阻尼振动与受迫振动实验报告

阻尼振动与受迫振动

一、

实验目的

1. 观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法；

2. 研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象；

3. 观测不同阻尼对受迫振动的影响。

二、 实验原理

1. 有粘滞阻尼的阻尼振动

在弹簧和摆轮组成的振动系统中，摆轮转动惯量为J ，γ为阻尼力矩系数，ω0=√ k /J 为无阻尼时自由振动的固有角频率，定义阻尼系数β=γ/(2J )，则振动方程为

2220d d k dt dt

θθ

β

θ++= 在小阻尼时，方程的解为

())

exp()cos

i i t t θθβφ=-+

在取对数时，振幅的对数和β有有线性关系，通过实验测出多组振

幅和周期，即可通过拟合直线得出阻尼系数进而得出其他振动参数。

2. 周期外力矩作用下受迫振动

在周期外力矩Mcos ωt 激励下的运动方程和方程的通解分别为

22cos d d J k M t dt dt

θθγθω++=

()(

))

()exp cos

cos i i m t t t θθβφθωφ=-++-

其中包含稳定项和衰减项，当t >>τ后，就有稳态解

()()cos m t t θθωφ=-

稳态解的振幅和相位差分别为

m θ=

22

02arctan

βω

φωω=-

上式中反映当ω与固有频率相等时相位差达到90度。

3. 电机运动时的受迫振动运动方程和解 弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成

()cos m t t ααω=

式中αm 是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。弹簧总转角为()cos m t t θαθαω-=-。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运动方程为

22cos m d d J k k t dt dt

θθγθαω++= 于是得到

2

m θ=

由θm 的极大值条件0m θω?

?=可知，当外激励角频率ω=时，系统发生共振，

θm 有极大值α

引入参数(0ζβωγ

==，称为阻尼比，于是有

m θ=

()()

02

02arctan

1ζωωφωω=-

他们随频率比变化的图像就叫做幅频、相频特性曲线， 当ω等于固

有频率时，相位差达到最大，但是未发生共振。

三、 实验仪器

波尔共振仪，相位差计。

四、 实验步骤

1． 打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档，光电门H 、

I 可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触。手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F 上的0位标志线指示0度，亦即通过连杆E 和摇杆M 使摆轮处于平衡位置。然后拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。正常情况下，振动衰减应该很慢。 2． 开关置于“摆轮”，拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度后摆动，由大

到小依次读取显示窗中的振幅值θj ；周期选择置于“10”位置，按复位钮启动周期测量，体制时读取数据10d T 。并立即再次启动周期测量，记录每次过程中的10d T 的值。

（1）拟合图像计算阻尼比ζ；

（2）用阻尼比和振动周期T d 计算固有角频率ω0。原理上我们认为固有角

频率与振幅无关，事实上弹簧劲度系数随摆角变化，这时需要测出固有角频率与不同振幅的相关数据，减小误差。

3.依照上法测量阻尼（2、3、4）三种阻尼状态的振幅。求出ζ，求出τ、Q

以及他们的不确定度。

4.开启电机开关，置于“强迫力”，周期选择置于“1”，调节强迫激励周期旋

钮以改变电机运动角频率ω，选择2个或3个不同阻尼比（和任务3中一致），测定幅频和相频特性曲线，注意阻尼比较小（“0”和“1”档）时，共振点附近不要测量，以免振幅过大损伤弹簧；每次调节电机状态后，摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定，这时再记录数据。要求每条曲线至少有12个数据点，其中要包括共振点，即φ=π/2的点。

并将用此法测定的固有频率与已有结果比较，逐点求实测相位差与计算值的相对偏差。

五、数据处理

1.测量最小阻尼(阻尼0)时的阻尼比ζ和固有角频率ω0

序号振幅/度振幅对数序号振幅/度振幅对数

1131 4.87519726111 4.70953

2130 4.86753427110 4.70048

3129 4.85981228109 4.691348

4129 4.85981229108 4.682131

5128 4.852******* 4.672829

6127 4.84418731107 4.672829

7126 4.83628232106 4.663439

8125 4.82831433105 4.65396

9124 4.82028234105 4.65396

10123 4.81218435104 4.644391

11123 4.81218436103 4.634729

12122 4.80402137103 4.634729

13121 4.79579138102 4.624973

14120 4.78749239101 4.615121

15119 4.77912340100 4.60517

16119 4.7791234199 4.59512

17118 4.7706854299 4.59512

18117 4.7621744398 4.584967

19116 4.753594497 4.574711

20115 4.7449324597 4.574711

21115 4.7449324696 4.564348

22114 4.7361984796 4.564348

23113 4.7273884895 4.553877

24112 4.7184994994 4.543295

25111 4.709535093 4.532599

拟合得到b=-6.937

由()0.5

2

21

bπζ-

-

=--得到：

2

3

22

3.50110

4

b

b

ζ

π

-

==?

+

()

22

32

22

4

0.00016

4

b b

d

S

db b

ζ

ζπ

ζπ

???

=?==

?

??+

()3

3.5010.00110

ζ-

∴=±?

序号 1 2 3 4 5

10

i d

T T

=

/s 14.647 14.654 14.659 14.663 14.667

d

T= 1.465s()21

21 4.299

d

T s

ωπζ-

=-=4.289

2.测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，求出ζ、τ、Q

a)阻尼为2时

序号振幅/度振幅对数序号振幅/度振幅对数

1131 4.875197774 4.304065

2120 4.787492868 4.219508

3109 4.691348962 4.127134

4100 4.605171056 4.025352

590 4.499811151 3.931826

682 4.4067191247 3.850148

拟合得b= -9.431

由()0.5

2

21

bπζ-

-

=--得到：

2

3

22

3.50110

4

b

b

ζ

π

-

==?

+

()

22

32

22

4

0.00016

4

b b

d

S

db b

ζ

ζπ

ζπ

???

=?==

?

??+=

()3

3.5010.00110

ζ-

∴=±?

序

号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T/s 1.46

4

1.46

7

1.46

7

1.46

8

1.46

8

1.46

8

1.46

8

1.46

9

1.46

8

1.46

8

1.46

8

1.46

8

1014.622 1.46220.0021

d

d d T

T s T s S

=∴==

1.468s ()21

21 4.297

d

T s

ωπζ-

=-=4.281

1

18.28s

τ

ζω

==15.57s

1

39.28

2

Q

ζ

==33.33

b)阻尼状态为3时

序号振幅/度振幅对数序号振幅/度振幅对数

1123 4.812184760 4.094345

2109 4.691348854 3.988984

397 4.574711948 3.871201

486 4.4543471042 3.73767

577 4.3438051137 3.610918

668 4.2195081233 3.496508

拟合得b= -0.119

由()0.5

2

21

bπζ-

-

=--得到：

2

3

22

3.50110

4

b

b

ζ

π

-

==?

+

()

22

32

22

4

0.00016

4

b b

d

S

db b

ζ

ζπ

ζπ

???

=?==

?

??+

()3

3.5010.00110

ζ-

∴=±?

序

号

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T/s 1.46

6

1.46

7

1.46

7

1.46

8

1.46

9

1.46

9

1.46

9

1.46

9

1.46

9

1.46

9

1.46

9

1.46

9

1014.622 1.46220.0021

d

d d T

T s T s S

=∴==

1.468s ()21

21 4.297

d

T s

ωπζ-

=-=4.281

1

18.28s

τ

ζω

==12.33s

1

39.28

2

Q

ζ

==26.41

3．测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。

阻尼2

φθm Tωφ理论值相对误差

22.658 1.520 4.13418.18224.3

37.388 1.496 4.20029.13728.0

50111 1.484 4.23440.73522.7

60123 1.478 4.25149.87320.3

77.5138 1.470 4.27467.38715.0

90.5141 1.464 4.29284.5597.0

99.7139 1.461 4.30193.770 6.3

111.7127 1.467 4.28375.63847.7

128.5107 1.449 4.336125.518 2.4

14087 1.442 4.357137.576 1.8

14774 1.435 4.379145.8920.8

15064 1.429 4.397151.0230.7