数学物理方法知识点归纳

第一章 复述和复变函数 1.5连续

若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且

)()(0

lim 0

z

f z f z z =→，

则称f(z)在0z 点连续。

1.6导数

若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)

x u ??、y u ??、x v ??、y

v ??在点不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。C-R 条件为

????

??

???-=????=??y y x u x

y x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析

若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。 解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)

x u ??、y u ??、x v ??、y

v ??存在。 (ii)C-R 条件在该点成立。

解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)

x u ??、y u ??、x v ??、y

v

??不仅存在而且连续。 (ii)C-R 条件在该点成立。

1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：

22x u ??+2

2y u

??=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。

②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?

通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分

柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分

?B

A

dz z f )(的值均相等。

柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。

?=C

dz z f 0)(

二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。

n+1连区域柯西定理：

????

ΓΓΓΓ+++=n

i i i e

dz

z f dz z f dz z f dz z f )(....)()()(2

1

推论：在f(z)的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。 2.3柯西公式

若f(z)在单连有界区域D 内解析，在闭区域D 的边界连续，则对于区域D 的任何一个内点a ，有?Γ

-=

dz a z z f i a f )

(21)(π其中Γ是境

界线。

2.5柯西导数公式

ξξξπd z f i n z f C n n ?+-=

1)()

()

(2!)( 第三章 级数

3.2复变函数项级数 外尔斯特拉斯定理：如果级数

∑∞

=0

)(k k

z u

在境

界Γ上一致收敛，那么

(i)这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z) (ii)由它们的m 阶导数组成的级数

∑∞

=0

)()(k m k

z u

在区域内也收敛，而且它们的和

等于F (m)

(z)。 3.3幂级数

阿贝尔(Abel)定理：如果幂级数

∑∞

=-0)(k k

k a z c 在点z 0处收敛，则在任一圆|z-a|<=p|z 0-a|，0

并且绝对收敛。

达朗贝尔(D ’Alembert)判别法:对于幂级数，

计算下列极限|)(||

)(|lim 11k k

k k k a z c a z c --++∞→

(i)当极限值小于1时，幂级数在点z 处绝对

收敛(ii)当极限值大于1时，幂级数在点z 处发散(iii)当极限值等于1时，敛散性不能判断。

柯西判别法：计算极限k k

k k a z c |)(|lim -∞

→

当极限值小于1时，幂级数在点z 处绝对收敛;而当极限值大于1时，幂级数在点z 处发散；极限值等于1时，不能判断 3.4解析函数与幂级数

定理：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。 Taylor 级数：∑

∞

=-=

)()(!

)

()(n n n a z n a f z f ...!

...!212+++++=n z z z e n

z

...

)!12((-1)...!5!3sin 12n

53+++-+-=+n z z z z z n ...)!

2(...!4!21cos 242+++++=n z z z z n

...1

(-1)...32)1ln(1

n 3

2

+++-+-=++n z

z z z z n 3.5解析函数与双边幂级数

定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析

函数。

环形区域内的解析函数可展成双边幂级数

∑∞

-∞

=-=

k k k

a z c

z f )()(

ξξξπγd a f i c k ?-=

)

()

(21 称为Laurant 系数 3.8孤立奇点

非孤立奇点：若函数f(z)在z=a 点的无论多么小的领域内，总有除z=a 以外的奇点，则z=a 是f(z)的非孤立奇点。 孤立奇点：若函数在z=a 不可导(或无定义)，而在去心领域0<|z-a|<ε解析，则z=a 是f(z)的一个孤立奇点。

第四章 留数

4.1柯西公式的另一种形式 一阶极点留数：若g(z)在单连区域D 内解析，a 在D 内，在D 内作一环绕点a 的围线C 。 令f(z)=g(z)/(z-a)则有：

?=C

a sf i dz z f )(Re 2)(π

)()(lim )(Re z f a z a sf a

z -=→

一阶极点留数的一种算法:

如果)()()(z z z f ψφ=那么)()()(Res a a a f ψφ'=

m 阶极点的留数公式

|)]()[()!1(1)(Re 11

a z m

m m z f a z dz

d m a sf =----=

4.2用级数分析来分析留数定理

∑∞

-∞

=-=

k k

k

a z c z f )

()(

则有Res 1)(-=c a f

多连区域的柯西定理:如果在围线C 的内部包含n 个孤立奇点，利用多连区域的柯西定理就有

∑?

==n

k k C

a sf i dz z f 1

)(Re 2)(π

4.3无限远点的留数

?--=-

=∞1)(21

)(Re c dz z f i

sf π 定理1：如果当z →∞时，若zf(z)→0,则Resf(∞)=0 定理2：

0)(Re )Resf(a

1

k

=∞+∑=sf n

k

4.4留数定理计算型积分 第一种类型：?

π

???20

)sin ,(cos d R 型积分

令?

i e

z =iz dz d /=?

)(21cos 1-+=

z z ?)(2

1

sin 1--=z z ? ?

?

===1

||20

)()sin ,(cos z dz z f d R π

???

｛在单位圆内各个奇点的留数之和｝ 第二种类型：

?∞

∞

-dx x f )(型积分

注意，需要满足条件0)(lim z =∞

→z zf

i dx x f π2)(=?∞

∞

-｛在上半平面的奇点留数之

和｝ （界限上的乘以0.5） 第三种类型：

?

∞

∞

-dx e x f imx )(型积分

注意需要符合条件0)(lim z =∞

→z f

i 2)(π=?

∞

∞

-dx e x f imx ｛f(z)e imz 在上半平面的

奇点留数之和｝

4.7围线积分方法 泊松积分：

a

b ax e a

bxdx e 4/0

22

21cos -∞

-=

?

π 菲涅尔积分：

2

21sin cos 0

20

2π

=

=??

∞

∞

dx x dx x 第六章 积分变换

6.1傅里叶级数

三角函数系的正交性 2π周期-展开定理：

∑∞

=++=1

0)sin cos ()(m m m mx D mx C C x f

?-=π

πξξπd f C )(210

?-=π

π

ξξξπ

d m f C m cos )(1

?-

=

π

πξξξπ

d m f D m sin )(1

任意周期2l-展开定理：

∑∞

=++=1

0)

sin cos ()(m m m x l

m

D x l

m

C C x f π

π

?-=

l

l d f l C ξξ)(210 ?-=l l m d l m f l C ξξπξcos )(1

?-=l l m d l

m f l D ξξπξsin )(1

6.2傅立叶积分

?∞

+=0]sin )(cos )([)(dk kx k D kx k C x f

???

????==??∞

∞-∞∞-ξξξπξξξπ

d k f k D d k f k C sin )(1)(cos )(1)(

C(k)是偶函数，D(k)是奇函数 傅里叶公式

令)]()([21

)(~

k iD k C k f -≡

则dk e k f x f ikx

?∞∞

-=)(~)(

?∞∞-=ξξπξd e f k f ik )(21)(~ )]

(~[)()]

([)(~

1k f F x f x f F k f -==

6.3傅立叶变换

线性定理

][][][22112211f F C f F C f C f C F +=+

导数定理

)]([)]([x f ikF x f F =' )]([)(])([x f F ik dx

x f d F n n

n = 积分定理

)]([1

])([0

x f F ik

d f F x

x =

?ξξ 延迟定理

)]([)]([00x f F e x x f F ikx -=-

相似定理

)(~1)]([a

k

f a ax f F =

卷积定理

)(~)(~2])()([2121k f k f d x f f F πξξξ=-?∞∞

-

6.4拉普拉斯变幻

dt e t p pt

?∞

-=0

)()(φφ

注意当t<0时，)(t φ=0

)(p φ=L[)(t φ])(t φ=L -1[)(p φ]

)(t φ←→)(p φ

线性性质：

)(~

)(~

)()(2121p b p a t b t a φφφφ+=+

导数的象函数：

)0()()

(φφφ-?p p dt

t d )

0(...)0()0()()(1

-n 21φφφφφ--'--?--n n n n

n p p p p dt t d 积分的象函数

p

p dt t t

)

()(0

φφ?

?

1

!+?

n n p n t 象函数的位移定理：

)()(a p t e at -?φφ 由此可得

2

2)(cos ωω+--?

a p a

p t e at

2

2

)(sin ω

ω

ω+-?

a p t e at

2

2)(ωω---?

a p a

p t ch e at

2

2

)(ω

ω

ω--?

a p t sh e at （用来求逆变换）

延迟函数的象函数

)()()(p t H t φφ?

)()()(p e t H t p φττφτ-?--

卷积定理

)]([)]([])()([210

21t L t L d t L t

φφττφτφ=-?

象函数的导数

n

n n

dp p d t t )

()()(φφ?-

积分公式：

?

?

∞

∞

=0

)

()(dt t

t dp p φφ