七年级数学下册第九章《三角形》9.2三角形的内角和外角三角形的内角和问题素材(新版)冀教版

七年级数学下册第九章《三角形》素材：

三角形的内角和问题

利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明『三角形三内角之和为180o定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32，证明如下：

第一卷命题32

在任意三角形中，如果延长一边。则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。

设ABC是一个三角形，延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB，ABC的和且三角形的三个内角 ABC.BCA.CAB的和等于二直角。

事实上，过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞

这样，由于AB平行于CD，且AC和它们同时相交，其错角BAC，ACE彼此相等﹝I. 29﹞

又因为，AB平行于CE，且直线BD同时和它们相交，同位角ECD 与角ABC相等。﹝I. 29﹞

但是已经证明了角ACE也等于角BAC；

故整体角ACD等于两内对角BAC.ABC的和。

给以上各角加上ACB。

于是角ACD.ACB的和等于三个角ABC.BCA.CAB的和。

但角ACD.ACB的和等于二直角。﹝I. 13﹞

所以，角ABC.BCA.CAB的和也等于二直角。

证完

﹝取材自蓝纪正，朱恩宽﹝1992﹞。《欧几里得?几何原本》，页27。台北：九章出版社﹞

但若不用这条公理，又何以证明呢？

法国著名数学家勒让德﹝1752─1833﹞为此作出研究，并于1794年出版了被世界各国广泛采用为初等几何教材的《几何原理》。书中他重新排列欧几里得的几何命题，把定理与一般命题分列，简化证明之余，仍保持逻辑上的严密性。书中亦提及『三角形三内角和不大于180°』这著名的命题，其证明步骤如下：于直线上取

AC=CC1=...=Cn-2Cn-1，作全等三角形△ABC≌△CB1C1≌...≌△

Cn-2Bn-1Cn-1，连BB1，B1B2，...，Bn-2Bn-1，得全等三角形△BCB1≌△B1C1B2≌... ≌△Bn-1Bn-2Cn-1 。拼作△B0AB≌△BCB1﹝此时认为B0，B，B1，...，Bn-1在一条直线上并无根据的﹞。

若△ABC的三内角和大于180°，必使角α大于角β，故AC>BB1，但AB0 + B0B +...+ Bn-1Cn-1>AC + CC1 +...+ Cn-2Cn-1，故2AB0 + nBB1>nAC，即n(AC-BB1)<2AB0=2BC，并一切自然数n都合符上式，这与阿基米德公理﹝对于任意二个正实数a与b，必存在正整数n，使na ≧ b成立﹞矛盾，故此，三角形三内角和不大于180°。