五年级奥数讲义：倒推法解题
第二讲：倒推法解应用题
第二讲：倒推法解应用题9/20 在解有些应用题时，顺向推理比较困难，或者会出现繁杂的运算，但从这最后结果出发，从后往前一步一步地推算，就方便得多，这种方法就是倒推法。
在处理一些问题时经常要用到倒推法。
例1：明明有4张卡通画报，明明的画报数是亮亮的一半，亮亮的画报数是宏宏的一半，宏宏有几张卡通画报？随堂练习1：张老师有3条连衣裙，张老师的裙子数是王老师的一半。
张老师和王老师一共有几条连衣裙？例2：有一批水果，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时还剩4箱水果，这批水果一共有几箱？随堂练习2：玩具店里有一些卡通玩具，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时玩具店里还有5个卡通玩具。
请你算一算，玩具店里原来共有几个卡通玩具？例3：有一列数，第一个是7，后面每一个数都比前面一个数多3。
请你算一算，玩具店里原来共有几个卡通玩具？随堂练习3：有一列数，第一个数是6，后面每一个数都比前面一个数大3.请你算一算，这列数中，第几个数是21？例4：小红问妈妈多大年龄，妈妈说：“把我的年龄加10，然后乘5，减25，再除以2，恰巧是100岁。
”小红妈妈的年龄是多少？随堂练习4：小明爷爷今年的年龄加上15后，缩小4倍，再减去15之后，扩大10倍，恰好是100岁。
小明爷爷今年多少岁？例5：某数加上6，乘6，减去6，除以6，最后结果是6。
问：这个数是几？随堂练习5：一个数加上5，乘5，减去5，除以5，最后结果是5。
问：这个数是几？补充练习：1、二年级舞蹈兴趣组有6个同学，是体育组人数的一半，体育兴趣组的人数是合唱组人数的一半。
合唱有多少个同学？2、猴子吃桃，第一天吃了桃子的一半，第二天又吃了余下桃子的一半，这时还有8个桃子。
原来有多少个桃子？3、一筐鸡蛋，第一天吃了全部的一半，第二天吃了余下的一半，第三天吃了5只，刚好吃完。
这筐鸡蛋有多少只？4、姐姐有9张邮票，是哥哥有票数的一半。
姐姐比哥哥少多少张邮票？5、爸爸买了一些巧克力，分给哥哥和弟弟吃，哥哥吃了4颗，弟弟吃了6颗，正好都吃了各自的一半。
4-04-倒推法解题4-讲义-教师
第4讲倒推法【学习目标】1、学会用倒推法解题；2、激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性。
【知识梳理】1、倒过来思考问题的方法，就是还原法；2、用还原法解题，关键是从最后一步结果出发，依照题意顺次逐步向前推理，每一步运算都变成原来的逆运算。
【典例精析】【例1】某数乘以5，加上3，再除以7，减去4，结果是5，这个数是12．5+4=9 9×7=63 63-3=60 60÷5=12【趁热打铁-1】将一个数做如下运算：乘以4，再加上112，减去20，最后除以4，这时得100．那么这个数是77．100×4=400 400+20=420 420-112=308 308÷4=77【例2】村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个？（2+2）×2=8（个）（8+2）×2=20（个）（20+2）×2=44（个）答：这篮鸡蛋有44个.【趁热打铁-2】艾迪、薇儿和大宽分练习册，艾迪得到了总数的一半，薇儿得到了余下的一半少1本，大宽得到了9本，这些练习册共有32本．（9-1）×2=16（本）16×2=32（本）【例3】两棵树上一共有25只鸟，先是左边树上的鸟有一半儿飞到了右边树上，然后右边树上的8只鸟又飞到了左边树上，这时左边树上的鸟比右边树上多3只．请问最开始左边树上有几只鸟？后左：（25+3）÷2=14（只）后右：（25-3）÷2=11（只）原左：（14-8）×2=12（只）答：最开始左边树上有12只鸟.【趁热打铁-3】王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多的画片送给王亮，这时两人各有24张。
王亮和李强原来各有画片多少张？24÷2=12（张）24+12=36（张）原来李强：36÷2=18（张）原来王亮：12+18=30（张）答：王亮原来有30张画片，李强有18张画片。
小数报杯五年级名师讲题倒过来推想
倒过来推想有些数学问题如果顺着题目的条件去寻找解法，往往有一定困难。
但是，如果改变一下思考的顺序，倒过来想可能就能解决问题，倒过来想就是“顺着过来的路线往回走”，像这种解题策略我们称之为“倒推法”。
【问题1】有一堆桃，第一个猴子拿走了这堆桃的一半多3个，第二个猴子又拿走了剩下桃的一半多3个，第三个猴子又拿走了最后剩下的3个，这时桃子正好被拿光。
问这堆桃原有多少个？【思路点晴】根据题意，我们不妨先画出流程图，再结合图用倒推法解决问题。
从最后的条件出发向前推，第三只猴“正好拿光”，回过去就是0+3＝3（个），说明第二只猴拿过后，就剩下3个。
继续向前推过去是3+3＝6 （个）桃后，就是第一次剩下的一半，用6×2＝12（个），就是第一次剩下的。
再往前推12+3＝15（个）桃，就是总数的一半，最后用15×2＝30（个），就是桃子的总数了。
在这个问题中，最初的数据“桃的总数”是未知，中间的五个步骤“除、减、除、减、减”是明确的，最后的结果“0”是已知的，倒推时原来的减要变成加，原来的除法要变成乘。
这道例题具备了用倒推法解决的特征，再通过流程图的帮助，就很容易从后往前推算出这个未知数量。
【问题2】一船夫送一批解放军过河，每次都送岸上总人数的一半，然后回岸还带回一个战士帮忙，这样渡了4次后，还剩下2名战士，这批解放军共有多少人？【思路点晴】这道题中，最初的解放军人数是未知的，中间每次渡过的是“岸上人数的一半”是明确的，最后的结果“2人”是已知的，有了这样条件，我们就可以用倒推法来解决。
不过这道题有一个条件会干扰大家的思路，就是“回岸还带回一个战士帮忙”。
其实在渡河的过程中，这个战士并不算在岸上的人数中，而是可以看做在第一次渡过河中的一名战士。
这样就可以通过画图来帮我们倒推了：（最后）2人（第四次渡河前）4人 2人（第四次渡河）（第三次渡河前）8人 4人（第三次渡河）（第二次渡河前）16人 8人（第二次渡河）（未渡河前）32人 16－1人（第一次渡河）从图中看出最后2人，第四次渡河前是2×2＝4（人）；第三次渡过的4人，渡河前是4×2＝8（人）；第二次渡过的是8人，渡河前是8×2＝16（人）；第一次实际渡过是16人，未渡河前解放军的人数是16×2＝32（人）。
五年级奥数讲义：倒推法解题
五年级奥数讲义：倒推法解题在我们生活中经常会遇到“还原问题”,如把一盒包装精美的玩具打开,再把它重新包装好,重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中,也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法,即从结果入手,逐步向前逆推,最终找到原问题的答案.例题选讲例1:有一群猴子分吃桃子,第一只拿走—半,第二只拿走余下的一半多3个,第三只拿走第二只取剩的一半少3个,第四只拿走第三只取剩的一半多3个,第五只拿走第四只取剩的一半,最后还剩3个,这堆桃原来有多少个?【分析与艉答】l|这道题条件比较多,顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原,解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半,还剩3个,所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个),同理,第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个),第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个),第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个),第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个),即这堆桃有132个.例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱,甲拿出与乙相同多的钱给乙,也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱,此时三人都有48元钱.问：开始时三人各有多少元钱?【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算,根据三人最后都有48元,那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元),乙：48÷2—24(元),丙：48+24+24—96(元)；第二次在乙给甲、丙添钱之前：甲：24÷2—12(元),乙：24+12+48===84(元),丙：96÷2=48(元)；第一次在甲给乙、丙添钱之前：甲：12+42+24—78(元),乙：84÷2=42(元),丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元,乙有42元,丙有24元.例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票,第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲,最后三人的邮票数相等,三人原来各有多少张邮票?【分析与解答】此题条件复杂,因此我们可以用列表的方法,从最后的果一步步按每次的变化倒推,这样就容易看清题中的数量关系了.列表如下：练习与思考1.张强去银行取款,第一次取了存款的一半多100元,第二次取了余下的一半少50元,第三次取了余下的一半多50元,这时他的存折上还剩下575元.问：张强原来有存款多少元?2.书架上有上、中、下三层书,共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层,再从中层拿出与下层同样多的书放进下层,最后从下层拿出与上层现在同样多的书放进上层,这时三层书同样多.问：开始时,上、中、下三层各有多少本书?3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5,把十位上的5看作7,把百位上的9看作6,结果得出和为775.问：正确的答案应该是多少?4.有26块砖,兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面,刚摆好砖哥哥赶来了.哥哥见弟弟挑得太多,就拿来一半给自己.弟弟觉得自己能行,又从哥哥那里拿来一半.哥哥不让,弟弟只好给哥哥5块,这样哥哥比弟弟多挑2块.问：开始时,弟弟准备挑多少块?5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶,使乙、丙两瓶的水比原来增加1倍；之后,又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后,再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶,这样倒了三次后,三个瓶中的水一样多.问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?6.世纪商场里有一批儿童玩具,第一天运出总数的一半少4 个,第二天运出剩下的一半多2个,第三天又运进25个,这时库存儿童玩具45个,世纪商场原来有多少个儿童玩具?7.有一堆书,第一次搬一半,第二次般走剩下的一半多3本,第三次搬走剩下的一半少3本,第四次搬走剩下的一半多3本,第五次搬走剩下的一半,最后剩3本.问：原来有多少本书?8.甲、乙、丙各有若干个橘子.第一次甲给乙、丙橘子,各给与他们原有橘子数量相等的个数；同样,第二次乙给甲、丙橘子,各给与他们现有橘子数量相等的个数；第三次丙给甲、乙橘子,同样各给与他们现有数量相等的个数.最后三人都各有48个橘子,那么开始时三人各有多少个橘子?9.一种有益的菌种每小时可增长.l倍,现有一批这样的细菌：10小时后达到100万个,当它们达到25万个时,经历了多少长时间?。
五年级奥数教学课件：倒推法
100
答：这段公路的全长是700米。
练1、元元读一本科幻小说，第一天读了全书的一半多 30页，第二天读了余下的一半多16页，还剩下64页没 有读。求这本科幻小说一共有多少页？
原：
30
（160+30）×2 = 380
16
（ 64+16）×2 = 160
64
答：这本科幻小说一共有380页。
练2、有一筐橙子，第一次取出全部的一半还多10个， 第二次取出余下的还多5个，最后还剩下5个，求这筐 橙子一共有多少个？
提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑几块砖： （26-2）÷2＝12（块）
再用倒推法求出弟弟最初准备挑几块砖. ｛26－〔26－（12＋5）］×2｝×2
＝16（块） 答：弟弟最初准备挑砖16块.
2、甲、乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和 乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶中倒和甲桶剩下的 同样多的油放入甲桶。这时两桶油恰好都是36千克。问 两桶油本来各有多少千克？
解：①现在三棵树上各有鸟 多少只？48÷3＝16（只）
②第一棵树上原有鸟只数. 16＋8＝24（只）
③第二棵树上原有鸟只数. 16＋6—8＝14（只）
④第三棵树上原有鸟只数. 16—6＝10（只）
答：第一、二、三棵树上本来各 落鸟24只、14只和10只.
2.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前， 刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太 多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢 走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时 哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？
于是，商人将口袋里所有的金币都放进魔术师的盒子里，从一数到十，打开盒子一看， 哇！钱真的翻了一倍，商人十分高兴，取出钱，并付给魔术师80个金币。然后商人又将 其余的金币都放进魔术师的盒子里，商人的钱有翻倍了，魔术师又得到了80个金币，接 着商人又放入第三笔钱，钱又翻倍了。但此时的商人付给魔术师80个金币后，他自己已 是分文不剩了。小朋友请你算一算，这个贪心的商人本来有多少金币呢？
倒推法专业知识讲座
自我检测
独立完毕练习三十九 4、5
例3、小虎做一道减法题时,把被减数 十位上旳6错看成9,减数个位上旳9错 写成6,最终所得旳差是577，这道题 旳正确答案是多少？
思索：
1、被减数十位上旳6错看成9,成果会 怎样？
2、减数个位上旳9错写成6,成果会怎 样？
练习：
小亮在做一道减法算式时，把减数 个位上旳1看成7，把减数十位上旳 7看成1，成果得出差是111，求正 确旳答案。
1、某数加上6，乘以6，减去6，除以6， 其成果等于6，则这个数是多少？
2、 小玲问一老爷爷今年多大年龄，老爷 爷说：“把我旳年龄加上17后用4除，再 减去15后用10乘，恰好是100岁”那么， 这位老爷爷今年多少岁？
自我检测
独立完毕练习三十九 1、2
例2、电工组买来一捆电线,工人们第 一天用去全长旳二分之一多5米，第 二天用去余下旳二分之一少8米，第 三天用去14米，最终还剩10米，这捆 电线原来有多长？
例1、王老师说：“把我旳年龄减去 2，除以5加 大吗？
倒推法
倒推法又称逆推法，也叫还原法，是 一种常见旳思索措施。它是从问题旳最终 成果出发，一步一步倒着推，最终得出所 求答案。
两个相反：1、运算顺序与原来相反 2、运算措施与原来相反。
练习：
练习：
1、修一段公路，第一天修了全路旳 二分之一多2千米，第二天修了余下 旳二分之一少1千米，这时还剩余20 千米没有修，这条公路有多长？
练习：
2、百货商店出售彩色电视机，上 午售出总数旳二分之一多20台，下 午售出剩余旳二分之一多15台，还 剩75台。店里原有彩色电视机多少 台？
练习：
3、有若干吨煤，第一次用去了二 分之一多2吨，后买进4吨；第二次 又用去二分之一，接着又买进3吨， 这时还剩15吨。原有煤多少吨？
倒推法知识点总结
3.反证法：反证法是一种通过假设结论为假，然后推导出矛盾的逻辑推理方法。反证法要求推理者要通过推导出矛盾来证明结论为真。
以上是倒推法相关的一些常见概念，它们是倒推法的重要组成部分，对于倒推法的理解和应用具有重要意义。
1.数学领域：倒推法在数学领域中有着广泛的应用。在解决数学难题时，倒推法可以帮助数学家们从已知结论出发，逆向推导出问题的根本原因，从而找到解决问题的方法。例如，在证明一个数论问题时，可以先假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。
2.物理领域：倒推法在物理领域中也有着重要的应用。在解决物理问题时，科学家们常常需要通过倒推法来确定问题的原因和规律，从而建立起科学理论和模型。例如，在研究地球的内部结构时，科学家可以通过地震波的传播速度和方向来推导地球的内部结构。
倒推法知识点总结
一、倒推法的基本原理
倒推法的基本原理是以结论为出发点，逆向推导出前提或原因。它是一种以反证法为基础的逻辑推理方法，要求从已推理过程通常包括以下几个步骤：
1.首先确定问题的结论或目标；
2.然后逆向推导，分析这个结论的前提条件或原因；
3.接着继续递归分析这些前提条件的前提条件，直至找出最根本的原因；
5.经济学领域：在解决经济问题时，倒推法也发挥着重要的作用。例如，在研究市场供需关系时，经济学家可以通过倒推法来分析市场价格和供给关系的变化，从而预测市场的发展趋势。
以上是倒推法在各个领域中的典型应用案例，可以看出倒推法在各个领域都有重要的作用，它是一种非常常用的推理方法。
三、倒推法的相关概念
1.正向推导：正向推导是一种从已知原因或前提来推导结论的逻辑推理方法。正向推导要求推理者要从已知的原因或前提出发，推导出结论或结果。
倒推法的解题技巧
倒推法的解题技巧在学习数学的过程中，倒推法是一种常见的解题方法，尤其是解决那些“从既定条件出发，结合一定的规律，总结出结论”的问题时尤为重要。
那么，倒推法到底是什么，它又有哪几个步骤？通过本文，我们将逐一解答。
首先，我们来解释一下倒推法的概念。
倒推法是方便快捷解决问题的一种方法，它有利于提高问题解决的效率，减少解题时间，从而更好地解决数学问题。
它的核心思想是从已知的结论出发，运用一定的规律及技巧，经过逐步推理，最终追溯到初始条件。
其次，我们来描述倒推法在解题时的几个步骤。
首先，仔细阅读题干，了解问题的含义，确定解题要用到的规律。
其次，可以从题目中给出的结论出发，根据规律不断推理，一步步追溯到初始条件。
第三，不断检验推理的正确性，确保途中所有步骤的准确性，直到最终得出所求的结果。
最后，根据实际情况进行一些可能的修改，一定程度上增加解题的准确性。
可以看出，倒推法在解决数学问题时有其独到的优势。
它能够有效简化问题，有针对性地找出问题的解，迅速帮助我们找到题目的答案。
举一个例子，如果题目是：一共有25只鸡，其中有15只母鸡，那么它们一共有多少只公鸡？在这种情况下，我们可以倒推法来解答，首先，我们把题目中已知的条件25只鸡，15只母鸡综合起来，可以得出：总鸡数25只=母鸡15只+公鸡x。
根据等式，我们就可以推出，公鸡一共有10只。
通过以上例子，我们可以清楚地看到，倒推法的解题步骤及其效率，因此它的作用十分重要。
但同时也不可忽视，倒推法虽然有很多优势，但也有一定的局限性，尤其是在某些非数值形式的复杂问题中，比如说一些文字题，倒推法并不总能得到正确的答案，这时我们不妨试试其他解题技巧，以期达到更好的效果。
综上所述，倒推法的解题技巧有其独特的优势，它能够有效帮助我们快速有效解决数学问题，但同时也存在一定的局限性，我们在实际应用中也应当加强对倒推法的认识。
最后，希望能够在学习中多多使用这种解题技巧，提高自身的解题水平，为数学学习和考试取得更好的成绩。
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五年级奥数讲义：倒推法解题
在我们生活中经常会遇到“还原问题”，如把一盒包装精美的玩具打开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与打开的步骤正好相反.其实在数学中，也有许多类似的还原问题.解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案. 例题选讲
例1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走—半，第二只拿走余下的一半多3个，第三只拿走第二只取剩的一半少3个，第四只拿走第三只取剩的一半多3个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩3个，这堆桃原来有多少个?
【分析与艉答】l|这道题条件比较多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推还原，解决起来就轻松了.曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩3个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：3×2=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)×2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(18—3)×2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)×2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：66×2=132(个)，即这堆桃有132个.
例2:甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，此时三人都有48元钱.
问：开始时三人各有多少元钱?
【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有48元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：48÷2：24(元)，
乙：48÷2—24(元)，
丙：48+24+24—96(元)；
第二次在乙给甲、丙添钱之前：
甲：24÷2—12(元)，
乙：24+12+48===84(元)，
丙：96÷2=48(元)；
第一次在甲给乙、丙添钱之前：
甲：12+42+24—78(元)，
乙：84÷2=42(元)，
丙：48÷2=24(元). 所以开始时甲有78元，乙有42元，丙有24元.
例3:甲、乙、丙三人共有48张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次
乙拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲，最后三人的邮票数相等，三人原来各有多少张邮票?
【分析与解答】此题条件复杂，因此我们可以用列表的方法，从最后的果一步步按每次的变化倒推，这样就容易看清题中的数量关系了.列表如下：
练习与思考
1.张强去银行取款，第一次取了存款的一半多100元，第二次取了余下的一半少50元，第三次取了余下的一半多50元，这时他的存折上还剩下575元.问：张强原来有存款多少元?
2.书架上有上、中、下三层书，共2400本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层，再从中层拿出与下层同样多的书放进下层，最后从下层拿出与上层现在同样多的书放进上层，这时三层书同样多.问：开始时，上、中、下三层各有多少本书?
3.做一道整数加一个学生把个位上的7看作5，把十位上的5看作7，把百位上的9看作6，结果得出和为775.问：正确的答案应该是多少?
4.有26块砖，兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面，刚摆好砖哥哥赶来了.哥哥见弟弟挑得太多，就拿来一半给自己.弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半.哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块.问：开始时，弟弟准备挑多少块?
5.甲、乙、丙三个瓶子共装了24升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶，使乙、丙两瓶的
水比原来增加1倍；之后，又将乙瓶的水按上面的要求倒给甲、丙；最后，再按上面的要求将丙瓶的水倒一部分给甲、乙两瓶，这样倒了三次后，三个瓶中的水一样多.问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?
6.世纪商场里有一批儿童玩具，第一天运出总数的一半少4 个,第二天运出剩下的一半多2个，第三天又运进25个，这时库存儿童玩具45个，世纪商场原来有多少个儿童玩具?
7.有一堆书，第一次搬一半，第二次般走剩下的一半多3本，第三次搬走剩下的一半少3本，第四次搬走剩下的一半多3本，第五次搬走剩下的一半，最后剩3本.问：原来有多少本书?
8.甲、乙、丙各有若干个橘子.第一次甲给乙、丙橘子，各给与他们原有橘子数量相等的个数；同样，第二次乙给甲、丙橘子，各给与他们现有橘子数量相等的个数；第三次丙给甲、乙橘子，同样各给与他们现有数量相等的个数.最后三人都各有48个橘子，那么开始时三人各有多少个橘子?
9.一种有益的菌种每小时可增长.l倍，现有一批这样的细菌：10小时后达到100万个，当它们达到25万个时，经历了多少长时间?。