高考数列专题练习整理

1..等比数列}{n a 为递增数列，且,324=

a 9

2053=

+a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※

) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；

（2）122221-++++=n b b b b T n Λ，求使0>n T 成立的最小值n ． 2．已知数列{ n a }、{ n b }满足：112

1

,1,41n n n n n b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；

(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立 3．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2

,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-． （I ）若1k

=，求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ．

4．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．

（Ⅰ）求n a 及n S ；

（Ⅱ）令b n =

2

1

1

n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。 5，已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.n S

6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。 （2）设数列

{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。

7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

1

2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=

且

（1）求证：{1}n a -为等比数列；

（2）求数列{}n b 的前n 项和。

1等比数列}{n a 为递增数列，且,324

=

a 9

2053=

+a a ，数列2log 3n n a b =(n ∈N ※

) （1）求数列}{n b 的前n 项和n S ；

（2）122221-++++=n b b b b T n Λ，求使0>n T 成立的最小值n ．

解：（1）}{n a Θ是等比数列，∴???

????=

+=9203

2

412131q a q a q a ，两式相除得：10312

=+q q 313==q q

或者，}{n a Θ为增数列，3=∴q ，812

1=a -------4分 511

132381

2

---?=?==∴n n n n

q a a --------6分 52log 3

-==∴n a b n n ，数列}{n b 的前n 项和)9(2

12)54(2

n n n n S n -=-+-=---8分 （2）122221-+++=n b b b b T n Λ=)52

()52()52()51(1

2

-+-+-+--n Λ=052

121>---n n

即：152+>n n

-------12分

1452,145254+?>+?<Θ5min =∴n --------14分

（只要给出正确结果，不要求严格证明） 2．已知数列{ n a }、{ n b }满足：1121

,1,41n n n n n

b a a b b a +=+==-. (1)求1,234,,b b b b ; (2)求数列{ n b }的通项公式；

(3)设1223341...n n n S a a a a a a a a +=++++，求实数a 为何值时4n n aS b <恒成立 解：（1) 11(1)(1)(2)2n n n n n n n n

b b b a a b b b +=

==---＋

∵1

113,44a b == ∴234456

,,567

b b b === ……………4分

（2）∵11112n n b b +-=

-- ∴1211

1111

n n n n b b b b +-==-+--- ∴数列{

1

1

n b -}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分 ∴

14(1)31n n n b =---=--- ∴12

133

n n b n n +=-=++ ……………8分 (3)1

13

n n a b n =-=

+

∴12231111114556(3)(4)444(4)

n n n n S a a a a a a n n n n +=++???+=

++???=-=??++++ ∴22(1)(36)8

443(3)(4)

n n an n a n a n aS b n n n n +-+---=-=++++ ……………10分 由条件可知2(1)(36)80a n a n -+--<恒成立即可满足条件设2()(1)3(2)8f n a n a n =-+-- a ＝1时，()380f n n =--<恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立 a

a a a --

=--<--g ……………13分 f(n)在(,1]-∞为单调递减函数． ∴15

4

a <

∴a<1时4n aS b <恒成立 ……………15分 综上知：a ≤1时，4n aS b <恒成立

3．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2

,(,*)n n S ka n n k R n N =∈∈+-． （I ）若1k

=，求数列{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{21}n a n --为公比不为1的等比数列，且1>k ，求n S ．

解：（I ）当1k

=时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥

即2

2

(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥，所以当1n =时，112a S ==； 当2n ≥时，22

1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=

所以数列{}n a 的通项公式为)(2*

∈=N n n a n ．…………7分

（II ）当2n ≥时，112n n n n n a S S ka ka n --=-=-+，所以1(1)22n n k a ka n --=-+，

111a S ka ==. 1k >Θ，∴10a =，22

1a k

=

-，3246(1)k a k -=-

由题意得，2

2130(5)(3)(7)a a a -=-≠-，所以32

k

=

． 此时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---

因为121103,a -?-=-≠所以210n a n -≠-，从而{21}n a n --为公比为3的

等比数列,得213n

n a n --=-,231n

n a n =-+,12

33

222

n n S n n +=+-+ 4．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．

（Ⅰ）求n a 及n S ；

（Ⅱ）令b n =

21

1

n a -（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解析：（Ⅰ）设等差数列

{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

11

27

21026a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（

；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n 。………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

211n a -=2

1=2n+1)1-（114n(n+1)?=111

(-)4n n+1

?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?-L =11

(1-)=4

n+1?n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

。 5已知递增的等比数列{}n a 满足234328,2a a a a ++=+且是24,a a 的等差中项。 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若n n n S a b ,12log +=是数列{}n n a b 的前n 项和，求.n S

解：（1）设等比数列的公比为q ，有题意可得???+=+=++4

234324228a a a a a a 解答：83=a q=221

=q （舍去）

n n n a a 2233=?=-，∴等比数列{}n a 的通项公式为：n n a 2=

（2）∵1log 12+==+n a b n n ∴a n b n =（n+1）2n ，

用错位相减法得：

6．已知数列{}n a 中，14a =，12(1)n n a a n +=-+，（1）求证：数列{}2n a n -为等比数列。 （2）设数列

{}n a 的前n 项和为n S ，若22n n S a n ≥+，求正整数列n 的最小值。

解：因为 12(1)2(2)n n a n a n +-+=-

所以

12(1)

22n n a n a n

+-+=-

所以数列

{}2n a n -为等比数列。

（2） Q 122a -= 可知5n =时满足条件。

7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1

1

2,.n n n n n n a S a n b a a +-=+=

且 （1）求证：{1}n a -为等比数列；

（2）求数列{}n b 的前n 项和。

(1)解：由2n n S a n =+ 得：1121n n S a n ++=++ ∴111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=- ∴112(1)n n a a +-=-

4分

又因为1121S a =+，所以a 1 =－1，a 1－1 =－2≠0， ∴{1}n a -是以－2为首项， 2为公比的等比数列．

6分

(2)解：由(1)知，11222n n n a --=-?=-，即21n n a =-+

8分

∴11211

(12)(12)2121

n n n n n n b ++-==----- 10分

故223111111111[(

)()()]121212*********

n n n n T ++=--+-++-=--------L 1．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*

22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且点

*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上。

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）设2

2*sin cos ()22

n

n n n n c a b n N ππ=?-?∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ． 2．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 中，11

3a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足2

221

n n n S a S =-．

（1）求n S 的表达； （2）求数列{}n a 的通项公式；

（3）设3

3

(21)

(21)

n

b n n =-

+-，求证：当n N ∈且2n ≥时，n n a b <．

3．（本小题满分14分）

已知数列

{}n a 的首项135

a =

，1231+=+n n n a a a ，其中*

∈N n 。

（1）求证：数列11n a ??

-?

???

为等比数列； （2）记12111n n

S a a a =

++L ，若100n S <，求最大的正整数n ． 4．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*

N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列． （1）记数列*

1(N )n n b a n =+∈，求证：数列

{}n b 是等比数列；

（2）数列

{}n a 的前n 项和为n T ，求满足22

11

17227n n

T n T n ++<<++的所有n 的值．

5．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：)1(+-=n n n a S a S （a 为常数，0,1a a ≠≠） （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设n n n n a S a b ?+=2

，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，1

1

111--+=

+n n n a a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．

求证：2

12->n T n ． 6．（本小题满分14分）

正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．

（1）试求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝

1

a n ·a n +1

，{b n }的前n 项和为T n ，求证：1

2

n

T <

． 7．（本小题满分14分）

已知数列}{n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，且305=S ，又931,,a a a 成等比数列． （1）求n S ；

（2）若对任意t n >，*

N n ∈，都有25

122121212211>

+++++++++n n a S a S a S ΛΛ，

求t 的最小值． 8．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=L L ． （1）求证：数列{1}n a -是等比数列；

（2）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*

n N ∈，都有21

4

n b t t +

≤， 求实数t 的取值范围．

9．（本小题满分14分）

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ＋2，S n ＋1)在直线y ＝4x －5上，其中n ∈N *．

令b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1． （1）求数列{b n }的通项公式；

（2）若f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋b 3x 3＋…＋b n x n ，求f ′(1)的表达式，并比较f ′(1)与8n 2－4n 的大小．

10．（本小题满分14分）

数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，a n ＋2＝(1＋cos 2

n π2)a n ＋4sin 2

n π2

，n ＝1,2,3，….

(Ⅰ)求a 3，a 4，并求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ)设S k ＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1，T k ＝a 2＋a 4＋…＋a 2k ，W k ＝2S k

2＋T k

(k ∈N *)，求

使W k ＞1的所有k 的值，并说明理由．

11．（本小题满分14分）

在数列{}n a 中，11a =，*13(1)3()n n n a a n n N +=++?∈，

（1）设3n

n n

a b =

，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{

}n

a n

的前n 项和n S ． 12．（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，(p – 1)S n = p 2 – a n ，n ∈N *，p > 0且p ≠1，数列{b n }满足b n = 2log p a n ． （1）若p =

21

，设数列?

?????n n a b 的前n 项和为T n ，求证：0 < T n ≤4； （2）是否存在自然数M ，使得当n > M 时，a n > 1恒成立？若存在，求出相应的M ；若不存在，请

说明理由．

13．（本小题满分14分）

设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n ma m S -+=)1(对任意正整数n 都成立，其中m 为常数，且

1-

（1）求证：}{n a 是等比数列；

（2）设数列}{n a 的公比)(m f q =，数列}{n b 满足：

),2)((,3

1

111N n n b f b a b n n ∈≥==-，求数列}{1+?n n b b 的前n 项和n T ．

1．（本小题满分14分）

解：（1）当1=n ，21=a ；当2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a

∴ 12-=n n a a ， ∴n n a 2=……………………………………………（4分） 21+=+n n b b ，又11=b ，∴12-=n b n ……………..……………..……（8分）

（2）?

??--=)12(2n c n n 为偶数为奇数

n n ……………………..…..……………..……（10分）

n n n n n ---=-+++-+++=+-2121

2323

2

2)]14(73[222ΛΛ．………（14分）

2．（本小题满分14分）

解：（1）21111

211

22(2)21n n n n n n n n n n n S a S S S S S S n S S S ----=-=?-=?-=≥-

所以1n S ???

???

是等差数列.则121n

S n =+．…………………………………………5分 （2）当2n ≥时，12

112

212141

n n n a S S n n n --=-=

-=+--， 综上，()()2

1

13

2214n n a n n ?=??=??≥?-?．……………………………………..………9分

（3

）令a b =

=2n ≥

时，有0b a <<≤ （1） 法1：构造函数法：等价于求证

1

1

21

21

n n >-+.

当2n

≥

时，0<

≤

令()23,0f x x x x =-<≤

(

)233232(1)2(12(1022f x x x x x x x '=-=-≥-=>，

则

()

f x 在递增.

又0<<≤

所以g g <即n n a b <.………………………….……………14分

法2：放缩法

：223311()2121n n a b b a b a n n -=

--=---+-

22()()a b a b ab a b =-++-- （2）

()[(1)(1)]22

b a

a b a a b b =-+

-++-． （3）

因31111102222a b a b a +

-<+-<-<=-<，

所以(1)(1)022

b a

a a

b b +

-++-<． 由（1）（3）（4）知n n a b <．.………………………….……………….…………14分 法3：函数思想：令()22g

b a b ab a b =++--，则()12102

a

g b b a b -'=+-=?=

． 所以()()(){}{}

2

2

0,,32g b max g g a max a a a a ≤=--．

因0,3a <≤

则()2

10a

a a a -=-<，2214

323()3()0339

a a a a a -=-≤-

<． 所以()220g

b a b ab a b =++--<． （5）

由（1）（2）（5）知n n a b <．.……………………….……………….……………14分

3．（本小题满分14分）

解：（1）∵

112133n n

a a +=+，……………………………………………………………3分 ∴

1111133n n a a +-=-， ……………………………………………………5分 且∵

1110a -≠，∴1

10()*N n

n a -≠∈， ………………………………6分 ∴数列11n a ??

-?

???

为等比数列． …………………………………………………7分[来源:] （2）由（1）可求得

1121

1()33

n n a --=?，……………………………………………8分 ∴

11

2()13

n n a =?+．…………………………………………………………9分 111

133211313

n n

n n +-=+?=+--．…………………………11分 若100n S <，则1

11003

n n +-<，∴max 99n =．…………………………………14分

4．（本小题满分14分）

证明：（1）n a S n n -=2， )1(211+-=++n a S n n ． 12122111+=?--=?+++n n n n n a a a a a ，

11122

211

n n n n n n b a a b a a ++++===++． 又由11112 1 1S a a a ==-?=．

所以数列

{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．………………… 7分

解：（2）12n

n n b a =+=，21n

n a =-． 1

2

2n n T n +=--，

221

11172227

n

n n T n T n ++??<=< ?++??．

所以n 的值为3，4．…………………………………………………… 14分

5．（本小题满分14分）

解：（1）)1(111

+-=a S a S ．

∴1,=a a

当2n ≥时， )1(+-=n n n a S a S ．

)1(111+-=---n n n a S a S ．

两式相减得：1-?=n n a a a ，

1

n

n a a a -= (a ≠0，n ≥2)，即{}n a 是等比数列． ∴1

n n n a a a

a -=?=．………………5分

（2）由（1）知a ≠1．

n n n n a a a a a b 1)1()(2

--+=，1

)12(2---=a aa a a b n

n n ．

若{}n b 为等比数列，则有2

213,b b b =

而212a b = ，)12(3

2+=a a b ．

)12(243++=a a a b ． ………………7分

故=+2

3

)]12([a a )12(23

2

+?a a a ，

解得21

=a ． …………9分 再将21=a 代入得n

n b )21(=成立，

所以2

1

=a ． …………10分

（3）证明：由（2）知n

n b )21(=，

所以1)21(1

+=n n c 1

)21(11

--

+n 1212+-=n

1

21

1-++n … 12分 所以1

11

222

n n n c +>-

+ 211(2)22>-

+)21212(32+-+)2

1

212(1++-++n n Λ[来源:学网] 2

1

2212121->+-

=+n n n ………14分 6．（本小题满分14分）

解：（1）∵a n >0，12+=n n a S ，

∴2

112

)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，

则当n ≥2时，,22412

12

----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n

a a a a ，

而a n >0， ∴)2(21≥=--n a a n n ．

又11a =+，

11a ∴=，故21n a n =-． …………………7分

（2）1111

()(21)(21)22121

n

b n n n n =

=--+-+，

111(1)2212

n T n ∴=-<+． ……………………………..…14分

7．（本小题满分14分）

解：（1）设公差为d ，由条件得1

2111545302

(2)(8)

a d a d a a d ??+=???+=+?，得21==d a ． 所以n a n 2=，n n S n +=2

． …………7分

（2）∵

2

1

11)2)(1(12312212122+-

+=++=++=+++=++n n n n n n n n n a S n n ． ∴

2

1

21212211+++++++++n n a S a S a S ΛΛ

)2111()4131()3121(+-+++-+-=n n ΛΛ25

12

2121>

+-=n ． ∴

50

1

25122121=

-<+n ， 即：502>+n ，48>n ． ∴t 的最小值为48． …………14分

8．（本小题满分14分）

解：（1）由题可知：1231n n n a a a a a n a -+++++=-L ①

123111n n n a a a a a n a +++++++=+-L ②

②—①可得121n n a a +-=．

即：111(1)2

n n a a +-=-，又1112a -=-．

所以数列{1}n a -是以12

-为首项，以1

2为公比的等比数列．………..…..6分

（2）由（1）可得11()2

n n a =-， 2

2n n n b -=．

由111112212(2)302222

n n n n n n n n n n n

b b +++++-------=-==>，可得3n <．

由10n n b b +-<可得3n >．

所以 12345n b b b b b b <<=>>>>L L

故n b 有最大值341

8

b b ==

． 所以，对任意*n N ∈，有1

8n b ≤．

如果对任意*n N ∈，都有214

n b t t +≤，即21

4n b t t ≤-成立，

则2max 1()4

n b t t ≤-，故有：211

84t t ≤-．

解得

1

2

t≥或

1

4

t≤-．

所以，实数t的取值范围是

11

(,][

42

-∞-+∞

U，）．……………………14分

9．（本小题满分14分）

解：（1）∵S n＋1＝4(a n＋2)－5，∴S n＋1＝4a n＋3，

∴S n＝4a n－1＋3(n≥2)，∴a n＋1＝4a n－4a n－1(n≥2)，

∴a n＋1－2a n＝2(a n－2a n－1)(n≥2)，∴

b n

b n－1

＝

a n＋1－2a n

a n－2a n－1

＝2(n≥2)．

∴数列{b n}为等比数列，其公比为q＝2，首项b1＝a2－2a1，

而a1＋a2＝4a1＋3，且a1＝1，∴a2＝6，∴b1＝6－2＝4，∴b n＝4×2n－1＝2n＋1．………………………6分

（2）∵f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋b n x n，

∴f′(x)＝b1＋2b2x＋3b3x2＋…＋nb n x n－1，

∴f′(1)＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nb n，

∴f′(1)＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，①

∴2f′(1)＝23＋2·24＋3·25＋…＋n·2n＋2，②

①－②得－f′(1)＝22＋23＋24＋…＋2n＋1－n·2n＋2

＝4(1－2n)

1－2

－n·2n＋2＝－4(1－2n)－n·2n＋2，

∴f′(1)＝4＋(n－1)·2n＋2，

∴f′(1)－(8n2－4n)＝4(n－1)·2n－4(2n2－n－1)＝4(n－1)[2n－(2n＋1)]．

当n＝1时，f′(1)＝8n2－4n；

当n＝2时，f′(1)－(8n2－4n)＝4(4－5)＝－4<0，f′(1)<8n2－4n；

当n＝3时，f′(1)－(8n2－4n)>0，

结合指数函数y＝2x与一次函数y＝2x＋1的图象知，当x>3时，总有2x>2x＋1，

故当n ≥3时，总有f ′(1)>8n 2－4n . 综上：当n ＝1时，f ′(1)＝8n 2－4n ；

当n ＝2时，f ′(1)<8n 2－4n ；

当n ≥3时，f ′(1)>8n 2－4n ． ………………………14分

10 本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n 项和

的公式,同时考查数学归纳法与推理论证能力。满分14分。 解：(Ⅰ)因为a 1＝0，a 2＝2，

所以a 3＝(1＋cos 2π2)a 1＋4sin 2π

2＝a 1＋4＝4，

a 4＝(1＋cos 2π)a 2＋4sin 2π＝2a 2＝4． 一般地，当n ＝2k －1(k ∈N *)时

a 2k ＋1＝[1＋cos 2

?2k －1?π2]a 2k －1＋4sin 2

2k －12

π＝a 2k －1＋4，即a 2k ＋1－a 2k

－1

＝4．

所以数列{a 2k －1}是首项为0，公差为4的等差数列， 因此a 2k －1＝4(k －1)． 当n ＝2k (k ∈N *)时， a 2k ＋2＝(1＋cos 2

2k π2)a 2k ＋4sin 22k π

2

＝2a 2k . 所以数列{a 2k }是首项为2、公比为2的等比数列，因此a 2k ＝2k . 故数列{a n }的通项公式为

a n ＝???

2?n －1?，n ＝2k －1?k ∈N *

?，2n

2

，n ＝2k ?k ∈N *

?.…………………(7分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，S k ＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＝0＋4＋…＋4(k －1)＝2k (k －1)，

T k ＝a 2＋a 4＋…＋a 2k ＝2＋22＋…＋2k ＝2k ＋1－2，

W k ＝2S k

2＋T k ＝k ?k －1?2

k －1．

于是W 1＝0，W 2＝1，W 3＝32，W 4＝32，W 5＝54，W 6＝1516．

下面证明：当k ≥6时；W k ＜1． 事实上，当k ≥6时，

W k ＋1－W k ＝?k ＋1?k 2k －k ?k －1?2k －1＝k ?3－k ?

2k ＜0，即W k ＋1＜W k ．

又W 6＜1，所以当k ≥6时，W k ＜1．

故满足W k ＞1的所有k 的值为3、4、5．…………………(14分)

11．（本小题满分14分）

解：（1）*111111

3(1)3(),3333

n n n n n n n

n n a a n n a a n n N b b ++++++=++?∈?

=+=+即， 所以112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L ， 又111

33

a b ==， 故(1)21(1)

36

n n n n n b +-++++=

=L ．

（2）由（1）得1

(1)332

n n

n n n n a b -+?==，

所以1

3(1)32

n n n n a b n n n -+?==

． ①－②得：0231

231(1)333(1)32 +(3333)122242

n n n n n n n S -?+?-+?-=++++-=+-

L ． 所以(21)31

8

n n n S +?-=．

12．（本小题满分14分）

（1）解：由(p – 1)S n = p 2 – a n (n ∈N *)． ① 由(p – 1)S n – 1 = p 2 –1n a -．

②

① – ②得

p

a a n n 1

1=-(n ≥2) ．

∵a n > 0 (n ∈N *)．

又(p – 1)S 1 = p 2 – a 1，∴a 1 = p ．

{a n }是以p 为首项，

p

1

为公比的等比数列． a n = p n n p p --=?

??

? ??21

1．

b n = 2log p a n = 2log p p 2 – n ．

∴b n = 4 – 2n ． ………… 4分 证明：由条件p =2

1

得a n = 2n – 2．

∴T n =

2

32012242624222022---+

+-+-+-++n n

Λ． ① 143202

24262422202221--++-+-+-++=n n n

T Λ ．

②

① – ②得：

= 4 – 2 ×1222

242121211----??? ??

++++

n n n Λ = 4 – 2 ×11

2242

112

11-----?

?? ??-n n n ．

∴T n =02

2431>=--n n n

n ． ………… 8分

T n – T n – 1 =

343

2

2212----=--

n n n n

n n ． 当n > 2时，T n – T n – 1< 0． 所以，当n > 2时，0 < T n ≤T 3 = 3．

又T 1 = T 2 = 4，∴0 < T n ≤4． …………10分

（2）解：若要使a n > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论． 当p > 1时，2 – n > 0，n < 2． 当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2． ∴当0 < p < 1时，存在M = 2．

当n > M 时，a n > 1恒成立． ………… 14分

13．（本小题满分14分）

解：（1）由已知n n ma m S -+=)1(，11)1(++-+=n n ma m S ，相减，得：

11++-=n n n ma ma a ，即

1

1+=+m m

a a n n ，所以}{n a 是等比数列．……..5分

（2）当n ＝1时，,111ma m a -+=则11=a ，从而3

11

=

b ． 由（1）知1

)(+=

=m m

m f q

，所以1)(111+==---n n n n b b b f b （2≥n ）．

,1111-+=∴

n n b b 2)1(31

+=-+=∴n n b n

． )1(2

1

≥+=

∴n n b n ．

3

1

21)3)(2(11+-+=++=

?∴+n n n n b b n n ．

9

33131+=

+-=

n n

n ． ……..14分