(完整版)算法设计与分析期末考试卷及答案a

一．填空题(每空 2 分，共30分)

1．算法的时间复杂性指算法中的执行次数。

2．在忽略常数因子的情况下，O、和三个符号中，提供了算法运行时间的一个上界。

3．设D n表示大小为n的输入集合，t(I)表示输入为I时算法的运算时间, p(I)表示输入

I 出现的概率，则算法的平均情况下时间复杂性A(n)= 。

4．分治算法的时间复杂性常常满足如下形式的递归方程：

f (n) d , n n0

f(n) af(n/c) g(n) , n n0

其中，g(n)表示。

5. 分治算法的基本步骤包括。6．回溯算法的基本思想是。

7．动态规划和分治法在分解子问题方面的不同点是。

8．贪心算法中每次做出的贪心选择都是最优选择。

9．PQ 式的分支限界法中，对于活结点表中的结点，其下界函数值越小，优先级

10．选择排序、插入排序和归并排序算法中，算法是分治算法。

11．随机算法的一个基本特征是对于同一组输入，不同的运行可能得到的结果。12. 对于下面的确定性快速排序算法，只要在步骤3 前加入随机

化步骤，就可得到一个随机化快速排序算法，该随机化步骤的功能是。

算法QUICKSORT

输入：n 个元素的数组A[1..n] 。

输出：按非降序排列的数组 A 中的元素

1. quicksort(1, n)

end QUICKSORT

＿

＿过程 quicksort(A, low, high)

＿＿

// 对 A[low..high] 中的元素按非降序排序。

＿

号学

2. if low

w=SPLIT(A, low, high)

栏＿

//算法 SPLIT 以 A[low] 为主元将 A[low..high] 划分成两部

＿

//分，返回主元的新位置。

名

姓

4. quicksort (A, low, w-1)

息

quicksort (A, w+1, high)

级年＿

6． end if

线

end quicksort

信

＿

13．下面算法的基本运算是

运

算，

该算法的时间复杂性阶

＿＿

为 (

) 。

业

算法 SPLIT

专

＿

订

输入：正整数 n ，数组 A[1..n] 。

生

＿

输出：?。

＿＿

i=1

考＿系

＿

装

x=A[1]

＿＿

for j=2 to n

＿

if A[j]<=x then

＿

院 i=i+1

学＿

if i j then A[i] A[j]

＿＿

end if

＿＿

＿

end for

A[i] A[1]

w =i

return w, A end SPLIT

二．计算题和简答题(每小题7 分，共21分)

1．用O、、表示函数f 与g 之间阶的关系，并分别指出下列函数中阶最低和最高的函数：

(1) f (n)=100 g(n)=100n

(2) f(n)=6n+n log n g(n)=3n

(3) f(n)= n/logn-1 g(n)= 2 n

(4) f(n)= 2n n2g(n)=3n

(5) f(n)= log3 n g(n)= log2 n

2．下面是一个递归算法，其中，过程pro1 和pro2 的运算时间分别是1 和log 2n 。给出该算法的时间复杂性T(n)满足的递归方程，并求解该递归方程，估计T(n)的阶(用表示)。

算法EX1

输入：正整数n，n=2k。输出：?

ex1(n)

end EX1 过程ex1(n) if n=1 then pro1(n)

else

栏

名

姓

级

年

＿

系

＿院

学

pro2(n)

ex1(n/2)

end if

return

end ex1

3．用Floyd 算法求下图每一对顶点之间的最短路径长度，计算矩阵D0，D1，D2和D3，其中D k[i, j]表示从顶点i到顶点j的不经过编号大于

k 的顶点的最短路径长

度。

三．算法填空题

(共

1．(10 分)设n 个不同的整数按升序存于数组A[1..n] 中，求使得A[i]=i 的下标i 。下面是求解该问题的分治算法。

算法SEARCH

输入：正整数n，存储n 个按升序排列的不同整数的数组

A[1..n] 。输出：A[1..n] 中使得A[i]=i 的一个下标i，若不存在，

则输出no solution。

i=find ( (1) )

if i>0 then output i

else output “ no solution ”

end SEARCH

过程find (low, high)

// 求A[low..high] 中使得A[i]=i 的一个下标并返回，若不存在，

输出：n 个矩阵链乘所需的数量乘法的最少次数。

for i=1 to n C[i, i]= (1)

for d=1 to n-1

for i=1 to n-d

＿j= (2)

＿＿

＿C[i, j]= ∞

号学for k=i+1 to j

＿栏＿＿

＿x= (3)

＿＿if x

＿(4) =x

＿

名end if

息姓

end for

级

年线end for

＿信＿

＿return (5)

＿

＿end MATCHAIN

业3．（14 分）下面是用回溯法求解马的周游问题的算法。

生专

＿订

马的周游问题：给出一个nxn 棋盘，已知一个中国象棋马在

＿

＿棋盘上的某个起点位置（x0, y0），求一条访问每个棋盘格点恰好＿

＿

一次，最后回到起点的周游路线。（设马走日字。）

考＿系算法HORSETRAVEL

＿装

＿＿

＿

输入：正整数n，马的起点位置（x0, y0），1<=x0, y0<=n 。

＿＿

输出：一条从起点始访问nxn 棋盘每个格点恰好一次，最后回到起

＿院点的周游路线；若问题无解，则输出no solution。

学

tag[1..n, 1..n]=0

＿

dx[1..8]={2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2}

＿dy[1..8]={1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1}

＿flag=false

四．算法设计题( 15 分)

1. 一个旅行者要驾车从 A 地到 B 地，A 、B 两地间距离为 s 。A 、B 两

地之间有 n 个加油站，已知第 i 个加油站离起点 A 的距离为 d i 公里， 0=d 1 d 2

d n s ，车加满油后可行驶 m 公里，出发之前汽车

油箱为空。应如何加油使得从 A 地到 B 地沿途加油次数最少？给出用贪心法求解该最优化问题的贪心选择策略，写出求该最优化问题的最优值和最优解的贪心算法，并分析算法的时间复杂性。

线

订

装

《算法设计与分析》期考试卷 (A) 标准答案

一. 填空题：

1. 元运算

＿栏

＿＿

＿

名

姓息

级

年

＿＿＿信

＿＿信＿＿

＿＿

＿

业

专生

＿＿

＿

＿＿

＿系＿考＿＿＿＿

＿＿

2. O

p(I)t(I)

I D n

4. 将规模为 n 的问题分解为子问题以及组合相应的子问题的解所需的时间

5. 分解，递归，组合

6. 在问题的状态空间树上作带剪枝的 DFS 搜索(或： DFS+ 剪枝)

7. 前者分解出的子问题有重叠的，而后者分解出的子问题是相互独立(不重叠)的 8. 局部 9. 高

10. 归并排序算法 11. 不同

12. v=random (low, high); 交换 A[low] 和 A[v] 的值随机选主元 13. 比较

二. 计算题和简答题：

1. 阶的关系： (1) f(n)= O(g(n)) (2) f(n)= (g(n)) (3) f(n)= (g(n)) (4)

f(n)= O(g(n))

(5) f(n)= (g(n))

阶最低的函数是： 100

T(n) 1

T(n) T(n/2) log 2n , n 1

将 n= 2k , a=1, c=2, g(n)= log 2n , d=1 代入该类递归方程解的一般形式得：

=1+ k log 2

n -

k(k 1) 1

= log 22 n + 1

log 2 n +1

2 2

222

所

以， 1

T(n)= log

2 22

+ 2log 2

n +1= (log 2 n) 。

2 0

2 D 0

3 0

6 D

3 0 5 D 2 3 0 5

10 5

10 50

5 0

T(n)=1+

i 0

2 i 0

阶最高的函数是：

2. 该递归算法的时间复杂性 T(n)满足下列递归方程：

k 1 k 1

log 2 i =1+k log 2 n - i

072 D 3 3 0 5

850

. 算法填空题：

四. 算法设计题：

1. 贪心选择策略：从起点的加油站起每次加满油后不加油行驶尽可能远，直至油箱中的油耗

尽前所能到达的最远的油站为止，在该油站再加满油。算法输

入： MINSTOPS A 、B 两地间的距离 s ，A 、B 两地间的加油站数 n ，车加满油后可行驶的公里数

m ，存储各加油站离起点 A 的距离的数组 d[1..n] 。输出：

从 A 地到 B 地的最少加油次数 k 以及最优解 x[1..k] ( x[i] 表示第 i 次加油的加油

站序号)，若问题无解，则输出 no solution 。

d[n+1]=s; //设置虚拟加油站第 n+1 站。 for i=1 to n

if d[i+1] -d[i]>m then

output “ no solution ” ; /r/e 无tu 解rn ，返回 end if end for

k=1; x[k]=1 //在第 1 站加满油。

s1=m //s1 为用汽车的当前油量可行驶至的地点与 A 点的距离 i=2 while s1

if d[i+1]>s1 then // 以汽车的当前油量无法到达第 i+1 站。 k=k+1; x[k]=i // 在第 i 站加满油。 s1=d[i]+m // 刷新 s1 的值 end if i=i+1

end while output k, x[1..k]

MINSTOPS

最坏情况下的时间复杂性：Θ (n)

1. (1) 1, n

(4) mid+1, high (2) low>high

(5) find(low, mid -1)

(3) A[mid]=mid

2. (1) 0 (2) i+d

(3) C[i, k -1]+C[k, j]+r[i]*r[k]*r[j+1]

(4) C[i, j] (5) C[1, n]

3. (1) i>=1

(4) i+1

(7) x=x-dx[k[i]];

(2)k[i]+1 (5) k[i]=0

y=y-dy[k[i]]

(3) 1

(6) tag[x, y]=0