矩阵的各种运算详解.
一、矩阵的线性运算
定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为
注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
设矩阵记
,
称为矩阵的负矩阵, 显然有
.
由此规定矩阵的减法为
.
定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为
数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.
矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则
(1)
(2) ;
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.
二、矩阵的相乘
定义3设
矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，(
记号常读作左乘或右乘.
注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即
.
矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)：
（1）
（2）
（3）
（4）
注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即
例如, 设则
而
于是且
从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出
或
此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设
则
但
定义4如果两矩阵相乘, 有
则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.
注：对于单位矩阵, 容易证明
或简写成
可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.
更进一步我们有
命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。
命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：
（1）
（2）
（3）
（4）
三、线性方程组的矩阵表示
设有线性方程组
若记
则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：
(2)
其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.
如果是方程组(1)的解, 记列矩阵
则
，
这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式
成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为
将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
四、矩阵的转置
定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或
). 即若
则
.
矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
(4)
五、方阵的幂
定义5设方阵, 规定
称为的次幂.
方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：
(1)
(2)
注: 一般地,为自然数
命题3 设均为n阶矩阵，则有为自然数，反之不成立。
六、方阵的行列式
定义7由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵的行列式,记作或
注: 方阵与行列式是两个不同的概念, 阶方阵是个数按一定方式排成的数表,而
阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.
方阵的行列式满足以下运算规律(设为阶方阵, 为常数):
(1)
(2)
(3) 进一步
七、对称矩阵
定义8设为阶方阵, 如果即
则称为对称矩阵.
显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称. 例如
，
均为对称矩阵.
如果则称为反对称矩阵.
八、共轭矩阵
定义9 设为复（数）矩阵, 记
其中表示的共轭复数, 称为A的共轭矩阵.
共轭矩阵满足以下运算规律(设为复矩阵,为复数, 且运算都是可行的):
(1)
(2)
(3)
例题选讲：
矩阵的线性运算
例1 (讲义例1)已知, 求
例2(讲义例2) 已知且求
注:n阶数量矩阵=
例3(讲义例3)若求
例4设，。A是一个矩阵，B是矩阵，因此AB有意义，BA也有意义；但
。
2-matlab矩阵的代数运算 (1)
乘法运算乘法运算符为”*”，运算规则和现行代数中矩阵乘法运算相同，即放在前面的矩阵的行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。 1、两个矩阵相乘：必须满足前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数。 2、矩阵的数乘：返回数与矩阵中每一个元素相乘后的矩阵 3、向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘；A.*B表示A与B对应的元素相乘，返回的是一个向量 4、向量点积： （1）C=dot(A,B) %若A、B为向量，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同维数 （2）C=dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积 5、向量叉乘：在数学上，两向量的叉乘是一个过两向量交点且垂直于两向量所在平面的向量。 （1）C=cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=AXB；若为矩阵，则返回一个3Xn矩阵，其中列是A与B对应列的叉积，A、B都是3Xn矩阵 （2）C=cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积注：A与B必须具有相同维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3 6、矩阵卷积和多项式乘法：w=conv(u,v) （反褶积deconv(u,v)）长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积定义为 ∑ = + = k 1 j j) -1 u(j)v(k )k( w，其中w向量序列长度为（m+n-1） 多项式的乘法实际上是多项式系数向量间的卷积运算，举例如下：展开多项式(s2+2s+2)(s+4)(s+1) >>w=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1])) w = 1 7 16 18 8 >>p=poly2str(w,’s’) %将w表示成多项式 p=s^4 +7 s^3 +16 s^2 +18 s + 8 7、张量积 C=kron(A,B) %A为mxn矩阵，B为pxq矩阵，则C为mpxnq矩阵A与B的张量积定义为： 加、减运算加、减运算符为”+”、”--”。运算规则为对应元素相加、减 pow2函数命令：X=pow2(F,E)，表示F*2E；命令：X=pow2(E），表示2E 矩阵的代数 运算
(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业 （一）选择题(15分) １．设，均为n 阶矩阵，且，则必有（ ）A B 22 ()()A B A B A B +-=-(A) (B) (C) (D) A B =A E =AB BA =B E =２．设，均为n 阶矩阵，且，则和（ ） A B AB O =A B (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零 ３．设，均为n 阶对称矩阵，仍为对称矩阵的充分必要条件是（ ） A B AB (A) 可逆 (B)可逆 (C) (D) A B 0AB ≠AB BA =４．设为n 阶矩阵，是的伴随矩阵，则＝（ ） A A *A A *(A) (B) (C) (D) 1n A -2n A -n A A ５．设，均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ） A B (A) (B) ()T T T AB A B =()T T T A B A B +=+(C) (D) 111()AB A B ---=111 ()A B A B ---+=+（二）填空题(15分) １．设，均为3阶矩阵，且，则= 。 A B 1 ,32A B ==2T B A 2．设矩阵，，则＝ 。 1123A -?? = ???232B A A E =-+1B -３．设为４阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则＝ 。 A A *A 2A =-A *４．设，均为n 阶矩阵，，则＝ 。 A B 2,3A B ==-12A B *-５．设，为整数，则＝ 。 101020101A ? ? ?= ? ??? 2n ≥12n n A A --（三）计算题(５０分) 1． 设,,且，求矩阵。 010111101A ?? ?=- ? ?--??112053B -? ? ? = ? ??? X AX B =+X
MATLAB中的矩阵与向量运算
4.1 数组运算和矩阵运算 从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表 4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵 数组运算矩阵运算 指令含义指令含义 A.'非共轭转置A'共轭转置 A=s把标量s赋给数组A的每个元素 s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加s-B, B-s标量s分别与数组B的元素之差 s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积 s./B, B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量s A.^n数组A的每个元素的n次方A^n A为方阵时,矩阵A的n次方 A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加 A-B数组对应元素的相减A-B矩阵相减 A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积 A./B A的元素被B的对应元素除A/B A右除B B.\A一定与上相同B\A A左除B(一般与右除不同) exp(A)以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm(A) A的矩阵指数函数 log(A) 对A的各元素求对数logm(A) A的矩阵对数函数 sqrt(A) 对A的积各元素求平方根sqrtm(A) A的矩阵平方函数 从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维. 4.2 数组的基本运算 在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组. 4.2.1 点转置和共轭转置 . ' ——点转置.非共轭转置,相当于conj(A'). >> a=1:5; >> b=a. ' b = 1 2 3 4 5 >> c=b. ' c = 1 2 3 4 5 这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量. ' ——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: >> d=a+i*a
matlab中的矩阵的基本运算命令
1.1 矩阵的表示 1.2 矩阵运算 1.2.14 特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k) %以向量v的元素作为矩阵X的第k条对角线元素，当k=0时，v为X的主对角线；当k>0时，v为上方第k条对角线；当k<0时，v为下方第k条对角线。 X = diag(v) %以v为主对角线元素，其余元素为0构成X。 v = diag(X,k) %抽取X的第k条对角线元素构成向量v。k=0：抽取主对角线元素；k>0：抽取上方第k条对角线元素；k<0抽取下方第k条对角线元素。 v = diag(X) %抽取主对角线元素构成向量v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril %取下三角部分 格式L = tril(X) %抽取X的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k) %抽取X的第k条对角线的下三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。函数triu %取上三角部分 格式U = triu(X) %抽取X的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k) %抽取X的第k条对角线的上三角部分；k=0为主对角线；k>0为主对角线以上；k<0为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape”，前者主要针对2个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape函数变维 格式 B = reshape(A,m,n) %返回以矩阵A的元素构成的m×n矩阵B B = reshape(A,m,n,p,…) %将矩阵A变维为m×n×p×… B = reshape(A,[m n p…]) %同上 B = reshape(A,siz) %由siz决定变维的大小，元素个数与A中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n) %将矩阵A复制m×n块，即B由m×n块A平铺而成。 B = repmat(A,[m n]) %与上面一致 B = repmat(A,[m n p…]) %B由m×n×p×…个A块平铺而成 repmat(A,m,n) %当A是一个数a时，该命令产生一个全由a组成的m×n矩阵。 1.3 矩阵分解 1.3.1 Cholesky分解 函数chol 格式R = chol(X) %如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X) %不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。 1.3.2 LU分解
MATLAB实验二 矩阵基本运算(一)答案
实验一 矩阵基本运算（一） （1）设A 和B 是两个同维同大小的矩阵，问： 1）A*B 和A.*B 的值是否相等？ ????? ?? =763514432A ???? ? ??=94 525 313 4B A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A*B, A.*B ans = 37 37 44 44 37 51 65 67 78 ans = 8 9 4 12 5 10 15 24 63 2）A./B 和B.\A 的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A./B, B./A
ans = 0.5000 1.0000 4.0000 1.3333 0.2000 2.5000 0.6000 1.5000 0.7778 ans = 2.0000 1.0000 0.2500 0.7500 5.0000 0.4000 1.6667 0.6667 1.2857 3）A/B和B\A的值是否相等？ A=[2 3 4;4 1 5;3 6 7]; B=[4 3 1;3 5 2;5 4 9]; A/B, B/A ans = -0.3452 0.5119 0.3690 0.7857 -0.7857 0.6429 -0.9762 1.3095 0.5952 ans = 110.0000 -15.0000 -52.0000
92.0000 -13.0000 -43.0000 -22.0000 4.0000 11.0000 4）A/B和B\A所代表的数学含义是什么？ 解： A/B是B*A的逆矩阵 B\A是B*A的逆矩阵 （2）写出完成下列操作的命令。 1）将矩阵A第2—5行中第1，3，5列元素赋给矩阵B。 A=[0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186] B=A(2:5,[1,3,5]) A = 0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.0153 0.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.7468 0.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.4451 0.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.9318 0.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.4660 0.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 B = 0.2311 0.7382 0.2028 0.6068 0.1763 0.1987 0.4860 0.4057 0.6038 0.8913 0.9355 0.2722 2）删除矩阵A的第7号元素。 A=rand(6,6); >> A(7)=[inf] A = 0.8385 Inf 0.1730 0.1365 0.2844 0.5155
Matlab常用函数数组及矩阵的基本运算
实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。
矩阵及其运算测试题
第二章 矩阵及其运算测试题 一、选择题 1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（ ）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换； (C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ） (A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ??= ??? ，则* C =( )。 (A) **00 A B ?? ??? (B) **||00 ||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0 0||||A B A A B B ?? ??? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（ ）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C) A A B B =-g (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3 x 的系数为（ ）。 (A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++ 6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+
MATLAB矩阵及其运算函数表
MATLAB 矩阵及其运算函数表 函数名函数功能 abs( ) 绝对值、负数的模、字符串的ASCII码值都可用来求字符串矩阵所 对应的ASCII码数值矩阵double( ) char( ) 可以把ASCII码数值矩阵转换为字符串矩阵 fix( ) 向零方向取整 floor( ) 不大于自变量的最大整数 ceil( ) 不小于自变量的最小整数 round( ) 四舍五入到最邻近的整数 rem(x,y) 求余函数 mod(x,y) % exp( ) 指数函数 [ ] 空操作符 format 格式符设置或改变数据输出格式 (其中格式符决定数据的输出格式) e1:e2:e3 冒号表达式可以产生一个行向量 (其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值) linspace(a,b,n) 产生一个行向量 (其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数) [注：linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价] A(:,j) 表示取A矩阵的第j列全部元素 A(i,:) 表示A矩阵第i行的全部元素 A(i,j) 表示取A矩阵第i行、第j列的元素 A(i:i+m,:) 表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素 A(:,k:k+m) 表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) 表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素 zeros 产生全0矩阵(零矩阵) ones 产生全1矩阵(幺矩阵) eye 产生单位矩阵 rand 产生0～1间均匀分布的随机矩阵 randn 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 zeros(size(A)) 建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵 reshape(A,m,n) 在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵magic(n) 生成一个n阶魔方矩阵（其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等） vander(V) 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵（最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积） hilb(n) 生成希尔伯特矩阵 invhilb(n) 求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 (用一般方法求逆会因原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果) toeplitz(x,y) 生成一个以x为第1列，y为第1行的托普利兹矩阵（除第1行第1列外，
GE矩阵+计算方法+案例(一班三组)
GE矩阵法及其使用方法介绍 一、GE矩阵法概述 GE矩阵法又称通用电器公司法、麦肯锡矩阵、九盒矩阵法、行业吸引力矩阵是美国通用电气公司（GE）于70年代开发了新的投资组合分析方法。对企业进行业务选择和定位具有重要的价值和意义。GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 二、方格分析计算方法介绍： GE矩阵可以用来根据事业单位在市场上的实力和所在市场的吸引力对这些事业 单位进行评估，也可以表述一个公司的事业单位组合判断其强项和弱点。在需要 对产业吸引力和业务实力作广义而灵活的定义时，可以以GE矩阵为基础进行战 略规划。按市场吸引力和业务自身实力两个维度评估现有业务（或事业单位），
每个维度分三级，分成九个格以表示两个维度上不同级别的组合。两个维度上可以根据不同情况确定评价指标。 绘制GE矩阵，需要找出外部（行业吸引力）和内部（企业竞争力）因素，然后对各因素加权，得出衡量内部因素和市场吸引力外部因素的标准。当然，在开始搜集资料前仔细选择哪些有意义的战略事业单位是十分重要的。 1. 定义各因素。选择要评估业务（或产品）的企业竞争实力和市场吸引力所需的重要 因素。在GE内部，分别称之为内部因素和外部因素。下面列出的是经常考虑的一些因素（可能需要根据各公司情况作出一些增减）。确定这些因素的方法可以采取头脑风暴法或名义群体法等，关键是不能遗漏重要因素，也不能将微不足道的因素纳人分析中。 2. 估测内部因素和外部因素的影响。从外部因素开始，纵览这张表（使用同一组经理）， 并根据每一因素的吸引力大小对其评分。若一因素对所有竞争对手的影响相似，则对其影响做总体评估，若一因素对不同竞争者有不同影响，可比较它对自己业务的影响和重要竞争对手的影响。在这里可以采取五级评分标准（1=毫无吸引力，2=没有吸引力，3=中性影响，4=有吸引力，5=极有吸引力）。然后也使用5级标准对内部因素进行类似的评定（1=极度竞争劣势，2=竞争劣势，3=同竞争对手持平，4=竞争优势，5=极度竞争优势），在这一部分，应该选择一个总体上最强的竞争对手做对比的对象。 具体的方法是：- 确定内外部影响的因素，并确定其权重- 根据产业状况和企业状况定出产业吸引力因素和企业竞争力因素的级数（五级）- 最后，用权重乘以级数，得出每个因素的加权数，并汇总，得到整个产业吸引力的加权值 下面分别用折线图和表格两种形式来表示。
第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业 （一）选择题(15分) １．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E = ２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ） (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零 ３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（ ） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA = ４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A ５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ） (A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+ (C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+ （二）填空题(15分) １．设A ，B 均为3阶矩阵，且1 ,32A B ==，则2T B A = 。 2．设矩阵1123A -??= ??? ， 232B A A E =-+，则1B -＝ 。 ３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。 ４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。 ５．设101020101A ? ? ?= ? ??? ，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。 （三）计算题(５０分) 1． 设010111101A ?? ?=- ? ?--??,112053B -?? ?= ? ??? ,且X AX B =+，求矩阵X 。
MATLAB中矩阵常用的操作函数
MATLAB中矩阵常用的操作函数 1. zeos : 生成零矩阵 2. ones : 生成1矩阵 3. eye : 生成单位矩阵 4. rand : 返回[0,1]之间的平均分布的随机数（矩阵） 5. randn : 返回标准正态分布的随机数（矩阵） 6. mean : 返回列的均值 7. std : 返回列的方差 8. magic : 返回魔方矩阵，即行、列，对角线元素之和都相等的矩阵 9. hilb : 返回Hilbert矩阵，即H(i,j)=1/(i+j-1) 的矩阵 10. toeplitz : 返回toeplitz矩阵 11. 常用运算： 和：A+B 积：A*B 转置：A'，注意：如果A是复矩阵，则A'是共轭转置 行列式：det(A) 逆：inv(A) 内积：dot(a, b) 秩：rank(A) 迹：trace(A) 12. 线性方程组：Ax=b，可以用左除运算：x=A\b；也可以用逆运算：x=inv(A)*b，但效率不如左除运算。 13. Jordan 标准型：jordan(A)，返回A的Jordan标准型。或者用两个参数接收结果：[V, J] = jordan(A)，那么J是A的Jordan标准型，V是用到的相似变换矩阵，即A=V*J*inv(V)。 14. SVD分解，即奇异值分解：[U, S, V] = svd(A)，A=USV'。 15. 特征值：eig(A)返回A的所有特征值。如果用两个参数接收结果：[E, F] = eig(A)，那么E 的列是A的特征向量，F是A的特征值。 16. 范数： 1范数：norm(A, 1) 2范数：norm(A, 2) 无穷范数：norm(A, inf) Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数），即A全部元素平方和的平方根：norm(A, 'fro') 17. 矩阵函数：通用方法是funm(A, @fun)，即计算矩阵A的fun函数。
数学实验矩阵的运算doc资料
数学实验矩阵的运算
数学实验报告 学院： 班级： 学号： 姓名： 完成日期：
实验四矩阵的运算 （一）投入产出分析 一．实验目的 1.理解投入产出分析中的基本概念和模型； 2.从数学和投入产出理论的角度，理解矩阵乘法、逆 矩阵等的含义。 二．问题描述 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、部需求、初始投入等如表1-1所示 表1-1国民经济三产部门之间的投入产出表 根据表回答下列问题： （1）如果农业、制造业、服务业外部需求为 50,150,100，问三个部门总产出分别为多少？ （2）如果三个部门的外部需求分别增加一个单位，问他们的总产出分别为多少? 三.实验过程
1．问题（1）的求解 （1）求直接消耗矩阵A 根据直接消耗的计算公式 a ij=x ij/x j 和各部门中间需求; x n a n 运行如下代码可得直接消耗系数表。 X=[15 20 30;30 10 45;20 60 0]; X_colsum=[100 200 150]; X_rep=repmat(X_colsum,3,1) A=X./ X_rep 运行结果为： A = 0.1500 0.1000 0.2000 0.3000 0.0500 0.3000 0.2000 0.3000 0 （2）求解 根据公式 X=(I-A)-1y 在运行如下代码 y=[50;150;100]; n=size(y,1);
W=eye(n)-A; X=W\y 运行结果为 X = 139.2801 267.6056 208.1377 即三个部门的总产出分别为139.2801,267.6056, 208.1377亿元。 2．问题2求解 设外部需求由y增加至y+Δy，则产出x的增量为Δx=(I-A)-1(y+Δy)- (I-A)-1y=(I-A)-1Δy 利用问题（1）求得的I-A矩阵，再运行如下的MATLAB代码可得问题的结果： dx=inv(W) 运行结果: dx = 1.3459 0.2504 0.3443 0.5634 1.2676 0.4930 0.4382 0.4304 1.2167 根据上述结果可知，当农业的外部需求增加1个单位时，农业、制造业、服务业的总产出分别增加
线性代数论文设计(矩阵在自己专业中地应用及举例)
矩阵在自己专业中的应用及举例
摘要： I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。 II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等容。 III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。 关键词： 矩阵可逆矩阵图形学图形变换 正文： 第一部分引言 在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的容，而这些容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重要地位，
与行列式、方程、向量、二次型等容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。 图形变换是计算机图形学领域的主要容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。 第二部分 研究问题及成果 1. 矩阵的概念 定义：由n m ?个数排列成的m 行n 列的矩阵数表 ????? ???????ann an an n a a a n a a a ΛM ΛM M K Λ212222111211 称为一个n m ?矩阵，其中an 表示位于数表中第i 行第j 列的数，i=1,2,3，…n ，又称为矩阵的元素。A,B 元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。 下面介绍几种常用的特殊矩阵。 （1）行距阵和列矩阵 仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如 A=(a11 a12 .... a1n), 也记为 a=(a11,a12,.....a1n). 仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如
矩阵的运算及其运算规则
矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则
简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．
已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．
矩阵的运算实例程序
设计一个矩阵相乘的程序 假设有 1 5 7 3 3 9 1 4 1 4 A= 3 6 3 9 B= 5 6 7 9 0 3 1 2 8 7 3 2 7 2 5 6 0 3 1 9 9 7 4 7 8 0 3 2 5 4 求出A*B的矩阵 程序构思： 我们所知的矩阵乘法运算的算式如下： C ij = A ik X B kj的k从1到n 的和，那么可以用一个3层循环来运算此算式： C(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1)+A(1,4)*B(4,1) =(1*3)+(5*5)+(7*3)+(3*9) =3+25+21+27 =76 同理 C(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2)+A(1,4)*B(2,2) =(1*9)+(5*6)+(7*2)+(3*7) =9+30+14+21 =74 依此类推，我们可以求得矩阵A与矩阵B的矩阵乘积。 void main(void) { int matrixa[5][4]={1,5,7,3, 3,6,3,9, 1,2,8,7, 0,3,1,9, 3,2,5,4}; int matrixb[4][6]={3,9,1,4,1,4, 5,6,7,9,0,3, 3,2,7,2,5,6, 9,7,4,7,8,0}; int matrixc[5][6]; int i,j,k; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<6;j++) { matrixc[i][j]=0; for(k=0;k<4;k++) matrixc[i][j]+=matrixa[i][k]*matrixb[k][j];
Matlab实验2-矩阵的基本运算
实验二、矩阵的基本运算 一、 问题 已知矩阵A 、B 、b 如下： ???????? ??????????-------------=0319481187638126542 86174116470561091143A ???????? ??????????------=503642237253619129113281510551201187851697236421B … []1187531=b 应用Matlab 软件进行矩阵输入及各种基本运算。 二、 实验目的： 熟悉Matlab 软件中的关于矩阵运算的各种命令 三、 预备知识 1、 、 2、 线性代数中的矩阵运算。 3、 本实验所用的Matlab 命令提示： （1）、矩阵输入格式：A =[a 11, a 12; a 21, a 22]；b =初始值：步长：终值； （2）、求A 的转置：A'； （3）、求A 加B ：A +B ； （4）、求A 减B ：A -B ； （5）、求数k 乘以A ：k*A ； （6）、求A 乘以B ：A*B ； （7）、求A 的行列式：det (A )； （8）、求A 的秩：rank (A )； … （9）、求A 的逆：inv (A )或(A )-1； （10）、B 右乘A 的逆：B/A ； （11）、B 左乘A 的逆：A \B ； （12）、求A 的特征值：eig (A )； （13）、求A 的特征向量矩阵X 及对角阵D ：[X ,D ]=eig (A )； （ （14）、求方阵A 的n 次幂：A ^n ；
（15）、A与B的对应元素相乘：A.*B； （16）、存储工作空间变量：save '文件名' '变量名'； （17）、列出工作空间的所有变量：whos； 四、《 五、实验内容与要求 1、输入矩阵A,B,b; >> A=[3,4,-1,1,-9,10;6,5,0,7,4,-16;1,-4,7,-1,6,-8;2,-4,5,-6,12,-8;-3,6,-7,8,-1,1;8,-4,9,1,3,0] B=[1 2 4 6 -3 2;7 9 16 -5 8 -7;8 11 20 1 5 5;10 15 28 13 -1 9;12 19 36 25 -7 23;2 4 6 -3 0 5] b=[1,3,5,7,8,11] | A = 3 4 -1 1 -9 10 6 5 0 7 4 -16 1 -4 7 -1 6 -8 2 -4 5 -6 12 -8 ^ -3 6 -7 8 -1 1 8 -4 9 1 3 0 B = 1 2 4 6 -3 2 7 9 16 -5 8 -7 ^ 8 11 20 1 5 5 10 15 28 13 -1 9 12 19 36 25 -7 23 2 4 6 - 3 0 5 b = ） 1 3 5 7 8 11 2、作X21=A'、X22=A+B、X23=A-B、X24=AB； >> X21=A' X22=A+B X23=A-B % X24=A*B X21 = 3 6 1 2 -3 8 4 5 -4 -4 6 -4 -1 0 7 5 -7 9 ; 1 7 -1 -6 8 1 -9 4 6 12 -1 3 10 -16 -8 -8 1 0 X22 = 4 6 3 7 -12 12 (
常见的matlab的运算函数
三角函数： （）里如果是角度必须是弧度，如果是矩阵的话则为对每个元素执行。cos(),tan()也是一样。 以2为底对数函数：log2（4）=2 以10为底对数函数：log10() 自然对数：log（） 绝对值函数：abs（-2）=2 平方根函数：sqrt（2）=1.41 符号函数：sign（正数）=1 sign(负数)=-1 sign(0)=0 天花板函数ceil（）向大的方向 地板函数floor（）向小的方向 fix()向0的方向 圆整函数round()对数进行4舍5入，负数的话也对对应的正数4舍5入
取模函数 mod（5，3）=2 rem（5，3）=2 区别rem（-5，3）=-2 mod（-5，3）=1 多项式相乘函数：
conv（）deconv（）是相除 取最大和最小函数： max() min() 图中b为行向量或者是列向量 如果（）里为矩阵，则输出每列的最大值（以行向量的形式）如果要求矩阵的最大值max（max（A）） mean（A）输出对应每列的平均值（以行向量的形式）
向量的求和和求积：
整个矩阵的总和sum（sum（A）），求积函数prod同理
多项式乘多项式展开的表达式： [1,1]表示x+1，1 2 1的意思是x^2+2*x+1 复数的函数 real（1+2i）=1(取实部) imag(1+2i)=2(取虚部) abs（1+2i）=2.23 angle（1+2i）=1.107 （在坐标系中对应的角度，即arctan 2=1.107 ）取共轭复数： （1+2i）’=1-2i conj（1+2i）=1-2i dot（a，b）向量的内积 det（a）求行列式的值
matlab中矩阵基本运算命令.docx
1.1矩阵的表示 1.2矩阵运算 1.2.14特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k)% 以向量 v 的元素作为矩阵 X 的第 k 条对角线元素，当 k=0 时， v 为 X 的主对角线；当 k>0 时，v 为上方第 k 条对角线；当 k<0 时， v 为下方第 k 条对角线。 X = diag(v)% 以 v 为主对角线元素，其余元素为 0 构成 X。 v = diag(X,k)%抽取 X 的第 k 条对角线元素构成向量 v。k=0：抽取主对角线元素； k>0 ：抽取上方第 k 条对角线元素；k<0 抽取下方第 k 条对角线元素。 v = diag(X)% 抽取主对角线元素构成向量 v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril% 取下三角部分 格式L = tril(X)%抽取 X 的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的下三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。 函数triu% 取上三角部分 格式U = triu(X)%抽取 X 的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的上三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape，”前者主要针对 2 个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对 于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape 函数变维 格式 B = reshape(A,m,n)%返回以矩阵 A 的元素构成的 m×n 矩阵 B B = reshape(A,m,n,p,)% 将矩阵 A 变维为 m×n×p× B = reshape(A,[m n p])%同上 B = reshape(A,siz)% 由 siz 决定变维的大小，元素个数与 A 中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n)% 将矩阵 A 复制 m×n 块，即 B 由 m×n 块 A 平铺而成。 B = repmat(A,[m n])%与上面一致 B = repmat(A,[m n p]) %B 由 m×n×p× 个 A 块平铺而成 repmat(A,m,n)%当 A 是一个数 a 时，该命令产生一个全由 a 组成的 m×n 矩阵。 1.3矩阵分解 1.3.1Cholesky 分解 函数chol 格式R = chol(X)% 如果 X 为 n 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足 R'*R = X ；若 X 非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X)% 不产生任何错误信息，若X 为正定阵，则p=0 ，R 与上相同；若X 非正定，则p 为正整数， R 是有序的上三角阵。 1.3.2 LU 分解
浅谈矩阵在实际生活中的应用
浅谈矩阵在实际生活中的应用 摘要：从数学的发展来看，它来源于生活实际，在科技日新月异的今天， 数学越来越多地被应用于我们的生活，可以说数学与生活实际息息相关。我们在学习数学知识的同时，不能忘记把数学知识应用于生活。在学习线性代数的过程中，我们发现代数在生活实践中有着不可或缺的位置。在本文中，我们对代数中的矩阵在成本计算、人口流动、加密解密、计算机图形变换等方面的应用进行了探究。 关键词：线性代数矩阵实际应用 Abstract:From the development of mathematics, we can see that it comes from our life. With the development of science and technology, the math is more and more being used in our lives, it can be said that mathematics and real life are closely related. While learning math knowledge we can not forget to apply mathematical knowledge to our life. In the process of learning linear algebra, we found that algebra has an indispensable position in life practice. In this article, we explore the application of the matrix in the costing, population mobility, encryption and decryption, computer graphics transform. Keywords: linear algebra matrix practical application