高中数学选修2-2各章节配套课时作业及答案详解

课时作业(一)

一、选择题

1．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为( )

A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2

C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2

答案 C

2．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )

A．8＋2Δt B．4＋2Δt

C．7＋2Δt D．－8＋2Δt

答案 A

3．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx

C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)

答案 D

4．已知函数f(x)＝2x2－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy Δx

等

于( )

A．4 B．4x

C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案 C

解析Δy＝f(1＋Δx)－f(1)

＝[2(1＋Δx)2－4]－(2·12－4)

＝[2(Δx)2＋4Δx－2]－(－2)

＝2(Δx)2＋4Δx.

∴Δy

Δx

＝

Δx2＋4Δx

Δx

＝2Δx＋4.

5．某质点沿直线运动的方程为y＝－2t2＋1，则该质点从t＝1到t＝2时的平均速度为( )

A．－4 B．－8

C．6 D．－6

答案 D

解析 v ＝

y 2－y 1

t 2－t 1

＝－6.

6．已知函数f (x )＝－x 2

＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( ) A ．3 B ．0.29 C ．2.09 D ．2.9

答案 D

7．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3

、④y ＝1x

中，平

均变化率最大的是( )

A ．④

B ．③

C ．②

D ．①

答案 B

8．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P (1，1

4)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q

的坐标为( )

A ．(1＋Δx ，14(Δx )2)

B ．(Δx ，14(Δx )2

)

C ．(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)

D ．(Δx ，14(1＋Δx )2

)

答案 C 二、填空题

9．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加量ΔS 等于________． 答案 8πR ΔR ＋4π(ΔR )2

10．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2

，则在时间段[1,1＋Δt ]上相应的平均速度v 与Δt 满足的关系式为________．

答案 v ＝－2Δt －4

解析 Δs ＝[4－2(1＋Δt )2

]－(4－2·12

) ＝4－2－4Δt －2(Δt )2

－4＋2 ＝－4Δt －2(Δt )2

， v ＝Δs Δt ＝

－4Δt －Δt

2

Δt

＝－4－2Δt .

11．某物体按照s (t )＝3t 2

＋2t ＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s 时，物体的平均速度为________．

答案 15

解析 v (t )＝

s t t ＝3t ＋2＋4

t

， ∴v (4)＝3×4＋2＋4

4

＝15.

12．已知函数f (x )＝1

x

，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为________．

答案 －1

1＋Δx

解析

Δy Δx

＝f ＋Δx －f

Δx

＝1

1＋Δx －1Δx ＝－11＋Δx

.

13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2

，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．

答案 2π＋πΔr 三、解答题

14.

甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？

解析 由图像可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则s 1t 0－s 1

t 0

<

s 2t 0－s 2

t 0

，

所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．

15.

婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．

解析第一年婴儿体重平均变化率为

11.25－3.75

12－0

＝0.625(千克/月)；

第二年婴儿体重平均变化率为

14.25－11.25

24－12

＝0.25(千克/月)．

16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．

(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．

答案(1)f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－2.

(2)f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为－2.

?重点班·选做题

17．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，

其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.

答案(1)215 m/s (2)210.5 m/s (3)210.05 m/s

课时作业(二)

一、选择题

1．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则

lim Δx→0f x0－Δx－f x0

Δx

＝( )

A．11 B．－11

C.1

11

D．－

1

11

答案 B

2．函数f(x)在x＝0可导，则lim

h→a f h－f a

h－a

＝( )

A．f(a) B．f′(a) C．f′(h) D．f(h) 答案 B

3．已知函数y＝x2＋1的图像上一点(1,2)及邻近点(1＋Δx,2＋Δy)，则lim

Δx→0Δy Δx

＝

( )

A．2 B．2x

C．2＋Δx D．2＋Δx2答案 A

4．设f(x)为可导函数，且满足lim

x→0f－f－2x

2x

＝－1，则f′(1)的值为( )

A．2 B．－1

C．1 D．－2

答案 B

二、填空题

5．一个物体的运动方程为S＝1－t＋t2，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是________．

答案5米/秒

6．函数y＝(3x－1)2在x＝x0处的导数为0，则x0＝________.

答案1 3

解析Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(3x0＋3Δx－1)2－(3x0－1)2＝18x0Δx＋9(Δx)2－6Δx，

∴Δy

Δx

＝18x0＋9Δx－6.

∴li m

Δx→0Δy

Δx

＝18x0－6＝0，∴x0＝

1

3

.

7．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________. 答案 2

解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )＋4－a －4＝a Δx . ∴f ′(1)＝li m Δx →0

Δy

Δx

＝li m Δx →0

a ＝a .

又f ′(1)＝2，∴a ＝2.

8．质点M 按规律s ＝2t 2

＋3做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，则质点M 的瞬时速度等于8 m/s 时的时刻t 的值为________．

答案 2

解析 设时刻t 的值为t 0，则

Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝2(t 0＋Δt )2

＋3－2t 2

0－3 ＝4t 0·Δt ＋2·(Δt )2

，

Δs Δt ＝4t 0＋2Δt ，lim Δt →0

Δs

Δt

＝4t 0＝8，∴t 0＝2(s)． 9．已知f (x )＝1x

，则lim Δx →0

f ＋Δx －f

Δx

的值是________．

答案 －1

4

10.

如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则

f (f (0))＝________；

lim Δx →0

f

＋Δx －f

Δx

＝______.

答案 2；－2 三、解答题

11．设f (x )＝x 2

，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)． 答案 f ′(x 0)＝2x 0，f ′(－1)＝－2，f ′(2)＝4

12．某物体运动规律是S ＝t 2

－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0? 答案 t ＝2

解析 ΔS ＝(t ＋Δt )2

－4(t ＋Δt )＋5－(t 2

－4t ＋5) ＝2t Δt ＋(Δt )2

－4Δt ，

v ＝li m Δt →0

ΔS

Δt

＝2t －4＝0，∴t ＝2. 13．若f ′(x 0)＝2，求li m k →0

f x 0－k －f x 0

2k

的值．

解析 令－k ＝Δx ，∵k →0，∴Δx →0.

则原式可变形为li m Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0

－2Δx

＝－12

li m Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0

Δx

＝－12f ′(x 0)＝－1

2×2＝－1.

?重点班·选做题

14．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)

s ＝?

??

??

3t 2

＋2 t ， ①

29＋t －2 t ②

求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为

Δs ＝3×52

＋2－(3×32

＋2)＝3×(52

－32

)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝48

2

＝24(m/s)．

(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为

Δs Δt ＝f ＋Δt －f

Δt

＝29＋

＋Δt －3]2

－29－

－

2

Δt

＝3Δt －18，

∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0

Δs

Δt

＝lim Δt →0

(3Δt －18)＝－18，即物体的初速度

为－18 m/s.

(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f ＋Δt －f

Δt

＝29＋

＋Δt －3]2

－29－

－

2

Δt

＝3Δt －12，

∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为 lim Δt →0

Δs

Δt

＝lim Δt →0

(3Δt －12)＝－12.

即物体在t ＝1时的速度为－12 m/s.

课时作业(三)

一、选择题

1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交

答案 B 2.

已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )

3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0

B ．f ′(x 0)<0

C ．f ′(x 0)>0

D ．f ′(x 0)不能确定

答案 B

4．设曲线y ＝ax 2

在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12

D ．－1

答案 A

5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)>0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 答案 B

6．下列说法正确的是( )

A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点

B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点

C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线

D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在 答案 D

7．在曲线y ＝x 2

上切线的倾斜角为π4的点是( )

A ．(0,0)

B ．(2,4)

C ．(14，1

16)

D ．(12，14)

答案 D

8．设f (x )＝2x

，则lim x →a

f

x －f a

a －x

等于( )

A ．－2a

B.2a

C ．－2a

2 D.2

a

2

答案 D

解析 lim x →a

2

x －2a a －x ＝lim x →a

2ax ＝2

a

.

9．若f (x )＝x 3

＋x －1，f ′(x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．1

B ．－1

C ．±1

D ．±3 3

答案 C

解析 f ′(x 0)＝lim Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0

Δx

＝lim Δx →0

x 0＋Δx

3

＋x 0＋Δx －1－x 3

0＋x 0－1

Δx

＝lim Δx →0

[3x 2

0＋1＋3x 0·Δx ＋(Δx )2

]

＝3x 2

0＋1＝4.解得x 0＝±1.

10．已知曲线y ＝2x 3

上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2

B ．4

C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2

D ．6

答案 D 二、填空题

11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1

2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)

＝________.

答案 3

解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝5

2，∴f (1)＋f ′(1)＝3.

三、解答题

12．求曲线y ＝2x －x 3

在点(－1，－1)处的切线的方程及此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．

答案 x ＋y ＋2＝0；2

13．若曲线y ＝2x 3

上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0

x 0＋Δx 3－2x 30Δx

＝6x 2

0，

∴6x 2

0＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求．

14．已知曲线C ：y ＝x 3

，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程． 解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．

∵y ′＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

x ＋Δx 3

－x

3

Δx

＝lim Δx →0

3x 2Δx ＋3x Δx 2

＋Δx

3

Δx

＝lim Δx →0

[3x 2

＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2

，

∴y ′|x ＝1＝3.

∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0. ?重点班·选做题

15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2

＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2

－1相切，求点P 的坐标．

解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.

f ′(x 0)＝lim Δx →0

x 0＋Δx

2

＋1－x 2

0＋Δx

＝2x 0.

所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x ＋1－x 2

0.

而此直线与曲线y ＝－2x 2

－1相切，

所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 2

0，

y ＝－2x 2－1，得

2x 2＋2x 0x ＋2－x 2

0＝0. 即Δ＝4x 2

0－8(2－x 2

0)＝0. 解得x 0＝±233，y 0＝7

3

.

所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，7

3

)．

课时作业(四)

一、选择题

1．下列结论中不正确的是( ) A ．若y ＝x 4

，则y ′|x ＝2＝32 B ．若y ＝1

x

，则y ′|x ＝2＝－

2

2

C ．若y ＝

1

x 2

x

，则y ′|x ＝1＝－5

2

D ．若y ＝cos x ，则y ′|x ＝π

2

＝－1 答案 B 解析 ∵y ＝

1

x ＝x －12，∴y ′＝－12·x －32＝－12x x

.

∴y ′|x ＝2＝－142

＝－2

8.

2．若曲线y ＝x 4

的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0

答案 A

解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3

，

∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．

∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.故选A.

3．已知曲线y ＝x 2

4－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为( )

A ．3

B ．2

C ．1 D.12

答案 A

解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝1

2.

得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.

4．在下列函数中，值域不是[－2，2]的函数共有( ) ①y ＝(sin x )′＋(cos x )′ ②y ＝(sin x )′＋cos x ③y ＝sin x ＋(cos x )′ ④y ＝(sin x )′·(cos x )′ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 C

解析 ②、③、④不是．

5．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s ＝5

t ，则质点在t ＝4时的速度是( )

A.

1

2523 B.

1

10523

C.

125523

D.

1

110

523

答案 B

6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2

(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为

0的时刻是( )

A ．0秒、2秒或4秒

B ．0秒、2秒或16秒

C ．2秒、8秒或16秒

D ．0秒、4秒或8秒

答案 D 二、填空题

7．下列结论中正确的是________． ①y ＝ln2，则y ′＝1

2

②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227

③y ＝2x ，则y ′＝2x

ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2

答案 ②③④

8．设f (x )＝x 3

－3x 2

－9x ＋1，则不等式f ′(x )<0的解集为________． 答案 (－1,3)

9．设直线y ＝1

2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．

答案 ln2－1

10．过原点作曲线y ＝e x

的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 答案 (1，e)，e

11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2

上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2

的切线方程是________．

答案 4x －4y －1＝0 解析 k ＝

4－12－－

＝1，又y ′＝2x ，

令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝1

4

，

∴切线方程为y －14＝1·(x －1

2)，

即4x －4y －1＝0.

12．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，解不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为________． 答案 {x |x ＝2k π＋π

2，k ∈Z }

解析 f ′(x )＝－sin x, g ′(x )＝1，

∴不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0，即－sin x ＋1≤0. ∴sin x ≥1，又sin x ≤1，∴sin x ＝1. ∴x ＝2k π＋π

2，k ∈Z .

三、解答题

13．如果曲线y ＝x 2

＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．

答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，1

2)处的切线方程．

解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝3

2.

∴切线方程为y －12＝32(x －π

6)．

化简得63x －12y ＋6－3π＝0.

15．(1)求过曲线y ＝e x

上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程； (2)曲线y ＝15x 5

上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．

解析 (1)∵y ′＝e x

，

∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1

e .

∴所求直线方程为y －e ＝－1

e (x －1)，

即x ＋e y －e 2

－1＝0.

(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4

，令x 4

＝1，∴x ＝±1.

∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.

?重点班·选做题

16．下列命题中正确的是________． ①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x 答案 ③

解析 当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ， 当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.

17．已知曲线方程为y ＝x 2

，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．

解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2

相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .

由?

????

y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2

，

得x 2

－kx ＋3k －5＝0. Δ＝k 2

－4(3k －5)＝0， 整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为

2x －y －1＝0,10x －y －25＝0. 解法二 设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 2，得y ′＝2x . ∴y ′|x ＝x 0＝2x 0.

由已知kPA ＝2x 0，即5－y 03－x 0

＝2x 0.

又y 0＝2x 0，代入上式整理，得x 0＝1或x 0＝5. ∴切点坐标为(1,1)，(5,25)．

∴所求直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.

课时作业(五)

一、选择题

1．函数y ＝2sin x cos x 的导数为( ) A ．y ′＝cos x B ．y ′＝2cos2x C ．y ′＝2(sin 2

x －cos 2

x )

D ．y ′＝－sin2x

答案 B

解析 y ′＝(2sin x cos x )′ ＝2(sin x )′·cos x ＋2sin x (cos x )′ ＝2cos 2

x －2sin 2

x ＝2cos2x . 2．函数f (x )＝1

x 3＋2x ＋1

的导数是( )

A.1x 3

＋2x ＋12

B.3x 2

＋2x 3

＋2x ＋12

C.

－3x 2－2x 3＋2x ＋1

2

D.

－3x 2

x 3

＋2x ＋1

2

答案 C 解析 f ′(x )＝

－

x 3＋2x ＋1′x 3＋2x ＋12＝－3x 2

－2

x 3

＋2x ＋1

2

.

3．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( ) A ．ab B ．－a (a －b ) C ．0 D ．a －b

答案 D

解析 y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )·(x －b )′， ∴y ′＝2x －(a ＋b )，y ′|x ＝a ＝2a －a －b ＝a －b . 4．函数y ＝x ·ln x 的导数是( ) A ．x B.1x

C ．ln x ＋1

D ．ln x ＋x

答案 C

解析 y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋x ·1

x

＝ln x ＋1.

5．函数y ＝cos x

x

的导数是( )

A ．－sin x x

2

B ．－sin x

C ．－

x sin x ＋cos x

x 2

D ．－

x cos x ＋cos x

x 2

答案 C

解析 y ′＝(cos x

x

)′＝

x

x －cos x

x

x 2

＝

－x sin x －cos x

x

2

.

6．曲线y ＝

x

x －2

在点(1，－1)处的切线方程为( )

A ．y ＝x －2

B ．y ＝－3x ＋2

C ．y ＝2x －3

D ．y ＝－2x ＋1

答案 D

7．已知f (x )＝ax 3＋3x 2

＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133

D.103

答案 D

解析 f ′(x )＝3ax 2

＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，a ＝103

.

8．设点P 是曲线y ＝x 3

－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的

取值范围是( )

A.??????23π，π

B.?

??

?

?π2，56π

C.??????0，π2∪? ??

??56π，π

D.??????0，π2∪????

??23π，π

答案 D

解析 由y ′＝3x 2

－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或2

3π≤α<π.

9．函数y ＝x

cos x 的导数是( )

A.1＋x

cos x B.cos x －x sin x

cos 2

x C.cos x ＋x

cos 2

x

D.

cos x ＋x sin x

cos 2

x

答案 D 解析 y ′＝

x ′cos x －x

x

cos 2

x

＝

cos x ＋x sin x

cos 2

x

. 10．已知f (x )＝x 2

＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2

答案 B

解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，

令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.

11．已知f (1x )＝x

1＋x ，则f ′(x )＝( )

A.1

1＋x B ．－1

1＋x

C.1＋x

2

D ．－

1＋x

2

答案 D

解析 ∵f (1x )＝x 1＋x ＝11x

＋1

， ∴f (x )＝1

x ＋1

.

∴f ′(x )＝－

1＋x

2

.

12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2

，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )

A ．4

B ．－14

C ．2

D ．－12

答案 A

解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A. 二、填空题

13．曲线y ＝x 3

＋3x 2

＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________． 答案 3x －y －11＝0

解析 y ′＝3x 2

＋6x ＋6＝3(x ＋1)2

＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.

14．设f (x )＝ax 2

－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.

答案 0 －1

解析 f ′(x )＝2ax －b cos x ， ∴f ′(0)＝－b ＝1.

f ′(π3)＝2a ·π3－b ·cos π3＝12

，

得a ＝0，b ＝－1.

三、解答题

15．求下列函数的导数． (1)f (x )＝(x 3

＋1)(2x 2

＋8x －5)； (2)f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x

1＋x ；

(3)f (x )＝ln x ＋2

x

x

2

. 解析 (1)∵f ′(x )＝[2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2

＋8x －5]′， ∴f ′(x )＝10x 4

＋32x 3

－15x 2

＋4x ＋8. (2)∵f (x )＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝

＋x 2

1－x

＋

－x 2

1－x

＝

2＋2x 1－x ＝4

1－x

－2， ∴f ′(x )＝(41－x

－2)′＝

－

－x －x

2

＝

4－x

2

.

(3)f ′(x )＝(ln x x 2＋2x

x 2)′＝(ln x x 2)′＋(2

x

x

2)′

＝1

x ·x 2

－ln x ·2x x

4

＋2x x 2－2x x 4

＝－2ln x x ＋

x 2－2x

x

x 4

＝

1－2ln x ＋

x －x

x 3

.

16．已知函数f (x )＝2x 3

＋ax 与g (x )＝bx 2

＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．

解析 ∵f (x )＝2x 3

＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3

－8x .∴f ′(x )＝6x 2

－8. 对于g (x )＝bx 2

＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2

－16. 综上可知，f (x )＝2x 3

－8x ，g (x )＝4x 2

－16.

17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3

－3x 2

＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 2

0－6x 0＋2＝k . 若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0

x 0

.

∴3x 2

0－6x 0＋2＝y 0x 0

，

即3x 2

－6x 0＋2＝x 30－3x 2

0＋2x 0

x 0.解之，得x 0＝32

.

∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－1

4.

综上，k ＝2或k ＝－1

4.

?重点班·选做题

18．已知曲线S ：y ＝3x －x 3

及点P (2,2)，则过点P 可向S 引切线，其切线条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

答案 D

解析 显然P 不在S 上，设切点为(x 0，y 0)， 由y ′＝3－3x 2

，得y ′|x ＝x 0＝3－3x 2

0. 切线方程为y －(3x 0－x 3

0)＝(3－3x 2

0)(x －x 0)． ∵P (2,2)在切线上，

∴2－(3x 0－x 3

0)＝(3－3x 20)(2－x 0)， 即x 3

0－3x 2

0＋2＝0. ∴(x 0－1)(x 2

0－2x 0－2)＝0. 由x 0－1＝0，得x 0＝1.

由x 2

0－2x 0－2＝0，得x 0＝1± 3.

∵有三个切点，∴由P 向S 作切线可以作3条．

19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________． 答案

16

27

2 解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3

＋x 2

＋2x ，

y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得 x 1＝1或x 2＝－13

.

∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－14

27)．

切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －5

27＝0.

∴d ＝|1＋527|

2

＝162

27.