精品高考数列经典大题

2020-12-12

【关键字】条件、满足

1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()25

2123n n

n b a n n +=

++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有

a ++

．

（Ⅰ）求2a

，3a 的值；

（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n

a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2

21N n n n S S n n ∈++=+

（1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ；（3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1

≥-+=

--n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公

式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ．

5：已知数列{}n a 是等差数列，()

*+∈-=N n a a c n n n 21

（1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果

()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的

通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；

若不存在，说明理由。

6.已知各项均为正数的数列{}n a 满足12

212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,

其中*∈N n .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设数列}{n b 满足n n

n n na b 2

)12(?+=

,是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的

,m n 的值；若不存在，请说明理由.(3) 令1n n

c a =+

,记数列}{n c 的前n 项积为n T ,其中*∈N n ,试比较n T 与9的大小,并加以证明.

7.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列

}{n b 中，对于一切n ∈N

,有

k k k n b b b b =++=

++，且

1231,2,3b b b ===.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <. 8.已知函数

213(),{},22

n f x x x a =

+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *

∈）均在函数()y f x =的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1

,2n

n n a b -=

求数列{}n n b n T 的前项和；

（3）令11,n n n n n a a c a a ++=+证明：121

222

n c c n <++<+n …+c ．

9.已知数列 {}n a 满足112,21n n n a a a a +==+.

（Ⅰ）令1n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，（ⅰ）令2n n n T S S =-，求证：数列{}n T 是单调数列；（ⅱ）求证：当2n ≥时，

271112

n n S +≥

． 10.已知数列{}n a 的首项13

a =

，13,1,2,21n n n a a n a +=

=+．

（1）求证：数列11n a ??

-????为等比数列；

(2) 记12111

n n

S a a a =

++，若100n S <，求最大的正整数n ．（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 11.已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.

(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列；

(Ⅱ) 若()n n n b a f a =?，当2k =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；

（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．

12.已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且

满足2

21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1

n n n b a a +=

?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．

13.设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．

（1）已知11a =，2d =，

（ⅰ）求当n ∈N *时，

n S n

+的最小值；（ⅱ）当n ∈N *时，求证：132422315

n n n S S S S S S +++++<；

（2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由． 14.定义数列{}n a ： 121,2a a ==，且对任意正整数n ，有

22(1)(1)1n n n n

a a ++??=+-+-+??. （1）求数列{}n a 的通项公式与前n 项和n S ；

（2）问是否存在正整数,m n ，使得221n n S mS -=？若存在，则求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，则加以证明.

15.已知数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）．

若x =是函数

311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．

（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记1

2(1)n n

b a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值；

（Ⅲ）当t =2时，求证：对于任意的正整数n ，有 ∑=+<++n

k k k k a a 1131

)

1)(1(2。

16.已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n

b b b b a )1(444411

11321+=---- ，证明：{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：

()23

11112

n n N a a a *++++

<∈