广东省揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试理数试题
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揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试
数学(理科)
本试卷共4页,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.
4.考试结束,将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
(1)已知集合{|3}A x x =<,
{|B y y ==
,则A B =I
(A )(,3)-∞ (B )(3,)+∞ (C
) (D
)(-∞
(2)已知复数()2
3z i =+,则z =
(A )4 (B )6 (C )8 (D )10 (3)已知向量(),1a x =,()1,2b =-,若a b ⊥,则a b +=
(A )(2,0) (B )(3,1)- (C )(3,1) (D )(1,3)-
(4)一个圆柱形水桶,底面圆半径与高都为2(桶底和桶壁厚度不计),装满水后,发现桶中有一
个随处悬浮的颗粒,用一个半径为1的半球形水瓢(瓢壁厚度不计)从水桶中舀满水,则该颗粒被捞出的概率为 (A )
112 (B )16 (C )14 (D )1
3
(5)已知()sin cos f x x x =-,实数α满足()()3f f
αα'= ,则tan 2α=
(A )43-
(B )34- (C )34 (D )43
(6)与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似,有这样一个问题:“四百四十一里关,初步
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正视图
图1
健步不为难,次日脚痛减一半,六朝得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走441里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为
(A )3.5里 (B )7里 (C )14里 (D )28里 (7)函数||ln x x y =的部分图象大致为
(8)已知两条直线1:20l x +=与2:60l x -=被圆C 截得的线段长均为2,则圆C
的面积为
(A )5π (B )4π (C )3π (D )2π (9)某几何体三视图如图1示,则此几何体的表面积为
(A )164+π
(B )16)22(2++π
(C )84+π
(D )8)22(2++π
(10)已知F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点,P 是C 上一点,线段1PF
的垂直平分线经过点F 2,且6
21π
=∠F PF ,则此双曲线C 的
离心率为
(A )13+ (B )213+
(C )3 (D )2
1
3+ (11)某地铁站有A 、B 、C 、D 、E 五个自动检票口,有4人一同进站,恰好2人通过同一检票口
检票进站,另2人各自选择不同的检票口检票进站,则不同的检票进站方式的种数为 (A )60 (B )180 (C )360 (D )720 (12)已知0x 是函数()sin
2
x
f x π=的极值点,且满足()
0020182018f x x -<-,则符合要求
的0x 的个数为
(A )2015 (B )2016 (C )2017 (D )2018
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图3
P
F
C
B
D
A
E 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上.
(13)图2是一个算法流程图,若输入x 的值为2log 3,则输出的
y 的值是 .
(14)已知实数,x y 满足约束条件2
11
y x y x y ≤??
+≤??-≤?
,则3x y +的取值范围为是 .
(15)已知数列}{n a 满足1212+=+++n n a a a ,设数列{前n 项和为n S ,则
n S 163
=___________. (16)已知抛物线2
4y x =的焦点为F ,抛物线上的动点P (不在原点)在y 轴上的投影为E ,
点E 关于直线PF 的对称点为E ',点F 关于直线PE 的对称点为F ',当E F ''最小时,三角形PEF 的面积为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知1)cos(sin 3=+-C B A ,
8
sin sin sin 7
B C A +=,7=a .
(Ⅰ)求角A 的值; (Ⅱ)求△ABC 的面积.
(18)(本小题满分12分)
如图3,在三棱锥P-ABC 中,平面PAC ⊥平面ABC ,△ABC 和 △PAC 都是正三角形,2=AC ,E 、F 分别是AC 、BC 的中点,且 PD ⊥AB 于D .
(Ⅰ)证明:平面PEF ⊥平面PED ; (Ⅱ)求二面角D PA E --的正弦值. (19)(本小题满分12分)
某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 100元,在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250
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元.用期内更换的易损零件数,得图4
的条形图:记x 表示1台机器在三年使用期 内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在 购买易损零件上所需的费用(单位:元),
n 表示购机的同时购买的易损零件数.
(I )若n =19,求y 与x 的函数解析式;
(II )以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率. (ⅰ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5,求n 的最小值;
(ⅱ)假设n 取19或20,分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望,以此 作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?
(20)(本小题满分12分)
已知A 是椭圆22
:
+14
x T y =上的动点,点1(0,)2P ,点C 与点A 关于原点对称. (I )求△P AC 面积的最大值;
(II )若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ,且AP mPB =,CP nPD =,证明:
m n +为定值.
(21)(本小题满分12分)
已知0a ≠,函数()x x
f x e e e ax =-++.
(I )讨论()f x 的单调性;
(II )已知当a e <-时,函数()f x 有两个零点1x 和2x (12x x <),求证:e a x x f +>)(21. 请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. (22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为?
?
?=+-=kt y t x 2
4(t 为参数),直线l 2的参数方
程为??
???=-=k m y m x 2(m 为参数),当k 变化时,设 l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C .
(I )以原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C 的极坐标方程; (II )设曲线C 上的点A 的极角为
6
π
,射线OA 与直线022)sin (:3=-+?θρl )2
0(π
?<
<的交点为B ,且||7||OA OB =,求?的值.
(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数|1
||1|)(x
a x a x f -++
=,a 为实数. (I )当1=a 时,求不等式3)(>x f 的解集;
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(II )求)(a f 的最小值.
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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.
合体,其表面积222
=522122S ππ?++?-表2)16π=+.
(10)不妨设点P 在第一象限,依题意有112||2||cos3023PF FF ==,122||||F F PF =,又由12||||2PF PF a -=得22c a -=c e a ?==(11)212
454360C C A =;
(12)法1:由0x 是函数()sin 2x
f x π=的极值点可得0'()0f x =,即0cos
02
x π=,故01,3,5,
x =±±±因()
[]020181,1f x -∈-,当01,3,,2015
x =±±±时,020182x -≥,
()0020182018f x x -<-成立;当02017,2019x =±±时,()0020182018f x x -=-;
当02021,2023,x =±±时,020183x -≤-,()
0020182018f x x ->-;综上知,满
足题意的01,3,,2015x =±±±时,共2016个.
【法:2:由题意知
ππ
πk x +=
2
2
,得120+=k x (k Z ∈);由)(x f 图象得x x f <)(的解为
01<<-x 或1>x ,即0||201810<-<-x 或1||20180>-x ,即02018||2019
x <<或0||2017x <,因120+=k x (k Z ∈)故02018||2019x <<无解,由0||2017x <得
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01,3,,2015x =±±±时,共2016个.
】
解析(16
)显然1E F PF PE PF PE ''''≥-=-=,即E F
''的最小值为1,仅当P 、E '、F '
共线且点E '在P 、
F '之间时取等号,此时120E PF FPE
EPF ''∠=∠=∠=,即直线PF 的斜率为(取
也可),联立)2
14y x y x ?=-?
?=??
,可得1()3P ,故113
3
23PEF S ?=?=
.
三、解答题
(17)解:(Ⅰ)由已知及A C B cos )cos(-=+,
得1cos sin 3=+A A ,-------------------------------------------------------------------------------2分 即1)6sin(2=+π
A ,得2
1
)6
sin(=
+π
A -----------------------------------------------------------4分 又
676
6
ππ
π
<
+
56ππ=+A , 即3 2π = A ;-----------------------------------------------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)由已知及正弦定理得87 8 == +a c b ,--------------------------------------------------------------7分 由余弦定理A bc c b a cos 22 2 2 -+=, 得bc bc bc c b -=+-+=642)(492 , -----------------------------------------------------------9分 解得15=bc ,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴△ABC 的面积为 4 3 15sin 21= A bc .-----------------------------------------------------------12分 (18)解:(Ⅰ)∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点, ∴EF //AB ,----------------------------------------------------------------------------------------------------1分 在正三角形PAC 中,PE ⊥AC , 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第 B 又平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC , ∴PE ⊥平面ABC ,----------------------------------------------------------------------------------------3分 ∴PE ⊥AB , 又PD ⊥AB ,PE ∩PD =P , ∴AB ⊥平面PED , --------------------------------------------------------------------------------------5分 又EF //AB ,∴EF ⊥平面PED , 又?EF 平面PEF ,∴平面PEF ⊥平面PED .------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)解法1:∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC ,BE ⊥AC , ∴BE ⊥平面PAC ,----------------------------------------------------------------------------------------7分 以点E 为坐标原点,EA 所在的直线为x 轴,EB 所在 的直线为y 轴,建立空间直角坐标系如图示, 则(000)E ,,,(100), (030),A B ,,,,(003)P ,,,--------8分 (0EB = ,(103),(1PA AB =-=-,,,, 设(, ,),m a b c =为平面PAB 的一个法向量, 则由,m AB m AP ⊥⊥得 a a ?=?? -=??,令1c =,得1a b ==,即(3,1,1),m =------------------------------10分 设二面角 E PA D --的大小为 θ,则cos ||||5m EB m EB θ?= ==?, sin θ== 即二面角E PA D -- ---------------------------------------------------------12分】 【解法2:由(Ⅰ)知EF ⊥平面PED ,∴EF ⊥ED , 以点E 为坐标原点,ED 所在的直线为x 轴,EF 所在的直线为y 建立空间直角坐标系如图示, ∵AE=1,∠EAD=60°,∴AD= 12,2 DE =,32DB =, 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第8页(共14页) G E A D B C F P 又PE = ∴1300),0),0)22 D A B -,,, ,(00P , 则1 (2 AP =- ,,,1(0,0),2AD =,33(0)2EB =,, , -------------------------------------8分 ∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC ,BE ⊥AC , ∴BE ⊥平面PAE ,故33( 0)22 EB =,,为平面PAE 的法向量,----------------------------------9分 设(,,),m a b c =为平面PAD 的一个法向量,则由,m AD m AP ⊥ ⊥得 102102 b b ?++=??? ?=??,令1c =得2a =,故(2,0,1),m =---------------------------------10分 设二面角E PA D - -的大小为θ ,则cos 5||||5m EB m EB θ?= = =?, sin 5 θ== , 即二面角E PA D -----------------------------------------------------------12分】 【解法3:二面角E PA D --即二面角C -PA -B , 在平面PAB 内过点B 作BG PA ⊥于G ,连结GE, ∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC ,BE ⊥AC , ∴BE ⊥平面PAC ,∴BE PA ⊥, 又BG PA ⊥,BE BG B =, ∴PA ⊥平面BEG ,∴PA ⊥GE , ∴∠EGB 为二面角C -PA -B 的平面角,----------------------------8分 ∵3=BE ,3sin 602 GE AE == , 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第9页(共14页) 21522= +=GE BE BG ,5 52sin ==∠BG BE EGB ,--------------------------------11分 即二面角E PA D -- 的正弦值为 5 . --------------------------------------------------------12分】 (19)解:(I )依题意得1900, 19,()2502850,19, x y x N x x *≤?=∈? ->?------------------------------------------3分 (Ⅱ)(ⅰ)由条形图知,(16)0.06P n ==,(17)0.16P n ==,(18)0.24P n ==, (19)0.24P n ==, 故(18)(16)(17)(18)0.46P n P n P n P n ≤==+=+==,------------------------------------5分 (19)(18)(19)0.460.240.70P n P n P n ≤=≤+==+=,--------------------------------------6分 由上可知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46, 不大于19的概率为0.7,故n 的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分 (ⅱ)n 取19或20,即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件,设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为1y 元和2y 元, 则1y 的可能取值为:1900,2150,2400. 且1(1900)0.7P y ==,1(2150)0.2P y ==,1(2400)0.1P y ==, 故119000.721500.224000.12000Ey =?+?+?= (元) -----------------------------------9分 2y 的可能取值为:2000,2250. 且2(2000)0.9P y ==,2(2250)0.1P y ==, 故220000.922500.12025Ey =?+?=(元) ------------------------------------------------11分 12Ey Ey <,所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. --------------------------------12分 (20)解:(Ⅰ)设()11,A x y ,依题意得点()11,C x y --,------------------------------------------------1分 则1111 ||2||||22 PAC S OP x x ?= ?=----------------------------------------------------------------------2分 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第10页(共14页) ∵点A 在椭圆22 :+14 x T y =上,∴1||2x ≤,------------------------------------------------------3分 ∴11 ||12 PAC S x ?= ≤(当且仅当12x =±时等号成立) ∴△PAC 面积的最大值为1. -----------------------------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)证法1:当直线AP 的斜率存在时,设其方程为12 y kx =+ , 由2 21412x y y kx ?+=????=+??,消去y ,得()22 1+4430k x kx +-=,----------------------------------------5分 设()22,B x y ,由韦达定理,得122 122414314k x x k x x k -? +=??+? -?=?+? ① ② , 而由AP mPB =,得112211, ,22x y m x y ? ?? ?--=- ? ?? ?? ?,故12x mx -=,12x x m =-, 代入①、②,得122 12 1411+431+4k x m k x m k ?-??-= ?????? -?-=??③ ④ 两式相除,得()1 314m k x -= ,代入④,整理得22 19304+90m m x -+=;-----------------7分 对于射线CP ,同样的方法可得22 19304+90n n x -+=, 故,m n 是方程2219304+90x x x -+=的两个根, ------------------------------------------------9分 由韦达定理,10 3 m n += ; --------------------------------------------------------------------------10分 当直线AP 的斜率不存在时,点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点,当点A 为(0,1)时,则B 、C 重合于点(0.-1),D 、A 重合, 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第11页(共14页) 由AP mPB =,CP nPD =,得1,3,3m n = =这时10 3 m n +=;--------------------------11分 若点A 为椭圆T 的下顶点(0,-1),同理可得10 3 m n +=; 综上可知m n +为定值,该值为10 3 .-------------------------------------------------------------------12分 【证法2:当直线AP 的斜率存在时,这时点A 不在y 轴上,即x 1≠0, 设其方程为12y kx =+由2 2141 2 x y y kx ?+=????=+??,消去y ,得()22 1+4430k x kx +-=,------------5分 设()22,B x y ,由韦达定理,得2 21413 k x x +-= ,----------------------------------------------------6分 又1 121 x y k -= ,代入上式得2 12 11 2 )2 1 (43-+-= y x x x ,----------------------------------------------7分 由AP mPB =,得112211, ,22x y m x y ??? ?--=- ? ???? ?,故12x mx -=, 得3 )21(42 12 121-+=-=y x x x m ,-----------------------------------------------------------------------8分 对于射线CP ,同样的方法可得3 )21(43)21(4)(2 12 12121++=--+-= y x y x n ,----------9分 ∴3 10 32)4(22 12 1=++=+y x n m .-------------------------------------------------------------------10分 当直线AP 的斜率不存在时,点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点,当点A 为(0,1)时,则B 、C 重合于点(0.-1),D 、A 重合, 由AP mPB =,CP nPD =,得1,3,3m n = =这时10 3 m n +=;---------------------------11分 若点A 为椭圆T 的下顶点(0,-1),同理可得10 3 m n +=; 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第12页(共14页) 综上可知m n +为定值,该值为 10 3 .--------------------------------------------------------------12分】 (21)解:(Ⅰ) (),12,1x x x ax e x f x e e e ax e ax e x +=-++=?+-≥?,(), 12,1x a x f x e a x '=?+≥? , ①若0a >,显然()0f x '>恒成立,()f x 在(),-∞+∞上单调递增;-----------------------2分 ②若20e a -≤<,当1x <时,()0f x a '=<,当1x ≥时,()20x f x e a '=+≥, 故()f x 在(),1-∞上单调递减,在()1,+∞上单调递增;----------------------------------------4分 ③若2a e <-,当1x <时,()0f x a '=<, 当1x ≥时,由20x e a +<,得1ln 2a x ??≤<- ???,由20x e a +>,得ln 2a x ??>- ??? , 故()f x 在,ln 2a ?? ??-∞- ? ?????上单调递减,在ln ,2a ????-+∞ ? ????? 上单调递增;-----------------6分 (Ⅱ)证法1:∵a e <-,故()10f a e =+<,结合()f x 的单调性知, ()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=,且121x x <<,----7分 ∴2 2 2x e e a x -=,2212x ex e x a e e =-=-,于是22 2122x ex x x e e =-,-------------------------8分 令()2 2x ex g x e e =-,(1x >) 则()()() () () 22 2 2222222x x x x x x ex e e ex e ex e e xe g x e e e e --?--'= = --,----------------------------9分 记()2x x h x e e xe =--,1x >, 则()'0x x h x e xe =-<,∴()h x 在(1,)+∞上单调递减,()()10h x h <=,故()0g x '<, 即函数 ()g x 在(1,)+∞上单调递减,∴()()11g x g <=, ∴121x x <,----------------------------------------------------------------------------------------11分 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第13页(共14页) 又()f x 在 ∞(-,1)上单调递减, ∴()12f x x a e >+---------------------------------------------------------------------------------12分 【证法2:∵a e <-,故()10f a e =+<,结合()f x 的单调性知, ()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=,且121x x <<,----7分 要证明()12f x x a e >+,只需证121x x <,即证12 1 x x < ,--------------------------8分 注意到1x 、 ()2 1 ,1x ∈-∞,且()f x 在 ∞(-,1)上单调递减, 故只需证()12 1f x f x ?? > ??? ,即证210f x ?? < ??? ,--------------------------------------9分 而222 22 2222221121x x e e ex e e f a e e x x x x x ??-+-=?+=?+= ??? , 记()22x g x e e ex =-+,()1,x ∈+∞,()22x g x e ex '=-+, 记()()22x h x g x e ex '==-+,()1,x ∈+∞,则()220x h x e e '=-+<, 故()h x 即()g x '单调递减,()()10g x g ''<=,-------------------------------------11分 故()g x 单调递减,()()10g x g <=, 于是210f x ?? < ??? 成立,原题得证.----------------------------------------------------------12分】 选做题: (22)解:(Ⅰ)直线l 1的普通方程为)2(4-=-x k y ,----------------------------------------------1分 直线l 2的普通方程为k x y 2 += ,-----------------------------------------------------------------------2分 联立两方程消去k ,得4422-=-x y ,即曲线C 的普通方程为4422=+y x ,--------3分 由? ? ?==θρθρsin cos y x 得曲线C 的极坐标方程为4)sin 4(cos 2 22=+θθρ;---------------------4分 化简得2 2 (13sin )4ρθ+=-------------------------------------------------------------------------------5分 揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第14页(共14页) (Ⅱ)把6π θ= 代入22(13sin )4ρθ+=,得4)4 1443 (2 =?+ρ, ∴7162 =ρ,得7 4=A ρ, --------------------------------------------------------------------------7分 由已知得47==A B ρρ,------------------------------------------------------------------------------8分 把6 π θ= ,4=ρ代入方程l 3得2 2)6 sin( = +?π , 又2 0π ?<<,∴ 26 6 3 π π π ?< +< ---------------------------------------------------------------------9分 ∴ 64ππ ?+= ,12 π ?= .--------------------------------------------------------------------------------10分 (23)解:(Ⅰ)当1=a 时,不等式3)(>x f 即3| || 1||1|)(>-++= x x x x f ,-------------------1分 ①当1- |2 )(>=x x f , 解得2||3x < ,得3 2 32<<-x ;-------------------------------------------------------------------------3分 ③当1>x 时,得32)(>=x f ,无解;---------------------------------------------------------------4分 综上知,不等式3)(>x f 的解集为)3 2 ,32(- .-----------------------------------------------------5分 (Ⅱ)|||1||1|)(22a a a a f -++=| || 1|122a a a -++= ,--------------------------------------------------6分 ①当1-a 时,2||2| |2)(2 >==a a a a f ,-----------------------------------------------8分 ②当11≤≤-a 时,2| |2 )(≥= a a f ,-------------------------------------------------9分 综上知,)(a f 的最小值为2.-----------------------------------------------------------10分