第一项的项数为
[1+2+…+(n －1)]+1=2)1(n n -+1，即这一项为2×[2
)1(n
n -+1]－1=n(n －1)+1 C n =n(n －1)+1+n(n －1)+3+…+n(n －1)+2n －1=n 2
(n －1)+2
)121(-+n n =n 3
3192912824
+=<
当3n ≥时，
322111111
[](1)2(1)(1)
n n n n n n n n n =<=---+ 3
3331111111111
11[]
234
822334
(1)(1)
n n n n n ∴+
++++
<++-++
-??-??+111111291[]18223(1)81224
n n <++-<++=??+
解法2：
3234(1)(2)0,4(1)n n n n n n n n --=-≥∴≥-
3333311111()4(1)411111111111
11()234842311111119291181648161624
n n n n n
n n n
n <=---∴+++++<++-+
+
--<++-<++=<
9.设函数()f x 是定义域在(0,)+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有
()()()f xy f x f y =+，已知(2)1f =
.
（1）求1()
2f 的值；
（2）一个各项均为正数的数列
{}n a 满足：()()(1)1(*)n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n
S 是数列
{}n a 的前n 项的和，求数列{}n a 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在正数M ，使
122n n a a a ???
?11)a ≥- 2(21)
a ?-(21)
n a ?-
对一切*n N ∈成立若存在，求出M 的取值范围；若不存在，说明理由.
解：（1）∵()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，有(1)(1)(1)2(1)f f f f =+=，∴(1)0f =.
再令12,2x y ==，有1(1)(2)()2f f f =+，∴1()(1)(2)011
2f f f =-=-=-，∴1()12f =-
（2）∵()()(1)1n n n f S f a f a =++-11
[(1)]()[(1)]22n n n n f a a f f a a =++=+,
又∵()f x 是定义域(0,)+∞上单调函数，∵0n S >，1
(1)0
2n n a a +>，∴
1
(1)
2n n n S a a =+ ……①
当
1n =时，由
1111
(1)
2
S a a =+，得
11a =，当
2
n ≥时，
1111
(1)2n n n S a a ---=
+ ……②
由①－②，得11111
(1)(1)22n n n n n n n
S S a a a a a ----=+-+=，
化简，得
22
11()0
n n n n a a a a ----+=，∴
11()(1)0
n n n n a a a a --+--=，
∵0n a >，∴110
n n a a ---=，即11n n a a --=，∴数列{}n a 为等差数列. 11a =，公差1d =. ∴
1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-?=，故n a n =.
（3）∵
12
2212
2!
n n n n a a a n n ???=???=?，
12(21)(21)(21)13
(21)
n a a a n ---=??-
令
21)(21)n n n n b a a =
--3(21)n n ?- 而
113(21)(2n n
b n ++?-.
∴1n n b b
+==1>，
∴
1n n
b b +>，数列{}n b 为单调递
增函数，由题意n M b ≤恒成立，
则只需
min
()n M b ≤=
1
b =
∴
M ∈，存在正数M ，使所给定的不等式恒成立，M 的取值范围为
.
10.定义在R 上的函数f （x ）满足fxy fx fy f ()()()()++=+=11
20，，且x >
1
2
时，f （x ）<0。
（1）设a fnn N n =∈()()*
，求数列的前n 项和S n ； （2）判断f （x ）的单调性，并证明。
解：（1）f f f ()11212
11
=?? ?
??+?? ?
??-=- 令x =n ，y =1，则f n f n f f n ()()()()+=+-=-1112
所以，a a a n n 1112=--=-+，
故数列{}a n 是首项为－1，公差为－2的等差数列。
因此，()()S n n n n n
=-+-?-=-·()112
22
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以 x x 21121
2-+> 于是f x x ()2112
0-+<
又f x f x f x x ()()()2121
1-=-- =-+-=-+21211211
2
0 所以f x f x ()()21
<，而函数f （x ）在R 上是减函数。 11. 设函数f （x ）定义在R 上，对于任意实数m 、n ，恒有fm n fm fn ()()()+=·，且当x >0时，0（1）求证：f （0）=1，且当x <0时，f （x ）>1； （2）求证：f （x ）在R 上单调递减；
（3）设集合{
}
A x y f xf y f =>(,)|()()()
22
1·， {}
B x y f a x y a R =-+=∈(,)|()21，，若A B ∩=?，求a 的取值范围。 解：（1）令m=1，n=0，得f （1）= f （1）·f （0） 又当x >0时，0< f （x ）<1，所以f （0）=1 设x <0，则－x >0
令m=x ，n=－x ，则f （0）= f （x ）·f （－x ） 所以f （x ）·f （－x ）=1
又0< f （－x ）<1，所以f x f x ()()
=
->1
1
（2）设x x R 12、∈，且x x 12<，则x x 210-> 所以0121
<-0恒成立
所以
f x f x f x x ()()()21
21
=- 所以0121<
()
所以f （x 2）< f （x 1），故f （x ）在R 上是单调递减的。
（3）由
得：f x y f ()()22
1
+> 因为f （x ）在R 上单调递减
所以x y 2
2
1+<，即A 表示圆x y 2
2
1+=的内部 由f （ax －y +2）=1= f （0）得：ax －y +2=0 所以B 表示直线ax －y +2=0
所以A B ∩=?，所以直线与圆相切或相离，即
2112
+≥a
解得：-≤≤33a
12.定义在R 上的函数f （x ）对任意实数a 、b 都有f （a +b ）+ f （a －b ）=2 f （a ）·f
（b ）成立，且f ()00≠。
（1）求f （0）的值； （2）试判断f （x ）的奇偶性；
（3）若存在常数c >0使f c
()2
0=，试问f （x ）是否为周期函数若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。
解：（1）令a =b =0
则f （0）+ f （0）=2 f （0）·f （0） 所以2 f （0）·[f （0）－1]=0 又因为f ()00≠，所以f （0）=1
（2）令a =0，b =x ，则f （x ）+ f （－x ）=2 f （0）·f （x ） 由f （0）=1可得f （－x ）= f （x ） 所以f （x ）是R 上的偶函数。 （3）令a x c b c =+=22
，，则
f x c c f x c c fx c f c +?? ???+??????++?? ???-?????
?=+?? ????? ?
??2222222· 因为f c 20?? ?
?
?=
所以f （x +c ）+ f （x ）=0 所以f （x +c ）=－ f （x ）
所以f （x +2c ）=－ f （x +c ）= －[－f （x ）]= f （x ） 所以f （x ）是以2c 为周期的周期函数。
13.已知函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：
（1）f x x f x f x f x f x ()()()()()12
12
21
1-=+-·
（2）存在正常数a ，使f （a ）=1 求证：（1）f （x ）是奇函数；
（2）f （x ）是周期函数，并且有一个周期为4a 证明：（1）设t x x =-12
，则 f t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t ()()()()()()
()()()()()()-=-=
+-=-
+-=--=-2121121221121
1
··
所以函数f （x ）是奇函数。
（2）令x a x a 122==
，，则f a f a f a f a f a ()()()()()
=+-21
2·
即121
12=
+-f a f a ()()
解得：f （2a ）=0
所以f x a f x f a f a f x f x fa fa f x f x ()()()()()()[()]()()()
+=
-+--=-+--=-22122121
··
所以()
f x a f x a f x
f x +=-+=--=4121
1()
()()
因此，函数f （x ）是周期函数，并且有一个周期为4a 。
14.已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=?，，且当x <0时，f x ()>1，求证：
（1）x >0时，01<0，则-1， 而f f x f x ()()()01=?-=
∴-=
>f x f x ()()
1
1 ∴<<01f x ()， 设x x R 12，∈且x x 12<， 则0121<-f x f x ()()12， 即f x ()为减函数。
15.已知函数f x ()是定义在(]-
∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式fk x fk x
(s i n )(s i n)-≥-22
恒成立，求k 的值。 分析：由单调性，脱去函数记号，得
k x k x k x k x k k x 22
222222
1111412-≤-≤-??????≤+-+≥-????
?sin sin sin sin ()
(sin )(2)
由题意知(1)(2)两式对一切x R
∈恒成立，则有
k x k k x k 2222
111412941≤+=-+≥-=?????????
??=-(s i n )(s i n )m i n m a x 16.设定义在R 上的函数()f x 对于任意,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且
(1)2f =-，当0x >时，()0f x <。
（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；
（2）试问：当-2003≤x ≤2003时，()f x 是否有最值如果有，求出最值；如果没有，说明理由；
（3）解关于x 的不等式
2211
()()()()22
f bx f x f b x f b ->-，其中22b ≥. 分析与解：⑴令x=y=0，可得f(0)=0
令y=-x ，则f(0)=f(－x)+f(x)，∴f(－x)= －f(x)，∴f(x)为奇函数 ⑵设－3≤x 1＜x 2≤3，y=－x 1，x=x 2
则f(x 2－x 1)=f(x 2)+f(－x 1)=f(x 2)－f(x 1)，因为x ＞0时，f(x)＜0， 故f(x 2－x 1)＜0，即f(x 2)－f(x 1)＜0。
∴f(x 2)＜f(x 1)、f(x)在区间[－2003、2003]上单调递减
∴x=－2003时，f(x)有最大值f(－2003)=－f(2003)=－f(2002+1)=－[f(2002)+f(1)]=－[f(2001)+f(1)+f(1)]=…=－2003f(1)=4006。 x=2003时，f(x)有最小值为f(2003)= －4006。 ⑶由原不等式，得
2
1[f(bx 2) －f(b 2
x)]＞f(x) －f(b)。 即f(bx 2
)+f(－b 2
x)＞2[f(x)+f(－b)]
∴f(bx 2
－b 2
x)＞2 f(x －b)，即f[bx(x －b)]＞f(x －b)+f(x －b) ∴f[bx(x －b)]＞f[2 f(x －b)]
由f(x)在x ∈R 上单调递减，所以bx(x －b)＜2(x －b)，∴(x －b)(bx －2) ＜0
∵b 2
≥2, ∴b ≥2或b ≤－2
当b ＞2时，b ＞
b 2，不等式的解集为?
???????b x b x 2|
当b ＜－2时，b ＜
b 2，不等式的解集为????
??
??b x b x x 2|或
当b=－2时，不等式的解集为{}
R x x x ∈-≠且,2| 当b=2时，不等式解集为φ
17.已知定义在R 上的函数()f x 满足：
（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<；
（2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=+
试回答下列问题： （Ⅰ）试求()0f 的值；
（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；
（Ⅲ）若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ??
??
????+++> ?
? ? ?++????????
．
分析与解：（Ⅰ）在()()()()()
1f m f n f m n f m f n ++=+中，令0,0m n >=，则有()()()()()
010f m f f m f m f +=+．即：
()()()()()100f m f m f f m f +=+????．也即：()()()2010f f m ??-=??
． 由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()
()
2
10f m ??-≠?
?
，所以()00f =．
（Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知
()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=
+，我们可以联想到：是否有()()()
()()
1f m f n f m n f m f n --=-（＊） 这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立
为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于()00f =，所
以，在()()()
()()
1f m f n f m n f m f n ++=+中，令n m =-，得()()0f m f m +-=．所以，函数()
f x 为奇函数．故（＊）式成立．所以，()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--????．任取
12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<．所以，
()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--
（Ⅲ）由于函数()f x 在R 上单调递减， 所以，函数()f x 必存在反函数()g x ，
由原函数与反函数的关系可知：()g x 也为奇函数；()g x 在()1,1-上单调递减；且当
10x -<<时，()0g x >．
为了证明本题，需要考虑()g x 的关系式．
在（＊）式的两端，同时用g 作用，得：()()()()1f m f n m n g f m f n ??--=??-??
，
令()(),f m x f n y ==，则()(),m g x n g y ==，则上式可改写为：()()1x y g x g y g xy ??--= ?-??
．
不难验证：对于任意的(),1,1x y ∈-，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了()g x 的关系式． 这个式子给我们以提示：即可以将
2
131n n ++写成1x y
xy
--的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端．
事实上，由于
()()()()
()()
2
1
1
1
1211
121
1131
121
111212n n n n n n n n n n n n -
++++=
=
=
++++--
-?++++???? ? ?????
，
所以，2
1113112g g g n n n n ??????
=-
? ? ?++++??????． 所以，211151131g g g n n ????
??
+++ ?
? ?++??
??
??
1111112334121111122222g g g g g g n n g g g g g n n ??????????????????=-+-+- ? ? ? ? ? ???????
++??????????
??????????????????
=-=+-> ? ? ? ? ?
++??????????
点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定()0f 的值．
18.已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f （27）＝9，当时，。
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若，求a的取值范围。
分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且
在［0，＋∞）上是增函数。
解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴
f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。
（2）设，∴，，
∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。
（3）∵f（27）＝9，又，
∴，∴，∵，∴，
∵，∴，又，故。
19.设函数的定义域为全体R，当x<0时，，且对任意的实数x，
y∈R，有成立，数列满足，且
（n∈N*）
（Ⅰ）求证：是R上的减函数；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若不等式对一切n∈N*均成立，求k
的
最大值．
解析：（Ⅰ）令，得，
由题意知，所以，故．
当时，，，进而得．设且，则，
．
即，所以是R上的减函数．
（Ⅱ）由得，
所以．
因为是R上的减函数，所以，
即，进而，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以，
所以
．
（Ⅲ）由对一切n∈N*均成立．知对一切n∈N*均成立．
设，
知且
又．
故为关于n的单调增函数，．
所以，k的最大值为
20.函数f(x)的定义域为D {}0
∈，都有
=>, 满足: 对于任意,m n D
x x
