高层办公楼电梯问题

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

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2.

3.

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高层办公楼电梯问题

摘要

繁华的都市和人口密度的高度集中使得电梯成为人们生活中不可缺少的一种交通工具。在办公场所，每天的上下班时间都会在拥挤的人潮中听到对电梯运行速度和调控安排的不满和抱怨，然而在电梯运行速度既定的情况下，合理的安排电梯停靠楼层的方案变成了提高电梯运行效率的唯一出路。

对于问题一，要设计一个较优的电梯调运方案，我们首先建立一个模型，对电梯调运可使用的随机运行方案、奇偶层运行方案、分层运行方案、随机与分层相结合这四种方案进行计算、比较、分析，得出分层运行方案为运行效率最高的调运方案。针对问题中有6部电梯的情况，采用上述方案中的最优方案即分层运行方案。在负责低层、高层运送任务的电梯数均为3部，且低层三部电梯负责的各楼层总人数不少于高层三部电梯负责的各楼层总人数的原则上，对分两层的各种方案进行比较，得出三部电梯负责低层（2-15层）运送任务，另外三部电梯负责高层（16-30层）运送任务的方案为最优方案。考虑到最优方案的运行总时间过长，我们对其进行优化，即考虑乘客可步行1-2层楼梯，对该模型进行分析计算，得出6部电梯不可能满足运送要求的结论，为问题二的解决做铺垫。

对于问题二，通过问题一最优模型的计算结果可知，6部电梯无法满足运送要求，在重新安装改造电梯时考虑增加电梯的数量以满足要求。运用问题一中建立的最优分层模型来确定需要电梯的型号及数量，不仅考虑要在40min内将所有乘客运送至目的地，还要考虑到电梯的安装成本。对低层可安装低速或中速电梯、高层可安装中速或高速电梯的五种情况进行计算分析，得出电梯安装的最优方案，即负责低层（2-15层）运送任务需12部低速电梯，负责高层（16-30层）运送任务需12部中速电梯。

关键词：分层运行运行总时间调运方案候梯时间

一、问题重述

商用写字楼在早上8点20分到9点00分这段时间里，上班的人陆续到达，底楼等电梯的地方就人山人海，公司要求设计一个合理有效的电梯调度运行方案。

各层楼的办公人数(不包括第一层楼)见表1

(1) 数据

m；

(3)电梯的最大运行速度是304.8m／min，电梯由速度0线性增加到全速，其加速度为1.22m／s2；

(4)电梯的容量为19人．每个乘客上、下电梯的平均时间分别为0.8s和0.5s，开关电梯门的平均时间为3s，其它损失时间(如果考虑的话)为上面3部分时间总和的10％；

(5)底楼最大允许等侯时间最好不超过1分钟；

第一问：假如现有6部电梯，设计一下电梯调运方案，使得在这段时间内电梯能尽可能地把各层楼的人流快速送到，减少候梯时间。

第二问：

如果大厦管理者想重新安装改造电梯，除满足以上运行要求外，还考虑电梯安装的安装成本，比如用较少的电梯比更多的电梯花费少，一个速度慢的电梯比一个速度快的电梯花费少，能选用电梯分别有快速，中速，慢速三种，给管理者写一个方案，提出一些合理的建议来实现（如需用数据分析说明，可设选用电梯的最大速度分别是243.8 m／min，304.8 m／min，365.8m／min）。

二、模型假设

1. 每次进入电梯的人数均达到最大容量，即19人；

2. 电梯下行时不上人；

3. 电梯减速时加速度也为1.22m／s2；

4. 只考虑把上班的人从一楼送到各自确定的层数，而不考虑其在中途乘坐

电梯的情况；

5. 电梯每次到底楼时，都有足够多的乘客，可上满电梯；

6. 每个乘客在每层下的概率相等。

7. 低速、中速、高速电梯的加速度相同，为1.22m／s2；

三、符号约定

1. m=19——电梯最大载人量；

2. n S——电梯上升到n层时的高度；（2=

3. H——第一层的高度（7.62m）；

4. h——从第二层起每层楼的高度（3.91m）；

5. a——电梯的加速度（1.22m/2s）；

6. V——电梯的最大速度（5.08m/s）；

7. n t——电梯从底楼上升到第n层的时间(s)；

8. t上——每个乘客上电梯的平均时间(0.8s)；

9. t下——每个乘客下电梯的平均时间(0.5s)；

10. k t——开电梯门的平均时间(3s)；

11. g t——关电梯门的平均时间(3s)；

12. T——电梯运行总时间（s）；

13. x——电梯实际停的站数；

14. Ex——电梯停靠站数的期望；

15. N——一组电梯所服务的楼层数；

四、问题分析

随着社会的发展，高楼大厦随处可见，而电梯已经成为现代人们日常生活中不可缺少的一种工具。由于电梯的承载能力有限，但是乘客数量较多易造成拥挤，合理安排电梯的安装及调运方案问题亟待解决。

对于问题一，目前各种高层建筑可用的电梯运行模式有：随机运行方案、奇偶层运行方案、分层运行方案和随机与分层相结合的方案，分析各种方案所用的总时间及其运行效率可知：分层运行方案在这几种电梯调运方案中所用的总时间最少、运行效率最高，所以我们在设计电梯调运方案时使用分层运行方案，可将所有等待乘客快速运至目的地。又考虑到题中要求底楼最大允许等候时间最好不超过1分钟，经过计算我们将30个楼层分为高层、低层两部分，有三部电梯负责低层乘客的运送，另外三部电梯负责高层乘客的运送。负责高层、低层运送的电梯运行总时间应基本相同，而低层每个周期运行时间较短，在安排电梯调运时需要令低层的电梯负责的楼层数较高层电梯负责的楼层数多。通过具体计算确定高低层的分层方案。分层方案较为合理但总的运送时间过长，这时我们考虑让乘客乘坐电梯到一定楼层，然后走楼梯行至目的地，这样大大减少了总运送时间。

对于问题二，通过问题一的计算分析可知，6部电梯不能满足全部的运送要求，需增加电梯数量。仍然按照第一问题中建立的模型，采用分层运行方案，确定所需电梯数量及型号。电梯型号有低速（243.8m/s）、中速（304.8m/s）、高速(365.8m/s)三种，负责低层运送任务的电梯行走路程较短，可采用低速或中速电梯，负责高层运送任务的电梯行走路程较长，可采用中速或高速电梯，我们对低层用低速电梯、高层用中速电梯，低层用低速电梯、高层用高速电梯，低层用中速电梯、高层用高速电梯这三种方案分别进行计算分析，考虑总的运行时间及电梯的成本，从而确定重新安装改造电梯的最优方案。

五、模型的建立与求解

问题一的求解：

首先分析随机运行方案、奇偶层运行方案、分层运行方案和随机与分层相结合方案这四种方案的优劣。设楼层数为（b+1）(b>=1)；电梯每次上行均在第1层满载，容量为k,下行不接客；第1层无乘客出电梯，在允许到达的其余各层均有乘客出电梯；每层有m 名工作人员，即在电梯运送所有乘客完毕后，每层累计有m 名乘客在该层出电梯，则需电梯运送的乘客数为b*m ；电梯运行中每经过一层的时间为常数1t ；供乘客出入电梯的时间也为一常数2t ；运送所有乘客的总时间为T 。

为简化描述同时不失一般性，我们假设有两台电梯同时独立运行，电梯运行方案的比较标准定为运送所有乘客的总时间T ，各种方案的计算过程如下：

随机运行方案：该方案允许电梯可以在任意层停靠，由于随机运行，两台电梯平均运行周期均为（2*b*1t +b*2t ）,共运送乘客2*k 人，运送所有乘客共b*m

人，所用时间为T ，由1222k bt bt bm T

可得： 212(2)2b m t t T k

； 奇偶层运行方案：该方案要求两台电梯中一台停靠奇数层，另一台停靠偶数层，当b 为偶数时，停靠奇数层的电梯的运行周期为（2*b*1t +b*2t /2）,而停靠偶数层的电梯的运行周期为[2*（b-1）*1t +b*2t /2],由21222bt bt k km T

可得： 212(4)4bm t t T k

； 分层运行方案：该方案将以（b*n+1）(0

bt b nb t n bm T 122

2k bnt bnt nbm T 可得： 222122122122(1)(2)(2)b m n t t nt T k b n m t t T k

，T=max(1T ,2T )； 当n=*n =22

121121)()t t t t 时，该方案达到最优，

T=2*212()(2)b n m t t k

；

随机与分层相结合的方案：该方案仍以（b*n+1）(0

可得： 212(2)b m t t T k

； 通过对上述四种方案的计算易得：

222121212(4)(2)(2)42b m t t b m t t b m t t k

k k ； 221221212(4)(2)

(2)42bm bt bt t b m t t b m t t k k k

； 综上考虑电梯的运行效率可得：分层运行方案>奇偶层运行方案>随机运行方案>随机与分层相结合的方案。因此我们得出结论：分段运行方案是及时的将所有等待的乘客快速运至目的地，尽快地疏散等候区的乘客的最优方案。

基于上述的计算分析，我们采用分层运送方案对6部电梯进行调运。先假定三台电梯负责写字楼高层乘客的运送任务（16-30层），另外三台电梯负责低层乘客的运送任务（2-15层）。对于负责低层的三部电梯：

有假设可知，任一乘客在任一层楼下的概率i p =1/N,对于m 个乘客，至少有一个在第i 层下的概率为：p=1-m (1-1/N)；

可得:Ex=1[1(1

)]m N N

对低层的电梯，电梯向上运送乘客停靠站数的期望为：

Ex1=19114[1(1)]14

=10.58；(x1低层的总层数) 取Ex1=11；由于共有14站，其中电梯停留了11站，用最多隔一层停的方式考虑，认为其在第二层停一次，其余十站中有三站隔一层楼停一下，其余六站一层停一次。这样考虑，其运行一个周期的时间计算方法为： 由1221()222t H a -=得电梯从底楼到二楼的时间为： 12t -=5.00s ； 由21()222

t h a =得电梯运行一层楼的时间为： t=3.58s ；

由24212()222

t h a -=得电梯运行两层楼的时间为： 24t -=5.06s ； 由0v at 得电梯运行到最大速度的时间为： 0t =4.16s ；

电梯从15层下到底楼的时间为：

201510132H h at t t v

15.67s ； 电梯从底楼运行到15层的时间为： 115t =122473t t t =45.24s ；

电梯从底楼到第15层运行一个周期所用的时间为：

1T =115151 1.1*[19*(0.80.5)12*(33)]t t =167.28s ；

对高层的电梯，电梯向上运送乘客时停靠站数的期望：

Ex2=19115[1(1)]15

=10.96； 取Ex2=11，用与计算低层电梯运行周期同样的方法计算出电梯从第1层运行到第30层（服务层数为16—30层）一个周期所用的时间为：

23011162446 1.1*[19*(0.80.5)12*(33)]T t t t t =191.75s ； 2-15层的所有人数为3106人，16-30层的所有人数为2842人，由之前假设电梯每次都满载，那么负责低层的三部电梯的总运行时间为：

3106*167.2819*3=9115.29s ； 则可计算出每个电梯的19名乘客的平均等待时间为：9115.29*193106

=55.76s ； 对于负责高层的三部电梯的总运行时间为：

2842*191.7519*3

=9560.59s ； 则可计算出每个电梯的19名乘客的平均等待时间为： 9560.59*192842

=63.92s ； 通过上述计算可知，分层情况为2-15层、16-30层时，负责低层的三部电梯的总运行时间较负责高层的三部电梯的总运行时间长，因此我们再对分层情况进行改进，为2-16层、17-30层。用上述同样的方法进行计算，可得：

电梯从底楼到第16层运行一个周期所用的时间为： 1T =169.53s ；

电梯从第1层运行到第30层（服务层数为17—30层）一个周期所用的时间为：2T =191.04s ；

2-16层的所有人数为3370人，17-30层的所有人数为2578人，由之前假设电梯每次都满载，那么负责低层的三部电梯的总运行时间为：

3370*169.5319*3

=10023s ； 则可计算出每个电梯的19名乘客的平均等待时间为：10023*193370

=56.51s ； 对于负责高层的三部电梯的总运行时间为：

2578

*191.04

19*3

=8640.37s；

则可计算出每个电梯的19名乘客的平均等待时间为：8640.37

*19

2578

=63.69s；

对上述两种分层情况进行比较可知，分层情况为2-15层、16-30层时负责高层的三部电梯的总运行时间与负责低层的三部电梯的总运行时间较为接近，且每名乘客的平均等待时间较短，故此种分两层的调运方案较为合理。

模型的优化：

由上面建立的两个模型的计算结果可知，虽然每名乘客的平均等待时间较短，但是电梯的总运行时间远远超过上班前的四十分钟。为了减少电梯的总运行时间，我们对模型进一步改进，假设乘客在与目的地较近的楼层时可步行至目的地，且最多可上下2层楼梯。那么可确定6部电梯的运行范围为：第一部电梯只在底楼满载乘客运送至第4层后返回（负责2-6层的运送任务），第二部电梯在底楼满载乘客运送至第9层后返回（负责7-11层的运送任务），第三部电梯在底楼满载乘客运送至第14层后返回（负责12-16层的运送任务），第四部电梯在底楼满载乘客运送至第19层后返回（负责17-21层的运送任务），第五部电梯在底楼满载乘客运送至第24层后返回（负责22-26层的运送任务），第六部电梯在底楼满载乘客运送至第29层后返回（负责27-30层的运送任务），且假定如有电梯提前完成运送任务可参与其他电梯的运送，这样可使电梯的总运行时间最短。具体计算如下：第一部电梯运送一个周期的总时间为：54.59s；2-6层的乘客总数为：918人；完成运送任务需用时：2637.56s；

第二部电梯运送一个周期的总时间为：62.47s；7-11层的乘客总数为：1074人；完成运送任务需用时：3531.20s；

第三部电梯运送一个周期的总时间为：70.17s；12-16层的乘客总数为：1378人；完成运送任务需用时：5089.17s；

第四部电梯运送一个周期的总时间为：77.87s；17-21层的乘客总数为：1007人；完成运送任务需用时：4127.11s；

第五部电梯运送一个周期的总时间为：85.57s；22-26层的乘客总数为：1031人；完成运送任务需用时：4643.30s；

第六部电梯运送一个周期的总时间为：93.27s；27-30层的乘客总数为：540人；完成运送任务需用时：2650.83s；

根据之前假设电梯完成任务后可参与其他电梯的运送，由计算的出优化后的需要运送的总时间为：T=3779.86s=63min。

通过上述三种模型的比较可知，公司只安排6部电梯而让所有乘客在40min 内全部到达目的地且不步行是不可能的，如果不考虑乘客步行的情况，那么电梯的最优调运方案为分层运送，三部电梯负责低层（2-15层）的运送任务，另外三部负责高层（16-30层）的运送任务。考虑乘客步行（最多上下2层楼梯）时的电梯最优调运方案，较分层运送方案的运送总时间大大减少但仍不能按时完成运送任务，因此公司需考虑增加电梯的总数量以满足运送要求。

问题二的求解：

Ⅰ低层用低速电梯，高层用中速电梯方案的计算分析：

首先分析低层电梯的服务层数为2-15层，高层电梯的服务层数为16-30层

时的情况。有假设可知，任一乘客在任一层楼下的概率i p =1/N,对于m 个乘客，至少有一个在第i 层下的概率为：p=1-m (1-1/N)；

可得:Ex=1[1(1

)]m N N

对低层的电梯，电梯向上运送乘客停靠站数的期望为： Ex1=19114[1(1)]14

=10.58；(x1低层的总层数) 取Ex1=11；由于共有14站，其中电梯停留了11站，用最多隔一层停的方式考虑，认为其在第二层停一次，其余十站中有三站隔一层楼停一下，其余六站一层停一次。这样考虑，其运行一个周期的时间计算方法为：

由1221()222t H a -=得电梯从底楼到二楼的时间为： 12t -=5.00s ； 由21()222

t h a =得电梯运行一层楼的时间为： t=3.58s ； 由24212()222

t h a -=得电梯运行两层楼的时间为： 24t -=5.06s ； 由0v at 得电梯运行到最大速度的时间为： 0t =3.82s ；

低速电梯从15层下到底楼的时间为：

201510132H h at t t v

17.65s ； 低速电梯从底楼运行到15层的时间为： 115t =122473t t t =45.24s ；

低速电梯从底楼到第15层运行一个周期所用的时间为：

1T =115151 1.1*[19*(0.80.5)12*(33)]t t =169.26s ；

对高层的中速电梯，电梯向上运送乘客时停靠站数的期望：

Ex2=19115[1(1)]15

=10.96； 取Ex2=11，用与计算低层电梯运行周期同样的方法计算出电梯从第1层运行到第30层（服务层数为16—30层）一个周期所用的时间为：

23011162446 1.1*[19*(0.80.5)12*(33)]T t t t t =191.75s ； 2-15层的所有人数为3106人，16-30层的所有人数为2842人，由之前假设电梯每次都满载，那么负责低层的低速电梯的总运行时间为：

3106*169.2619

=27669.56s ； 负责高层的中速电梯总运行时间为：

2842*191.7519

=28681.76s ； 要在8：20—9：00这40min 内将所有的乘客全部运送至目的地，负责低层运送任务的低速电梯数量为：27669.56/2400=11.53，可知所需低速电梯的数量