优化模型

数学建模论文题目

摘要

本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。

首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平度的定义以便来检验模型的公平性程度。其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，

进而求得所获席位数。同时我建立了Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。

关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt （汉丁顿）模型

（题目、摘要宋体3号居中，摘要二字中间空开一格、正文小四）

摘要的第一段，它主要反映了两方面的信息：研究意义及研究方法。首先简要叙述所给问题的意义和要求，然后讲述研究方法（如有多个小问，亦可分小问简述）。（例如：众所周知，SARS 对中国社会带来了重大的影响。我们以北京地区 4 月到 6 月有关 SARS 的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了 SARS 传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。）

（过程部分按照问题逐一讲述自己的解题思路、模型、求解算法及结果，这部分主要讲明怎么做。）

对于问题1，对。。。。分析，。。。。。（做的某些处理），用。。。。。。。。数学中的。。。。。。。。首先建立了。。。。。。。模型I。在对。。。。。。。。模型改进的基础上建立了。。。。。。。。。模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果为。。。。。。。。。，然后借助于。。。。。。。数学算法和。。。。。。软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充, 并从中随机抽取了 3 组数据（每组 8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，以独立成段，不建议使用表格、图形）

对于问题 2，。。。。。。

对于问题 3，。。。。。。

结尾部分主要说明自己对模型、结果的检验分析或者得出的结论，比如，稳定性和灵敏度分析、统计检验和误差分析的结论等。这部分写作一般不要超过 3 行，但又是必不可少的。例如：最后本文还对实现查询系统的具体方案给出了

建议，对各模型在实际中的应用价值进行了详细讨论，并提出了改进方案。（摘自 2007 年 B 题海军航空工程学院特等奖论文）

如果题目单问题，则最好要给出 2 种模型，分别给出模型的名称、思想、软件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较，优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。最好是第二个模型是第一个模型的改进或推广。

关键词：关键词1 关键词2

注：摘要中必须将具体方法、结果写出来，突出你的价值与创新点；摘要即是全文的中心思想，行文要流畅，语言要简洁精炼，但不能超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选或评阅。

本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，一般来说关键词在4—7 个较合适。

1 问题重述

数学与信息科学系共有三个专业（数学，计算机，电信），每个专业四个年级（各具体人数请自行调研）

在各个学期，学院（系）对表现优秀的学生进行考察，吸收为入党积极分子，现系学生党支部有50个名额，请你综合考察各方面因素，为50个入党积极分子名额合理安排到各班。如果学院决定为我系临时增加了3个名额，应安排到哪些班？

此外，对于我系评选三好学生，优秀学生干部，优秀团员等现有的评选方案是否满意。若不满意，请给出你认为合理的评选方案。

2 问题分析

名额分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在生活中应用的典型实例。其中目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理，名额分配的关键时提出衡量公平度的一个量。

2.1问题1的分析

针对问题一，给出了50个分配名额，以及参加分配班级的个数为16个，由于题目中告诉我们的信息少，以及学院以往的惯例，因此我们可以直接选人数这单一指标进行名额分配，为了衡量相对公平程度，需要进行公平度的定义，本文

考虑采用新Q值法，比Q值得大小来衡量名额分配的公平度。

2.2 问题2的分析

对于问题二，经典席位分配模型中只考虑了参加分配的各班级人数这唯一指标，而在解决实际的资源分配问题时，由于参加各班级情况的复杂性，往往使得做出分配决策的影响因素是多方面的。如果此时只考虑参加分配各班级的成员数这一个指标，可能会导致做出的分配决策在某种程度上不能很好的体现公平合理性。因此，本文提出一种综合考虑的数学模型，即多指标名额分配模型。

3 模型假设

1. 模型的公平定义是相同的

2. 模型所要求的公平是绝对的公平

3. 模型不考虑各班自身的要求

4. 分配到各班的名额均为整数

注意：模型假设假设是建模的前提，假设对整篇文章具有指导性，有时决定问题的难易。一定要注意假设的某种角度上的合理性，不能乱编，完全偏离事实或与题目要求相抵触。注意罗列要工整。一般来说4—8个较为合适。

例如：09 年全国数模 A 题西北工业大学全国一等奖论文

1.路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，轮胎与地面无滑动；

2.试验台工作时，主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量；

3.制动器试验台的质量很好，工作性能稳定；

4.制动器试验台的测量系统工作状况良好，所测得的数据可靠；

5.模拟制动试验在相对封闭的环境里进行，试验时不存在外界较大干扰；

6.不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差；

7.不考虑试验台由于产热及机械振动等因素导致的能量损失。

4 定义与符号说明

m

表示有m 个班级参加分配，记为}{m I ...3,2,1=

i a

表示第i 个班级的人数()m i ,...,2,1= a 学生总人数()m i ,...,2,1=

n

影响席位分配的因素}{n J ,...,2,1= ij t

表示第i 个班级对影响因素j 的指标值 其中()n j m i ,...,2,1，,...,2,1==

x 可供分配的席位

i x

第i 个班级分得的席位数()m i ,...,2,1= ij z

第i 个班级对应第j 个因素标准后的指标值

()n j m i ,...,2,1,,...,2,1==

j w 表示第j 个指标的重要程度

i p

表示第i 个班级的名额指标进行加权求和

5 模型的建立与求解

5.1 问题1——基于新Q 值法的席位分配研究 5.1.1平均公平度定义

为了衡量各方对席位分配的相对不公平程度，这时我们定义平均公平度Q 作为评价标准，其计算公式如下：

()

2

1

2

2

12

11m

q m

N p n p Q m

i i

m

i i i ∑∑==-=

???? ??-=

其中，i q 代表为第i 方相对总体公平程度。当i q 接近于1时，则第i 方的分配情况较为公平。

这里我们之所以采用平均公平度Q （新Q 值法）作为评价的指标，以及它跟经典 Q 值法有什么区别，原因在于：

（1）i q 为第i 方相对于总体的公平程度，当i q 接近1时，则第i 方的分配情况较为公平，但不可能同时为1，于是我们只能让各方的公平程度与1的距离最小，即

1-N

p n p i

i 是表示各方的相对公平的距离。

（2）经典Q 值法和新Q 值法都是使个体的的公平度提高，但新Q 值法考虑上相对于总体的平均公平度，使整体的公平度也达到最高，相对公平程度更高。

5.1.2基于新Q 值法的名额分配问题的求解

为了更好地理解新Q 值法，我们假设B A ,两方分别占有21,n n 席，利用相对总体的公平度i q 和平均公平程度Q 讨论。当席位增加一席时，应该分配给A 还是给B 。

假设分配给A ，则N p n p q )1(111+=

N

p n

p q 222=

4

)1（2

22

11-+=

q q Q

假设分配给B ，则N

p n p q 1

11=

N p n p q )1(222+=

4

)1()(2

2211-+=q q Q

此时，若21Q Q <，则分配给A 对双方较为公平 若21Q Q >，则分配给B 对双方较为公平 若21Q Q =

，则配给任何一方都可以。

5.1.2 模型一的求解

根据上面的算法例子，以及平均公平度Q 的定义，我们可利用Matlab 计算得到各班名额分配人数，如表1：

5.1 模型准备

1.对指标标准化

在多指标席位分配问题中，有的指标要越小越好，有的指标要求越大越好，还有的指标则要求稳定于某一确定值——理想值。另外，各指标之间还存在数量级和量纲不同的问题，为了统一各指标的趋势要求，消除各指标间的不可公度性，将各指标进行标准化处理。记第i 个单位对应第j 个因素标准化后的指标值为

ij z ),...,2,1,,...,2,1（n j m i ==

2.对各影响因素赋权

为了使由多个影响因素指标构成的席位分配问题能够客观反映分配的公平合理性，应该根据每个指标的相对重要程度分别对它们赋予不同的权重。这里采用CRITIC 法这一客观赋权法来确定各个指标的权重。因为CRITIC 法不仅考虑了指标变异大小对权重的影响，还考虑了各指标之间的冲突性。用j w 表示第j 个指标的重要程度，且满足1,,...,2,1,101==≤≤∑=n

j j j w n j w

3.计算各单位的综合指标值

对第i 个单位的各指标值进行加权求和，计算出该单位的综合指标值为

ij n

j

j i z w p ∑==1

并记总体的综合指标值为∑==

m

i

i p p 1

4.不公平度指标

为简单起见考虑A,B 两方分配席位的情况。设两方人数分别为21,p p ，占有席位分别为21,n n ，则比值

2

2

1

1

,n p n p 为两方每个席位所代表的人数。显然仅当

2211n p n p =时分配才是完全公平的，但是因为人数和席位都是整数，所以通

常 2211n p n p ≠，分配不公平，并且是对比值较大的一方不公平。

不妨设2211n p n p >，不公平程度可用数值2211n p p -衡量。如设 1，则 210122211=-=-n p n p ，它衡量不公平的绝对程度，常常无法区分不公平程度明显不同的情况。如当双方人数增至1000,102021==p p ，而21,n n 不变时，21001022211=-=-p n p ，即不公平的绝对程度不变，但常识告诉我们，后面这种不公平程度比起前面来已经大为改善了。

为了改进上述的绝对标准，自然想到了用相对标准。仍设 2211n p n p >，定义

()2

22

21121,n p n p n p n n r A -=

为A 的相对不公平度。若 1122n p p >，定义

()1

11

12221,n p n p n p n n r B -=

为对B 的相对不公平度。

建立了衡量分配不公平程度的指标B A r r ,后，制定席位分配的原则是使它们尽可能的小。

5.2.1模型一的建立

假设A,B 两方已分别占有席位21,n n ，利用相对不公平度B A r r ,讨论当总席位增加一席时，应该分配给A 还是B 。

不失一般性可设2211n p n p ≥，大于号成立时对A 不公平。若增加的一席分配给A ，1n 就变为11+n ，分配给B 就有12+n ，原不等式可能出现以下3种情况（只需讨论不等号的情况，一旦等号出现，按等式状况分配即可）：

1.2

2

111n p n p >

+，说明即使A 增加一席仍对A 不公平，这一席显然应分配给A 。

2.

2

2

111

n p n p <

+，说明A 增加一席将对B 不公平，参照（2）计算出对B 的相对不公平度为

()()11,12

11221-+=

+n p n p n n r B （3） 3.

1

22

1+>

n p n p ，说明B 增加一席将对A 不公平，参照（1）计算出对A 的相对不公平度为

()()111,1

22121-+=

+n p n p n n r A （4）

（不可能出现

1

22

11+<

n p n p ）。 在使相对不公平度尽量小的分配原则下，如果

()()1,,12121+<+n n r n n r A B （5）

则增加的一席分配发给A ，反之，则增加的一席应分配给B （等号成立时可

分给任一方）。根据（3）（4）两式，（5）式等价于

()()

11112

1222

2+<

+n n p n n p （6） 还不难证明，上述第一种情况

2

2

111

n p n p >

+也会导致（6）式。于是我们的结论是：当（6）式成立时增加的一席应分配给A ，反之应分配给B 。

这种方法可推广到有m 方分配席位的情况。设第i 方人数为i a ，已占有i x

个席位，m i , (2)

1=。因此综合考察各方面因素，如果学院决定为我系临时增加了3个名额，应安排到哪些班问题本文采用Q 值法，当总席位增加3席时，计算

()

12

+=

i i i i x x a Q ， m i ,...,2,1= （7） 增加的3席应分配给Q 值最大的一方。

。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。

（1） 说明问题1适用用此模型来解决，并将模型进行改进以适应问题1。 （2） 借助准备工作中的采样，（用拟合等方法）确定出模型中的参数。 （3） 给出问题1的数学模型I 表达式和图形表示式。 （4） 给出误差分析的理论估计。

5.3 问题二的解答

5.3.1模型二的建立

本文在经典席位分配模型的基础上综合考虑了多个影响因素，较全面地兼顾到参加分配各单位的实际情况，故根据最小绝对值偏差原则建立多指标席位分配问题的整数规划模型:

???????=-∑∑==m

i i m

i i i x x t s x p x p D 1

1

..||min 其中()m i x i ,...,2,1=为非负整数。

影响第 i 个单位分得席位个数所对应的综合指标值为

x

p i

，整个分配中总的席位个数所对应的总体综合指标值为

x

p

。显然，只有当这两个数值相等时，各单位得到席位个数的分配方案才是公平合理的。但是通常它们不会相等，这时分配就不是很公平。对于这种不公平的程度我们可以用数值||

x

p

x p i 来表示，它的数值越大说明该分配方案对于第i 个单位越不公平，因此我们希望对每个单位应

该都有数值 尽可能的小。

5.3.2 模型二的求解 补充内容

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

6 模型评价与推广

2.多指标席位分配模型不仅考虑了人数，还考虑了整体素质等多种因素，更能公平合理的分配，更适合于现实世界中的分配问题

比经典席位分配模型更为公平合理一些。另外，经典席位分配模型就是多指标席位分配模型的一种特殊情况。由于多指标席位分配模型是对经典席位分配模型的推广，因此它在解决资源分配问题时适用范围更为广泛。

对本文中的模型给出比较客观的评价，必须实事求是，有根据，以便评卷人参考。

推广和优化，需要挖空心思，想出合理的、甚至可以合理改变题目给出的条件的、不一定可行但是具有一定想象空间的准理想的方法、模型。（大胆、合理、心细。反复推敲。）

7 参考文献

[1] 姜启源.《数学模型》.出版地：高等教育出版社，出版年。

[2] 作者.论文名.杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[3] 作者.资源标题，网址，访问时间（年月日）。

[4] 李传鹏，中国标准书号，https://www.360docs.net/doc/1e892469.html,/ pid=46275，2010-9-10。

[5] 徐玖平、胡知能、李军，运筹学（II类），北京：科学出版社，2004。

[6] 李四.低频****算法[C].第七届全国声学大会论文集,上海,2008。

[7] Ishizuka Y, AiyoshiE. Double penalty method for bilevel optimization

problems. Annals of Operations Research, 24: 73- 88，1992。

注意：一般来说参考文献8篇以上！

8 附录

程序和大型图表放附录

附录一：。。。。的程序

。。。。。

附录二：。。。。。图

。。。。。。

附录三：。。。。。。表

。。。。。。

特别注意：

1、问题的结果要让评卷人好找到；显要位置---独立成段

2、摘要中要将方法、结果讲清楚；

3、不要目录；

4、建模的整个过程要清楚，自圆其说，有结果、有创新；

5、模型不能太复杂，若用多项式回归分析，次数以3次为好。

6、模型要与数据结合，用数据验证过；

7、如果数学方法选错，肯定失败；

8、规范、整洁；排版要美观。

9、必须有数学模型，同一问题的不同模型要比较；

10、数据必须有分析和筛选；