高三数学文科数学试题
崇雅中学文科数学试题
一 选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、
下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图, 若图中“爱”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是( ) A 我 B 们 C 必 D 赢 2、2
(sin cos )1y x x =+-是 ( )
A.最小正周期为2π的偶函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数
3、若函数)(),(x g x f 的定义域都是R ,则)()(x g x f >,x ∈R 的充要条件是( ) A. 有一个x ∈R,使)()(x g x f > B. 有无数多个x ∈R,使)()(x g x f > C. 对任意的x ∈R,使1)()(+>x g x f D. 不存在x ∈R 使)()(x g x f ≤
4、若复数22i z x yi i -=
=++,x ,y R ∈,则y
x = ( ) A. 43- B. 34 C. 34- D. 4
3
5、已知椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a ,直线b kx y 2+=与椭圆交于不同的两点A 、B ,设AOB S k f ?=)(,
则函数)(k f 为( )
A 奇函数
B 偶函数
C 既不是奇函数又不是偶函数
D 无法判断
6、在等差数列中,若是a 2+4a 7+a 12=96,则2a 3+a 15等于
A. 96
B. 48
C. 24
D. 12
7、在ABC ?所在的平面上有一点P ,满足PA PB PC AB ++=,则PBC ?与ABC ?的面积之比是
A .
13 B .12 C .23 D .34
8、某公司租地建仓库,每月士地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物费y 2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10公里处建仓库,这这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站
我 们 爱
拼
必 赢
9、水平地面上A 、B 两地立有高分别20米和40米的旗杆,地面上P 对两旗杆顶端的仰角相等,则P 点的轨迹是( )
A 椭圆
B 抛物线
C 圆
D 双曲线 10、.已知函数1()lg ()2
x f x x =-有两个零点21,x x ,则有
A. 021 B. 121=x x C. 1021< D. 121>x x 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。 (一)必做题(11~13题) 11、.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了下表: 则根据以下参考公式可得随机变量2 K 的值为 、(保留三位小数)有 %. 的把握认为喜爱打篮球与性别有关. (参考公式:2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++ 12、在△ABC 中,把正弦定理 R C c B b A a 2sin sin sin === 代入余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得公式: A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222??-+=。 利用上述关系式计算: ___________35sin 10sin 235sin 10sin 22=?++ ; 13、按如图所示的程序框图运算. (1) 若输入8x =,则输出k = ; (2) 若输出2k =,则输入x 的取值范围是 . (二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14、已知直线L 的极坐标方程为:2 2)4 sin(= + π θρ, 则极点到直线L 的距离为 _____________; 15、如图,已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°, 过C 的切线PC 与AB 延长线交于P ,若PC=5,则⊙O 的半径为______。 三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤 16、(12分)在第29届奥林匹克运动会上,杜 丽、郭文珺、陈 颖、庞 伟夺得射击金牌,何文娜、陆春龙夺得蹦床金牌,为我国金牌总数第一立下了汗马功劳,崇雅中学高中部某班要从这6名运动员中选出2名青春偶像。 (1)求出两名运动员都是射击运动员的概率; (2)求选出的两名运动员一名是射击运动员,另一名是蹦床运动员的概率。 17、(12分)已知三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C )sin ,(cos αα (1)1,,4-=?∈≠ Z k k 若πα,求: α α αtan 12cos 2sin 1+-+的值; (2),0(13πα∈=+,且OC OA ,求OC OB 与的夹角。 18、(14分)如图,一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ,AB 是圆O 的直径, 四边形DCBE 为平行四边形,且DC ⊥平面ABC . (1)证明:平面ACD ⊥平面ADE ; (2)若2AB =,1BC =,3 tan EAB ∠=,试求该简单组合体的体积V . A B P 19、(14分)等比数列{}的前n 项和为, 已知对任意的 ,点,均在函数 且均为常数)的图像上. (1)求r 的值; (2)当b=2时,记 求数列的前项和 20、(14分)在实数集R 上定义运算:x ○ ×y =x (a -y )(a ∈R ,a 为常数)。若f (x )=e x ,g (x )=e -x +2x 2, F(x )=f (x )○ ×g (x )。 (Ⅰ)求F(x )的解析式; (Ⅱ)若F(x )在R 上是减函数,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若a =-3,在F(x )的曲线上是否存在两点,使得过这两点的切线互相垂直?若存在,求出切线方程;若不存在,说明理由. 21、(14分) 设椭圆:C 12 22=+y a x (0>a )的两个焦点是)0,(1c F -和)0,(2c F (0>c ),且椭圆C 与圆 2 22c y x =+有公共点. (1)求a 的取值范围; (2)设a 取最小值,直线:l m kx y +=(0≠k )与椭圆C 交于不同的两点M 、N ,线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ,求实数m 的取值范围 n a n S n N +∈(,)n n S (0x y b r b =+>1,,b b r ≠1 ()4n n n b n N a ++= ∈{}n b n n T 参考答案: 一 选择题 题号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 答案 D D D A B B C A C C 二 填空题 11、8.333、99.5 12、 2 1 13、 3;2002.19≤ 35 三 解答题 16、 ① 52 ② 158 17、 ① 95- ② 6 π 18、解:(1)证明: ∵ DC ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ∴DC BC ⊥. ----------------2分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C = ∴BC ⊥平面ADC . ---------------------------------------------------------------4分 ∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴DE//BC ∴DE ⊥平面ADC ------------------------------------------------------------------6分 又∵DE ?平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE -------------------------7分 (2)解法1:所求简单组合体的体积:E ABC E ADC V V V --=+-----9分 ∵2AB =,1BC =, 3 tan EB EAB AB ∠= = ∴3BE =223AC AB BC =-=分 ∴111 362E ADC ADC V S DE AC DC DE -?= ?=??=-------12分 111 362 E ABC ABC V S EB AC BC EB -?=?=??=---------13分 ∴该简单几何体的体积1V =-------------------------------14分 解法2:将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分 如图∵2AB =,1BC =, 3 tan 2 EB EAB AB ∠= = ∴3BE =223AC AB BC = -=分 ∴ACB FDE E ADF V V V --=-=1 3 ACB ADC S DC S DE ???- ?-----------------------------12分 11 26AC CB DC AC DC DE = ??-?? =11 11126 =-----------------------------------------------14分 19、解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.所以 得, 当时,, 当时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 (2)当b=2时,, 则 相减,得 所以 20、(14分)解:(I )由题意,F(x )=f (x ) ○×(a -g (x ))……………………………………2分 =e x (a -e - x -2x 2) =a e x -1-2x 2e x .………………………………4分 (II )∵F ′(x )=a e x -2x 2e x -4x e x =-e x (2x 2+4x -a ),………………6分 当x ∈R 时,F(x )在减函数, ∴F ′(x )≤0对于x ∈R 恒成立,即 -e x (2x 2+4x -a )≤0恒成立,…………………………………8分 ∵e x >0, ∴2x 2+4x -a ≥0恒成立, ∴△=16-8(-a ) ≤0, ∴a ≤-2.……………………………………………………10分 (III )当a =-3时,F(x )= -3e x -1-2x 2e x , 设P(x ,y ),Q (x ,y )是F(x )曲线上的任意两点, n N +∈(,)n n S (0x y b r b =+>1,,b b r ≠n n S b r =+1n =11a S b r ==+2n ≥111 1()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-n a 1r =-b 1 (1)n n a b b -=-11 (1)2n n n a b b --=-=11 111 4422 n n n n n n n b a -++++= ==?2341 2341 2222n n n T ++= ++++ 34512 12341 222222 n n n n n T +++=+++++2345121211111 2222222 n n n n T +++=+++++-31211(1)112212212 n n n -+?-++--12311422n n n +++=--1131133 22222 n n n n n n T ++++=--=- ∵F ′(x )= -e x (2x 2+4x +3) =-e x [2(x +1)2+1]<0,……………………………………12分 ∴ F ′(x 1)·F ′(x 2)>0, ∴F ′(x 1)·F ′(x 2)= -1 不成立.………………………………13分 ∴F(x )的曲线上不存的两点,使得过这两点的切线点互相垂直.…………14分 21、(14分):(1)椭圆C 与圆222c y x =+有公共点的的充要条件是点)1,0(±在圆2 22c y x =+上或内且 1>a ,即? ? ?>-=≤±+11 )1(02222a a c ,也即2≥a 故a 的取值范围是),2[+∞…………5分 另解:由已知,1>a , ∴ 方程组?? ???=+=+2 222 221c y x y a x 有实数解,从而01112 22≥-=??? ??-c x a , 故12≥c ,所以22≥a ,即a 的取值范围是),2[+∞…………5分 (2)a 的最小值是2,此时椭圆C 的方程为12 22 =+y x , 由???=++=2 22 2y x m kx y 得0)1(24)12(2 22=-+++m mkx x k (*) ∵ 直线l 与椭圆交于不同两点, ∴ 22 8(21)0k m ?=-+>,即1222+ ∴ 1242 21+-=+k mk x x ,∴ 线段MN 的中点为?? ? ??++-12,12222k m k mk Q , 又∵ 线段MN 的垂直平分线恒过点)1,0(-A ,∴ MN AQ ⊥, 即k mk k m 1 2122-=++- ,即1222+=k m ② … 由①,②得m m 22<,20< 1 >m , ∴ 实数m 的取值范围是?? ? ??2,21.…………14分