高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》知识点总复习附答案解析

高中数学《平面解析几何》期末考知识点

一、选择题

1．已知椭圆22

1259

x y +=上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个

焦点的距离等于（） A ．1 B ．3 C ．6 D ．10 【答案】C 【解析】

由椭圆方程可得225210a a =∴= ，由椭圆定义可得点M 到另一焦点的距离等于6.故选C ．

2．已知椭圆2

:12

y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，

则m 的取值范围是( )

A ．? ??

B ．? ??

C ．? ??

D ．? ??

【答案】C 【解析】【分析】

设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，根据椭圆C 上存在两点关于直线:l y x m =+对称，将A ，B 两点代入椭圆方程，两式作差可得

002y x =，点M 在椭圆C 内部，可得2221m m +<，解不等式即可.

【详解】

设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.

又因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211

12y x +=，2

2212

y x +=，

两式相减可得

1212

2y y y y x x x x -+?=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =.

因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得m ?∈ ??

. 故选：C 【点睛】

本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.

3．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形ABCD 的四个顶点，其中4AB =，

2BC CD AD ===，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（）

．

．【答案】B 【解析】【分析】

不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>，将条件转化为坐标，代入解出p ，即得结果. 【详解】

不妨设抛物线标准方程22(0)x py p =>

，可设(1,),(2,C m B m ，

则123242(pm p p m =??∴==?=+??

2，选

B. 【点睛】

本题考查抛物线方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基本题.

4．已知双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的

圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为

（） A

．2B

．2D

【答案】D 【解析】【分析】

设P 、Q 、M 、N

分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出

,22P c c ?? ? ???

，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】

设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，

由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为

，可得,22P c c ?? ? ???

，

将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得22

22122c c a b -=，即()22222

122c c a c a -=-，设该双曲线的离心率为()1e e >，则()

1221e e e -=-，整理得42420e e -+=，

解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题.

5．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．)+∞

D ．)+∞

【答案】C 【解析】【分析】

根据题意，双曲线与直线y x =±相交且有四个交点，由此得

>．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围．【详解】

解：不妨设该双曲线方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，

由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，所以直线y x =与双曲线有交点，所以其渐近线与x 轴的夹角大于45?，即1b

>．

离心率e =

所以该双曲线的离心率的取值范围是)+∞．故选：C ．【点睛】

本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

6．如图所示，已知双曲线C ：()22

2210,0x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上

一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=?，且3BF AF =，则双曲线

C 的离心率是( )

A ．

B ．

C ．

D ．7

【答案】C 【解析】【分析】

利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可．【详解】

解：双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于

原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=?，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，

60F BF ∠'=?，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-?g ，可得22221

4962

c a a a =+-?，

2247c a =，

所以双曲线的离心率为：7e =．故选：C ．

【点睛】

本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

7．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ,设A ,B 是抛物线上的两个动点, 23

AF BF +=, 则∠AFB 的最大值为（） A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 【答案】D 【解析】

设|AF |＝m ,|BF |＝n ,再利用基本不等式求解mn 的取值范围,再利用余弦定理求解即可. 【详解】

设|AF |＝m ,|BF |＝n ,

∵AF BF +=,

AB ≥∴213mn AB ≤,

在△AFB 中,由余弦定理得2

222()2cos 22m n AB

m n mn AB AFB mn

+-+--∠=

12213222

AB mn

mn mn mn mn --=≥=-

∴∠AFB 的最大值为

π. 故选：D 【点睛】

本题主要考查了抛物线的焦半径运用,同时也考查了解三角形与基本不等式的混合运用,属于中等题型.

8．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2

1225x y -+-=交于A ，

B 两点，则弦长AB 的取值范围是（）

A ．[]4,10

B ．[]3,5

C ．[]8,10

D ．[]6,10

【答案】D 【解析】【分析】

由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】

由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，

又由2010x y x y +=??++=?，解得1

2x y =??=-?

，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，

当CP l ⊥时弦长最短，此时2

2AB CP r ??+= ???

，解得min 6AB =，

再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =，所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.

【点睛】

本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

9．已知双曲线2

2x a

－22y b ＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，

且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )

A ．

B ．

C ．

D ．【答案】A 【解析】【分析】【详解】

解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2

x =-，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；

则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；

点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为1

y x =±，由双曲线的性质，可得b=1；

则c =

故选A ．

10．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ?是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】A 【解析】【分析】

设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】

如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .

①若23c x =，则254a x x x =-=，得232c

e a

=； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222c

e a

==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252c

e a

==. 故选：A 【点睛】

本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.

11．已知椭圆22

198x y +=的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别

相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（） A ．12 B ．642+

C ．8

D ．6

【答案】A 【解析】【分析】

画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 【详解】

画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，

根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .

【点睛】

本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.

12．如图，设椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在

第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】

如图，设AC 中点为M ，连接OM ，

则OM 为△ABC 的中位线，于是△OFM ∽△AFB ，且

OF OM 1FA

，即

c c a -=12可得e=c a =13

．故答案为

．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

13．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任

意一点，若圆()()2

001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）． A ．(]1,2 B ．(]1,4 C ．[)2,+∞ D ．[

)4,+∞ 【答案】B 【解析】【分析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆()()2

00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．【详解】

由题意，双曲线22

22x y C :1(a 0,b 0)a b

-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即

bx ay 0-=，

∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点，则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离

4a d c

， ∵圆()()2

00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴

41a c ≥，即4c

e a

=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]

1,4，故选：B ．【点睛】

本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14．如图，12,F F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲

线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）

A ．23y x =±

B ．2y x =±

C ．3y x =

D ．2y x =±

【答案】A 【解析】【分析】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b

y x a

=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】

设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，

由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以2212||46413F F =

+=13c ?=

因为2521a x a =-=?=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b

y x x a

=±=±. 【点睛】

本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.

15．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在

24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ?=u u u v u u u v

（）

A ．-16

B ．0

C ．16

D ．32

【答案】B 【解析】【分析】

先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r

，再利用平面向量的数量积求解.

【详解】

∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是2

4y x =与y x =-的交点.

由24y x y x

?=?=-?得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r

， ∴444(4)0OA OB ?=?+?-=u u u r u u u r

故选B 【点睛】

本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

16．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于

P ，B 两点（点P 在第一象限），过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点，

且满足AP BP

λμ=，则该

椭圆的离心率为（）

A ．

B ．

1213

C ．

35或1213

D ．

【答案】A 【解析】

分析：根据向量共线定理及29

λμ=，AP BP

v u u u v ，可推出λ，μ的值，再根据过点F 作

与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限），可推出P ，B 两点的坐

标，然后求出过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 的方程，即可求得A 点的坐标，从而可得

a ，

b ，

c 三者关系，进而可得椭圆的离心率.

详解：∵A 、P 、B 三点共线，(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v

∴1λμ+= 又∵2

λμ=

∴1323λμ?=????=??或2313λμ?=????=??

∵AP BP

∵过点F 作与x 轴垂直的直线l 交椭圆于P ，B 两点（点P 在第一象限）

∴2(,)b P c a

，2

(,)b B c a -

∵过椭圆的左顶点和上顶点的直线1l 与直线l 交于A 点 ∴直线1l 的方程为为1x y a b

+=- ∴()(,

)a c b

A c a

+ ∵2133

OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r

∴22

2()1()33b a c b b a a a

+=?+?-，即2b a c =+. ∴2

4()2a c a ac c -=++，即223520a c ac --=. ∴25230e e +-= ∵(0,1)e ∈

∴3

5e =

故选A.

点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c

e a

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．

17．已知椭圆2

221(1)x y a a

+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是椭圆在第一象限上的

一个动点，圆C 与1F A 的延长线，12F F 的延长线以及线段2AF 都相切，且()3,0M 为其中一个切点．则椭圆的离心率为（）

A B ．

C ．

D ．

【答案】B 【解析】【分析】

设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等和椭圆的定义，解方程得出3a =，求出c ，进而可得离心率. 【详解】

设圆C 与1F A 的延长线相切于点N ，与2AF 相切于点T ，由切线长相等，得

AN AT =，

11F N F M =，22F T F M =，1(,0)F c -，2(,0)F c ，

由椭圆的定义可得，122AF AF a +=，

()111223+22+F N F M c AF AN a AF AN a AN AT TF ==+==-+=+-

222(3)a F M a c =-=--，

则26a =，即3a =，

又1b =，所以2222c a b =-=，因此椭圆的离心率为22

c e a ==

. 故选：B.

【点睛】

本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的定义，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.

18．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支

上一点，若12

0PF PF ?=u u u v u u u u v ，且124cos 5

PF F ∠=，则C 的离心率为（） A ．257

B ．4

C ．5

D ．57

【答案】C 【解析】【分析】

在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．

【详解】

在12PF F △中，因为120

PF PF ?=u u u r u u u u r

，所以1290F PF ∠=o

， 1121248cos 255c PF F F PF F c =?∠=?

=，2121236sin 255

PF F F PF F c =?∠=?=，

则由双曲线的定义可得128622555

c c c a PF PF =-=-= 所以离心率5c

e a

==，故选C. 【点睛】

本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．

19．已知F 是抛物线24x y =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()0,1-，则PF PA

的最小值是（）

A ．

B ．

C ．

D 【答案】C 【解析】

由题意可得，抛物线2

4x y =的焦点(0,1)F ，准线方程为1y =-．

过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PF PM =，则

sin PF PM PAM PA

=∠，PAM ∠为锐角．

∴当PAM ∠最小时，PF PA 最小，则当PA 和抛物线相切时，PF

最小．

设切点)P a ，由21

4y x =的导数为1

y x '=，则PA 的斜率为12?==.

∴1a =，则(2,1)P .

∴2PM =，PA =

∴sin PM PAM PA

∠==

故选C ．

点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，这样可利用三角形相似，直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.

20．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则

ABC ?的重心坐标为（）

A ．14,19??

???

B ．14,09??

???

C ．14,027??

???

D ．14,127??

???

【答案】C 【解析】【分析】

设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解. 【详解】

设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则

121222

212124

344

AB y y y y k y y x x y y --=

===-+-，得124

y y +=

，同理234263y y +=

=，31422

y y +==--，三式相加得1230y y y ++=，故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，2

214y x ==，

33449

y x ==，

则

12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027??

???

，故选C. 【点睛】

本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.

高考数学选择题常考考点专练3

高考数学选择题常考考点专练3 21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（） A ．4 B ． 4 1 C ．－4 D ．－14 【标准答案】 A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43 443 PQ a a k d -===- 22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B 解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1 补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π. 23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（） A ．a 2 + a 15 B ． a 2·a 15 C ．a 2 + a 9 +a 16 D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】解析：∵ 17S = 2 ) (17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。 24 (理科)记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则 23lim n n n n n b a b a →∞-+等于（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在【标准答案】

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案

新高考数学《不等式》练习题一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可．【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值，由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-，故选：B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（）

A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==，由10a ≠可得 1 1322 a d a =--，当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立；当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范围是（） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】【分析】分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】

1.高考数学考点与题型全归纳——集合

第一章集合与简易逻辑第一节集合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．

3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]

高三数学模考易错题汇总

高三数学模考易错题汇总 1、已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-?? =-<

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全一考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结一、函数 1、若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

新数学《平面向量》试卷含答案一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】【分析】连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】

由已知可得：7 ，又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】【分析】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A

2020年艺考生高考数学知识点训练题库A部分

2020 年全国卷1 卷高考数学艺考生复习大纲基础点整理 A 部分（集训题目）课题:___ 数学___ 目标: ______________ 姓名: ______________

学校: ______________

① 集合，高考 5 分考点：交集，并集，补集，子集【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【终极小测摸底细】来源:Z#xx#https://www.360docs.net/doc/1f14159722.html,] 1. 【课本典型习题改编】当 ɑ-1=0 时，设集合 A x( x a)(x 3) 0,a R ， B x (x 4)(x 1) 0 ，求 A B ， A B ． 2. 【 2018 高考新课标 1 押题】设集合 A x x 2 4x 3 0 已知集合 xx 2 ，B xx a ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围为 4.【基础经典试题】设 U R,A xx 0,B xx -1，则 A (C U B) ( ) C 中的元素的非空子集个数为 ( ) 个。 ,B= x 2x 3 0 ,, 则 3. 【深圳高三质检卷改编】 A ． B ．R C xx 0 D ． 0 5.【改编自 2017 年江西模拟】若集合 A x3 x 0 ,B 1,2,3,4 ,C A B, ，则集合 A ) D ) 3 2

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结（最全集）引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。

高考数学易错题举例解析

咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ?忽视等价性变形，导致错误。 x>0 y>0x + y>0 xy>0 ，但 x>1 y>2 与 x + y>3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。 3 a b0① 错误解法由条件得b 32a 26② ②X 2 —① 6 a15③ ①X 2—②得8 b2④ 3 33 ③+④得10 3a b43 J 即 10 —f(3) 43 33333 错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时 b 受a和b制约的。当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。 f⑴ a b 正确解法由题意有 b 、解得： f(2)2a - 2 1 a §[2f(2)f (1)],b j[2f(1) f(2)], f (3) 3a b 16 f(2) 5 -f (1). 16 37 把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3) 3 99 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ?忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】 2 2 2

⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是 49 十亠亠 (A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在 4

高考数学知识点题型测试2

高考数学知识点题型测试2 【高考考情解读】高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题． 1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝??? ?? S 1， n ＝1， S n －S n －1， n ≥2. 2．等差数列和等比数列 S n ＝ n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －1 2 d (1)q ≠1，S n ＝ a 11－q n 1－q ＝ a 1－a n q 1－q (2)q ＝1，S n ＝na 1

考点一与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和． (1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值； (2)若a 1＝－46，记b n ＝ S n －a n n ，求b n 的最小值．解 (1)设{a n }的公差为d ，则由3a 5＝5a 8，得3(a 1＋4d )＝5(a 1＋7d )，∴d ＝－2 23a 1. ∴S n ＝na 1＋ n n －1 2 ×? ?? ??－223a 1＝－123a 1n 2 ＋2423a 1n ＝－123a 1(n －12)2 ＋14423 a 1. ∵a 1>0，∴当n ＝12时，S n 取得最大值． (2)由(1)及a 1＝－46，得d ＝－2 23×(－46)＝4， ∴a n ＝－46＋(n －1)×4＝4n －50， S n ＝－46n ＋n n －12 ×4＝2n 2 －48n . ∴b n ＝S n －a n n ＝2n 2－52n ＋50n ＝2n ＋50 n －52≥2 2n ×50 n －52＝－32，当且仅当2n ＝50 n ，即n ＝5时，等号成立．故b n 的最小值为－32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用． (2)等差数列的性质 ①若m ，n ，p ，q ∈N * ，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ?d ＝a m －a n m －n (m ，n ∈N * )； ④a n b n ＝ A 2n －1 B 2n －1 (A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的二次函数或一次函

高考数学知识点复习测试题8-

高考数学知识点复习测试题(附参考答案) 一元二次不等式及其解法 ★ 知识梳理 ★ 一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 解一元二次不等式的基本步骤：整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算ac b 42-=? （4）结合二次函数的图象特征写出解集。高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； ★ 重难点突破 ★ 1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。 2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式 3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式. (1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11 log 2 <-x ax 点拨:11 log 2<-x ax Θ ∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22102210，讨论：（1）当a =2时，得x <0 （2）当a >2时，--<<220a x / （3）当02< 22 或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0 当a >2时,解集为??????<<-- 022|x a x . 当02<022|x a x x 或12/ (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根