全国卷理科数学及答案
全国卷理科数学及答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第I 卷
一．选择题
（1）复数2
31i i -??= ?+??
（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +
（2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>
（C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈
（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -????+?
≥≥≤，则2z x y =+的最大值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
（5）不等式2601
x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜
（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜
（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种
（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4
π个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π个长度单位 （8）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =
（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355
a b +
（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A ）1 （B （C ）2 （D ）3
（10）若曲线12
y x -=在点12,a a -?? ???处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a =
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8
（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点
（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个
（C ）有且只有3个 （D ）有无数个
（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =
（A ）1 （B （C （D ）2
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3
a π+=-，则tan a = ． （14）若9()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．
（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． （18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+．
（Ⅰ）求lim n n n
a S →∞； （Ⅱ）证明：12222312n n a a a n
+++…＞． （19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱
111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的
中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．
（20）（本小题满分12分） 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是．电流
能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为．
（Ⅰ）求p ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；
（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：
()22
22
100x y a b a b -=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
（22）（本小题满分12分）设函数()1x f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围．