训练5：力的合成 共点力平衡(学生用)

（二）力的合成与分解共点力平衡

一、基础知识

1．合力与分力

一个力，如果它产生的效果与几个力的共同作用效果相同，则这个力叫做那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力．合力与分力之间是等效替代关系．

2．力的合成与分解

（1）求几个力的合力的过程叫做力的合成，反之，求一个力的分力的过程叫做力的分解．

（2）平行四边形定则：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向（如图所示）．

（3）力的合成与分解都遵从平行四边形定则．

（4）力的合成唯一，而力的分解一般不是唯一．

3．矢量和标量

既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则（或三角形定则）的物理量叫做矢量．只有大小没有方向，求和时按照算术法则相加的物理量叫做标量．

4．共点力

几个力如果都作用在物体的同一点上，或者虽不作用在同一点上，但它们作用线的延长线相交于一点（该点不一定在物体上），这样的一组力叫共点力．

5．平衡状态

物体处于静止或匀速直线运动状态叫做平衡状态．物体的加速度和速度都为零的状态叫做静止状态．物体的加速度为零，而速度不为零，且保持不变的状态是匀速直线运动状态．

说明：（1）静止的物体速度一定为零，但速度为零的物体不一定静止．因此，静止的物体一定处于平衡状态，但速度为零的物体不一定处于静止状态．

（2）共点力作用下的物体只要物体的加速度为零，它一定处于平衡状态，只要物体的加速度不为零，它一定处于非平衡状态．

6．共点力作用下物体的平衡

（1）共点力的平衡条件：物体所受合外力零，即F合= 0．在正交分解形式下的表达式为F x = 0，F y = 0．

（2）平衡条件的推论

①二力平衡：物体受两个力作用而处于平衡状态时，则这两个力大小一定相等，方向相反，且作用在同一直线上，其合力为零，这两个力叫做一对平衡力．

②三力平衡：物体受到三个力作用而处于平衡状态时，则任意两个力的合力必与第三个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线．若这三个力是非平行力，则三个力一定是共点力，简称为不平行必共点．如果将三个力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的封闭三角形．

③多力平衡：物体在多个共点力作用下处于平衡状态时，则其中的一个力与其余力的合力大小相等，方向相反，将这些力的矢量平移，则一定可以得到一个首尾相接的封闭多边形．

（3）三力汇交原理：物体在三个不平行力的作用下平衡时，这三个力作用线必在同一平面内且相交于一点．

重点难点例析

一．力的合成

1．合成法则：平行四边形定则或三角形定则．

2．同一直线上的力合成，选定一个正方向，与正方向相同的力为正，与正方向相反的力为负．即可将矢量运算转化为代数运算求合力．

2l

b

F A B C D

α α 3．互成角度的两力F 1、F 2的合成

①作图法：选定合适的标度，以F 1、F 2为两邻边作平行四边形，两邻边之间的对角线即为所求．根据标度，用刻度尺量出合力的大小，用量角器量出合力与任意分力的夹角φ．

②计算法：若以F 1、F 2为邻边作平行四边形后，F 1、F 2夹角为θ，如图所示，利用余弦定理得合力大小

2212122cos F F F F F θ=++合力F 方向与分力F 1的夹角φ， 121sin tan cos F CD

OD F F θ?θ

==

+ 【讨论】

a ．若θ=0°，则F = F 1+F 2 ；若θ=90°，则2212F F F +θ=180°，则F = |F 1-F 2|；

若θ=120°，且F 1=F 2，则F = F 1=F 2．

b ．共点的两个力合力的大小范围是 |F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2，当两力夹角θ在0～1800范围内变化时，两分

力大小一定时，F 合随两力间夹角的增大而减小． c ．合力可能比分力大，也可能比分力小，也可能等于分力．

（4）多个共点力的合成方法

依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求该合力与第三个力的合力，依次类推，求完为止．也可以先正交分解后合成的方法．

【例1】 六个共点力的大小分别为F 、2F 、3F 、4F 、5F 、6F ，相邻两力间的夹角均为60°，

如图所示．试确定它们的合力的大小和方向．

【例2】 如图所示，有五个力作用于同一点O ，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线．已知F 1＝10N ，则这五个力的合力大小为 N ．

二．力的分解

（1）力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循平行四边形定则或三角形定则．

（2）两个力的合力唯一确定，一个力的两个分力在无附加条件时，从理论上讲可分解为无数组分力，但在具体问题中，应根据力实际产生的效果来分解． （3）力分解时有解、无解的讨论

①已知合力F 的大小与方向，两个分力的方向，则两个分力的大小有唯一确定解．

②已知合力F 的大小与方向，一个分力的大小和方向，另一分力的大小与方向有唯一确定解．

③已知合力和一个分力F 1的大小与另一个分力F 2的方向，求分力F 1的方向和分力F 2的大小时，其分解方法可能惟一，也可能不惟一．

【例3】 右图是压榨机的原理示意图，B 为固定铰链，A 为活动铰链，在A 处作用一水平力F ，

滑块C 就以比F 大得多的压力压物体D ．已知图中l =0.5m ，b =0.05m ，F =200N ，C 与左壁接触面光滑，D 受到的压力多大？（滑块和杆的重力不计）

F 1

F 2

F O

θ φ

A D

C

2F 4F

3F

O

F 5F

6F

F 2

F 1

F 3

F 4

37°

106°

F α β D

E

C B A

【例4】 如图是拔桩架示意图．绳CE 水平，CA 竖直，已知绳DE 与水平方向成α角；绳BC 与竖直方向成β

角．若在E 点施加竖直向下的大小为F 的拉力作用，求CA 绳向上拔桩的力的大小．

【例5】 在同一平面内共点的四个力F 1、F 2、F 3、F 4的大小依次为19N 、40N 、30N 和15N ，方向如图所示，

求它们的合力．

【例6】 如图所示，两个大人和一个小孩沿河岸拉一条船前进，两个大人的拉力分别是F 1=400N 和F 2=320N ，

F 1、F 2的方向分别与河岸成60°和30°角，要使船在河流中间行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小和方向．

四．注意“死杆”和“活杆”问题

在处理支架类力的分解问题时，关键是搞清楚支架的相关部位受拉还是受压，以便决定分力的方向。一般说来，绳子总是受拉不可能受压，而轻杆则可能受拉也可能受压．判断轻杆的受力情况，可将轻杆换成绳子——在原有外力作用下，若绳子仍能张紧，则轻杆受拉；若绳子不能伸直，则轻杆受压 【例7】 如图，质量为m 的物体用细绳OC 悬挂在支架上的O 点，轻杆OB 可绕B 点转

动，当物体静止时细绳OA 与轻杆OB 间的夹角为θ．求此时细绳OA 中张力F 1的大小和轻杆OB 受力F 2的大小．

【例8】 如图所示，水平横梁一端A 插在墙壁内，另一端装有小的轻质滑轮B ，一轻绳一端C 固定于墙壁上，

另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m =10kg 的重物，∠CBA =30°，则滑轮受到绳子作用力为（ ） A ．50N

B ．503N

C ．100N

D ．1003N

F 1 F 60°

30° O

C m

A

B

A

C

B

m

五．用力的矢量三角形定则分析力最小值的规律

（1）．当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2最小的条件是：两个分力垂直，如右图（a）所示．最小的F2＝F sinα.

（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最

小的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如右图（b）所示．最小的F2＝F1sinα.

（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条

a b

件是：已知大小的分力F1与合力F同方向，最小的F2＝|F-F1|．

【例9】如图所示，物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体O点，现要使物体沿着OO '方向做加速运动（F 和OO'都在水平面内）．那么，必须同时再加一个力F '，这个力的最小值是（）

A．F cosθB．F sinθC．F tanθD．F cotθ

六．物体的受力分析

1．受力分析：把研究对象在特定的物理环境中受到的所有力找出来，并画出受力图，这就是受力分析．

2．物体受力分析的步骤

（1）选取研究对象—即确定受力物体（可以是某一个物体或节点，也可以是保持相对静止的若干物体）．（2）隔离物体分析—将研究物体从周围物体中隔离出来，进而分析周围有哪些物体对它施加力．

（3）画出受力图示—边分析边将力一一画在受力图上，准确标明各力的方向．

（4）找力顺序—先场力（重力、电场力、磁场力），后接触力（接触力中必须先弹力，后摩擦力），再其它力．（5）检验

检查画出的每个力能否找出它的施力物体，若没有施力物体，则该力一定不存在．特别是检查一下分析的结果，能否使研究对象处于题目所给的运动状态，否则必然发生了多力或漏力的现象．

3．受力分析注意要点

（1）防止“漏力”和“添力”，按正确顺序进行受力分析是防止“漏力”的有效措施.注意寻找施力物体，这是防止“添力”的措施之一，找不出施力物体，则这个力一定不存在．

（2）只画性质力，不画效果力．画受力图时，只能按力的性质分类画力，不能按作用效果（拉力、压力、向心力等）画力，否则将出现重复．

（3）区分内力和外力，分析研究对象所受的力，切不可分析它对别的物体施加的力．

（4）在难以确定物体的某些受力情况时，可先根据（或确定）物体的运动状态，再运用平衡条件或牛顿运动定律判断未知力．

3．受力分析的方法

（1）整体法：在研究问题时，把相对位置不变的几个物体作为一个整体来处理的方法称为整体法．

（2）隔离法：把研究对象从周围物体中隔离出来，独立进行研究，最终得出结论的方法称为隔离法．

（3）假设法：在未知某力是否存在时，可先对其作出存在或不存在的假设，然后再就该力存在与不存在对物体运动状态是否产生影响来判断该力是否存在．

【例10】在粗糙水平面上放着一个三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2如图所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块（）

A．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向右

B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左

C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出

D．没有摩擦力作用

P

M

N

【例11】 如图所示，竖直放置的轻弹簧一端固定在地面上，另一端与斜面体P 相连， P 与斜放在其上的固定档板MN 接触且处于静止状态，则斜面体P 此时受到的外力的 个数有可能是（ ） A ．2个 B ．3个

C ．4个

D ．5个

七．求解平衡问题的常用方法

1．力的分解法

物体受三力作用平衡时，根据其中某一个力产生的效果，将其分解从而可求出另外两个力． 2．力的合成法

物体受三力作用平衡时，其中任意两个力的合力必与第三个力大小相等、方向相反，可以由两个力合成求解． 3．力的三角形法

物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形，因此可利用三角形法，求得未知力．

以上三种方法的解题思路不同，但求解过程相似，都是要将这三个力构成矢量三角形，然后利用三角函数知识和几何知识解此三角形，从而求出未知力．灵活利用三角形的边角关系（如正弦定理、余弦定理、相似三角形等）是解决三力平衡的关键．

4．正交分解法

先确定研究对象，进行受力分析，然后建立直角坐标系，将各力分解到x 轴和y 轴上，再根据0x F ∑=、0y F ∑=，列方程求解．该法多用于三个力以上共点力作用下的物体的平衡．

【例12】 如图所示，重力为G 的物体在水平向右和跟竖直方向成θ角的斜向上绳子的拉

力作用下，保持静止状态，试求两绳的拉力．

【例13】 如图所示，重量为G 的均匀链条，两端用等长的轻绳连接，挂在等高的地方，绳与水平线成θ角．求： （1）绳子的张力大小；（2）链条最低点的张力大小．

三．动态平衡问题的分析

动态平衡问题是指通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在此过程中，物体始终处于一系列的动态平衡状态．这类问题的特征是“缓慢移动”（即物体速度极小，计算时可认为为零）．解决动态平衡问题的关键是抓住不变量，依据不变量来确定变化量的规律．常用的分析方法有解析法和图解法．

1．解析法

对研究对象的任一状态进行受力分析，列平衡方程，写出函数关系式，再根据自变量的变化进行分析，得出结论．

2．图解法

对研究对象进行受力分析，用平行四边形（或三角形）定则画出不同状态下的力的矢量图，然后根据有向线段长度的变化判断各力的变化情况．物体在三力平衡时常用此法．

【例14】如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为α．在斜面上有

一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角β缓慢增

大至水平，在这个过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

（用解析法和图解法分别求解）

注意两种解法的区别：

（1）从上例的分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析．图解法直观、简便，多用于定性分析．但在使用中有两点需要注意：①本方法所适用的基本上都是“三力平衡”问题，且物体所受的三力中，有一个恒力（如G），还有一个是方向不变仅大小变的力（如斜面给小球的支持力），另一个则是大小和方向都变的力（如挡板给小球的压力）．②作图时要规范，也可仅讨论其中的一个三角形，要特别注意方向变化的那个力，要切实搞清其方向变化的范围．

（2）解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键．

A

B

C

F θ θ

【例15】 一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO 上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆AO 间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力N 的大小变化情况是（ ） A ．N 先减小，后增大 B ．N 始终不变 C ．F 先减小，后增大 D ．F 始终不变

八．物体平衡中的临界和极值问题

1．临界问题

物理系统由于某些原因而发生突变（从一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一种物理过程转入到另一物理过程的状态）时所处的状态，叫临界状态．临界状态也可理解为“恰好出现”和“恰好不出现”某种现象的状态．平衡物体的临界问题的求解方法一般是采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解．解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”． 2．极值问题

极值是指平衡问题中某些物理量变化时出现最大值或最小值．求解极值问题有两种方法： （1）解析法

根据物体的平衡条件列方程，在解方程时采用数学知识求极值．通常用到数学知识有二次函数极值、讨论分式极值、三角函数极值以及几何法求极值等． （2）图解法

根据物体平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定最大值和最小值．

【例16】 如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60°的拉力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围．

【例17】 如图所示，用绳AC 和BC 吊起一重物，绳与竖直方向夹角分别为30°和60°，AC 绳能承受的最大拉力

为150N ，而BC 绳能承受的最大的拉力为100N ，求物体最大重力不能超过多少？

30°

60°

（乙）

（甲） O B

P

Q

三、反馈练习

1. 用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是（ ）

A ．保持不变

B ．逐渐增大

C ．逐渐减小

D ．以上说法都有可能 2. 两个共点力F 1与F 2的合力为F ，则（ ）

A ．合力一定大于任一分力

B ．合力有可能等于某一分力

C ．分力F1增大，而F2不变，且它们的夹角不变时，合力F 一定增大

D ．当两个分力大小不变时，增大两分力的夹角，则合力一定减小 3. 有三个力，F 1=3N ，F 2=5N ，F 3=9N ，则（ ）

A ．F1可能等于F2和F3的合力

B ．F2可能等于F1和F3的合力

C ．三个力合力最小值是1N

D ．三个力合力最大值是17N

4. 两个大小恒定的共点力，合力的最大值为a ，合力的最小值为b ，当这两个共点力互相垂直时，其合力的大小为（ ）

A ．a+b

B ．2

a b + C 22a b + D 222

a b +5. AB 、AC 两绳相交于A 点，绳与绳、绳与天花板间夹角大小如图，现用一力F 作用于交点A ，与右绳夹角为α，保持力F 大小不变，改变α角大小，忽略绳本身重力，则在下述哪种情况下，两绳所受张力大小相等（ ） A ．α=150° B ．α=135°

C ．α=120°

D ．α=90°

6. 有一个直角支架AOB ，AO 水平放置，表面粗糙， OB 竖直向下，表面光滑．AO 上套有小环P ，OB 上套有小环Q ，两环质量均为m ，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）．现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO 杆对

P 环的支持力N 和摩擦力f 的变化情况是

A ．N 不变，f 变大

B ．N 不变，f 变小

C ．N 变大，f 变大

D ．N 变大，f 变小

7. 受斜向上的恒定拉力作用，物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，则下列说法正确的是（ ） A ．拉力在竖直方向的分量一定大于重力 B ．拉力在竖直方向的分量一定等于重力 C ．拉力在水平方向的分量一定大于摩擦力 D ．拉力在水平方向的分量一定等于摩擦力 8. 用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图（甲）所示．今对小球a 持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b 持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡．表示平衡状态的图可能是图（乙）中的（ ）

B

A

Q

θ

P θ

9. 如图，A 、B 两物体的质量分别是m A 和m B ，而且m A ＞m B ，整个系统处于静止，滑轮的质量和一切摩擦不计，如果绳的一端由P 点缓慢向右水平移动到Q 点，整个系统重新平衡后，物体A 的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ如何变化？

A ．物体A 的高度升高，θ角变小

B ．物体A 的高度升高，θ角不变

C ．物体A 的高度不变，θ角变大

D ．物体A 的高度降低，θ角变小

10. 半圆柱体P 放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖向挡板MN ，在P 和MN 之间放有一个光滑均匀的小圆柱

体Q ，整个装置处于静止状态，如图所示是这个装置的截面图，若用外力使MN 保持竖直且缓慢地向右移动，在

Q 落到地面以前，发现P 始终保持静止，在此过程中，下列说法中正确的是（ ） A ．MN 对Q 的弹力逐渐减小 B ．地面对P 的摩擦力逐渐增大 C ．P 、Q 间的弹力先减小后增大 D ．Q 所受的合力逐渐增大．

11. 在机械设计中常用到下面的力学原理，如图，只要使连杆AB 与滑块m 所在平面间的夹角θ大于某

个值，那么，无论连杆AB 对滑块施加多大的作用力，都不可能使之滑动，且连杆AB 对滑块施加的作用力越大，滑块就越稳定，工程力学上称为“自锁”现象．设滑块与所在平面间的动摩擦因数为μ，为使滑块能“自锁”应满足的条件是（ ）

A ．μ≥tanθ

B ．μ≥cotθ

C ．μ≥sinθ

D ．μ≥cosθ

12. 如图所示，两个完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，求（a ）、（b ）两种情况下小

球对斜面的压力之比．

13. 如图所示，长为5m 的细绳两端分别系于竖立在地面上相距为4m 的两杆的顶端A 、B ．绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N 的物体，平衡时， （1）求绳中张力的大小？

（2）A 点向上移动少许，重新平衡后，绳与水平面夹角及绳中张力如何变化 .

（a ）

（b ）

θ

θ

B

A

O 4m

14.如图所示，用跟水平方向成α角的推力F推重量为G的木块沿天花板向右运动，木块和天花板间的动摩擦

因数为μ，求木块所受的摩擦力大小．

15.将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°，试求

（1）另一个分力的大小不会小于多少？

（2）若另一个分力大小为

N，则已知方向的分力的大小是多少？

16.电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一

种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L 的两根固定支柱A、B（图中小圆框表示支柱的横截面）垂直于金属绳水平放置，在A、B 的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于A、

B 的方向竖直向上发生一个偏移量d（d<

C 竖直向下的作用力为F．（1）试用L、d、F表示这时绳中的张力T．

（2）如果偏移量d = 10mm，作用力F = 400N，L = 250 mm，计算绳中张力的大小．

17. 为了用起重机缓慢吊起一段均匀的钢梁，现用一根绳索拴牢此钢梁的两端，使起重机的吊钩钩在绳索的中点处，如图所示．若钢梁长l 、重G ，绳索能承受的最大拉力为F max ，则绳索至少为多长？（不包括绳索在钢梁上环绕部分的长度，且绳索的重力不计．）

18. 当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度．已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v ，且正比于球半径r ，即阻力f=krv ，k 是比例系数，对于常温下的空气，比例系数k =3.4×10-4 N·s/m 2．已知水的密度ρ=1.0×103 kg/m 3，取重力加速度g=10 m/s 2，则半径r =0.10 mm 的球形雨滴在无风情况下的终极速度v T 是多大？（结果取两位有效数字）

19. 如图所示，小球质量为m ，置于质量为M 的倾角为θ的光滑斜面上，悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于静止状态．求

（1）斜面对小球的支持力和悬线对小球的拉力大小． （2）地面对斜面体的水平和竖直方向的作用力大小．

20. 直角劈形木块（截面如图所示，∠ACB =37°）质量M =2kg ，用外力顶靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比，即f m =kF N ，比例系数k =0.5，则垂直作用于BC 边的外力F 应取何值木块保持静止．（g =10m/s 2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

α

θ