高中数学《圆的标准方程》导学案
2.1 圆的标准方程
[学习目标] 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3.能准确判断点与圆的位置关系.
【主干自填】
1．确定圆的条件
(1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于□01定长． (2)确定圆的条件：□02圆心和□03半径． 2．圆的标准方程
(1)以C (a ，b )为圆心，半径为r □
04(x －a )＋(y －b )＝r . (2)当圆心在坐标原点时，半径为r 的圆的标准方程为□05x ＋y ＝r . 3．中点坐标
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)的中点坐标为□06? ????x 1＋x 22，y 1＋y 22.
4．点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M 与圆心C 的距离跟半径r 比较： 若|CM |＝r ，则点M 在□07圆上； 若|CM |>r ，则点M 在□08圆外； 若|CM | 09圆内． (2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定： 点M(m，n)在□10圆上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2； 点M(m，n)在□11圆外?(m－a)2＋(n－b)2>r2； 点M(m，n)在□12圆内?(m－a)2＋(n－b)2 【即时小测】 1．思考下列问题 若圆的标准方程为(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t≠0)，那么圆心坐标是什么？半径呢？ 提示：圆心坐标(－a，－b)，半径：|t|. 2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为() A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 提示：B设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， ∵圆心是C(2，－3)且过原点，∴a＝2，b＝－3. ∴r＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(1,2)() A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外 提示：C∵(1－2)2＋(2－3)2＝2<4， ∴点在圆内． 4．圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝4的面积等于() A．π B．2π C．4π D．8π 提示：C由题可知r＝2，∴S＝πr2＝4π. 例1写出下列各圆的标准方程． (1)圆心在原点，半径为8； (2)圆心在(2,3)，半径为2； (3)圆心在(2，－1)且过原点． [解]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)∵圆心在原点，半径为8，即a＝0，b＝0，r＝8， ∴圆的方程为x2＋y2＝64. (2)∵圆心为(2,3)，半径为2，即a＝2，b＝3，r＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4. (3)∵圆心在(2，－1)且过原点， ∴a＝2，b＝－1，r＝(2－0)2＋(－1－0)2＝ 5. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5. 类题通法 求圆的标准方程的方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程． [变式训练1]求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)； (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径； (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)． 解(1)由两点间距离公式， 得r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229， ∴半径r＝29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 例2已知两点P1(3,6)，P2(－1,2)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(2,2)，N(5,0)，Q(3,2)在圆上，在圆内，还是在圆外？ [解]由已知得圆心坐标为C(1,4)， 圆的半径r＝1 2|P1P2|＝1 2(3＋1) 2＋(6－2)2＝2 2. ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－4)2＝8. ∵(2－1)2＋(2－4)2＝5<8， (5－1)2＋(0－4)2＝32>8，(3－1)2＋(2－4)2＝8， ∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上． 类题通法 判断点与圆位置关系的方法 判定点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系，即比较|MC|与r 的关系： 若点M在圆C上，则有(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 若点M在圆C外，则有(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； 若点M在圆C内，则有(x0－a)2＋(y0－b)2 [变式训练2]点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是() A．－1 C．a<－1或a>1 D．a＝±1 答案A 解析∵点A(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得－1 例3求圆心在直线l：2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的方程． [解]解法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 ?? ? ??2a－b－3＝0， (5－a)2＋(2－b)2＝r2， (3－a)2＋(－2－b)2＝r2， 解得 ?? ? ??a＝2， b＝1， r＝10. ∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 解法二：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点， ∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上， 线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－1 2(x －4)， 由??? 2x －y －3＝0，y ＝－1 2(x －4)， 解得????? x ＝2， y ＝1. 即圆心C 的坐标为(2,1)． ∴r ＝|CA |＝ (5－2)2＋(2－1)2＝10. ∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 类题通法 用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 (1)设出圆的标准方程． (2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值． (3)代入标准方程，得出结果． [变式训练3] 一圆过原点O 和点P (1,3)，圆心在直线y ＝x ＋2上，求此圆的标准方程． 解 解法一：圆心在直线y ＝x ＋2上， ∴设圆心坐标为(a ，a ＋2)，半径为r ， 则圆的方程为(x －a )2＋(y －a －2)2＝r 2. ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上， ∴??? ?? (0－a )2 ＋(0－a －2)2 ＝r 2 ， (1－a )2＋(3－a －2)2＝r 2， 解得??? ?? a ＝－1 4，r 2＝258. ∴所求的圆的方程为? ????x ＋142＋? ?? ??y －742＝25 8. 解法二：由题意，圆的弦OP 所在直线的斜率为3，中点坐标为? ???? 12，32， ∴弦OP 的垂直平分线方程为y －32＝－13? ???? x －12， 即x ＋3y －5＝0. ∵圆心在直线y ＝x ＋2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上， ∴由??? ?? y ＝x ＋2， x ＋3y －5＝0 解得????? x ＝－1 4，y ＝7 4， 即圆心坐标为C ? ???? －14，74. 又∵圆的半径r ＝|OC |＝ ? ????－142＋? ?? ??742 ＝258， ∴所求的圆的方程为? ????x ＋142＋? ????y －742＝25 8. 易错点?忽略圆的标准方程中隐含条件——半径大于零 [典例] 已知点A (1,2)在圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝2a 2的外部，求实数a 的取值范围． [错解] ∵点A (1,2)在圆的外部，∴(1＋a )2＋(2－a )2>2a 2，即5－2a >0，∴a <5 2， ∴a 的取值范围是? ? ? ??－∞，52. [错因分析] 忽略的圆的标准方程中隐藏着r 2>0. [正解] ∵点A (1,2)在圆的外部，∴(1＋a )2＋(2－a )2>2a 2，即5－2a >0，∴a <5 2，又2a 2>0，∴a ≠0. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪? ? ???0，52. 课堂小结 1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷. 1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是() A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)，2 答案D 解析根据圆的标准方程可知圆心为(2，－3)，半径为 2. 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是() A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝2 答案B 解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4. 3．圆的直径端点为A(2,0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1 解析圆心C(2，－1)，半径r＝1 2(2－2) 2＋(0＋2)2＝1，∴圆的标准方程为 (x－2)2＋(y＋1)2＝1. 4．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________． 答案x2＋(y－1)2＝1 解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 时间：25分钟 1．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是() A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20 C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20 答案C 解析因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝(－1－0)2＋(2－0)2＝5，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C. 2．经过A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三点的圆的标准方程是() A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝5 C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5 答案D 解析由已知条件可得，线段AC的垂直平分线方程为y－0＝2(x－1)，即y ＝2x－2，线段AB的垂直平分线方程为y－3 2＝－3 ? ? ? ? ? x－ 1 2 ，这两条直线的交点坐 标为M(1，0)，又由|MA|＝5，可得过三点A，B，C的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5. 3．过点C(－1,1)和点D(1,3)，且圆心在x轴上的圆的方程是() A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10 C．(x＋2)2＋y2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10 答案D 解析 ∵圆心在x 轴上， ∴可设方程为(x －a )2＋y 2＝r 2. 由条件知????? (－1－a )2＋1＝r 2，(1－a )2＋9＝r 2，解得????? a ＝2， r 2＝10. 故方程为(x －2)2＋y 2＝10. 4．设M 是圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上的点，则M 到3x ＋4y －2＝0的最小距离是( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．2 答案 D 解析 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离 d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42 ＝|15＋12－2| 5＝5， ∴所求的最小距离是5－3＝2. 5．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D 解析 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，故圆心位于第四象限． 6．已知点P (a ，a ＋1)在圆x 2＋y 2＝25的内部，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－4,3) B ．(－5,4) C ．(－5,5) D ．(－6,4) 答案 A 解析 由a 2＋(a ＋1)2<25，可得2a 2＋2a －24<0，